מציג תוצאות 1 עד 11 מתוך 11
Like Tree2Likes
  • 1 Post By shaikid
  • 1 Post By Nare

אשכול: שאלה 5 - שלב ב' באולימפיאדת המתמטיקה

  1. #1
    הסמל האישי שלNare משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל שאלה 5 - שלב ב' באולימפיאדת המתמטיקה

    השאלה:

    פולינום במקדמים שלמים מקיים: p(5)=25 p(14)=16 p(16)=36.
    מצא את כל הערכים שיכול לקבל p(10).

    הגישה שלי לפתרון התבססה על הכלל ש-\frac{p(x)-p(y)}{x-y} הוא מספר שלם עבור כל פולינום במקדמים שלמים, ולכן מתקיים:

    \frac{p(10)-p(5)}{10-5}=\frac{p(10)-25}{5}=\frac{p(10)}{5}-5

    \frac{p(14)-p(10)}{14-10}=\frac{16-p(10)}{4}=4-\frac{p(10)}{4}

    \frac{p(16)-p(10)}{16-10}=\frac{36-p(10)}{6}=6-\frac{p(10)}{6}

    כאשר כל התוצאות הם מספרים שלמים.

    מכאן ש-p(10) מתחלק ב-4 ,5 וב-6 ולכן p(10) הוא מהצורה p(10)=60k.

    האם זה נכון לומר זאת? התוצאה נראית לי קצת מוזרה...

    אשמח לקבל הסבר.

    בתודה מראש,
    ערן.

  2. #2
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    לי זה נראה מצוין..

  3. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני עשיתי כמוך אבל זה לא נכון.
    מה שאתה הוכחת (וגם אני) זה שP10 חייב להתחלק ב60 אם כל תנאי השאלה מתקיימים, אך לא הוכחת שקיים פולינום עבור כל מכפלה של 60.
    בשביל להשלים את הוכחה אתה צריך למצוא פולינום ממעלה סופית כלשהי שמקיים את כל הדרישות שזה שקול ללפתור מערכת משוואות לינאריות:
    נגדיר Q(x)=P(x)-60k. אז x=10 זה שורש של הפולינום Q
    לכן P(x)=(x-10)(R(x))+60k
    ופשוט עבור כל x שאתה יודע מה P שלו להציב ולמצוא את ערכו של R. מה שאתה תופתע לגלות זה שעבור k אי זוגי, הפולינום P הוא לעולם לא עם מקדמים שלמים, לכל פולינום R שהוא. (לדוגמא נניח R מדרגה 2 עבור x=5, R(5)=12k-5=25a+5b+c וזו משוואה ראשונה, תוכל ליצור עוד שתי משוואות כאלו, ואז לפתור את המערכת ולקבל ביטוי לa'b'c באמצעות k והינה מצאת את R וכתוצאה מכך גם את P)

    אני לא יודע להוכיח שלכל R ולכל K אי זוגי P לא עם מקדמים שלמים אבל אני יכול להוכיח שP10 חייב להתחלק ב120 ולמצוא כזה פולינום(שהוא תלוי בk) ובכך לסיים את ההוכחה(בלי להוכיח שעבור k אי זיגוי ולכל R , פולינום P הוא ללא מקדמים שלמים)
    נגדיר :
    T(x)=P(x+10)-x^2
    אנו מחפשים את T של 0(שהוא שווה לP של 10)
    קל לראות שחלק משורשי T הם:(הוכח זאת!) x=-5,4,6
    נקבל שT היא מהצורה:
    (x+5)(x-4)(x-6)M(x) ואם נציב x=0 נקבל שP(10) כפולה של 120.(ניתן להניח כי M עם מקדמים שלמים, ואם לא פשוט להכפיל במספר כלשהו ולקבל M עם מקדמים שלמים וT יתוקן בהתאם)


    התשובה הנכונה כאמור היא שהערכים שP10 יכול לקבל הם כפולות של 120, וכמובן ניתן למצוא פולינום כזה(מצא אחד!)




    ===================================
    אחרי כל החפירה הזאת, איך הייתה לך הבחינה איזה שאלות הצלחת איזה לא.
    אני עניתי על 3.5/7 אבל הנימוקים שלי גרועים ביותר, וחלקם לא נוכנים לגמרי אני מאמין שאקבל ניקוד כולל על כ2/2.5 שאלות
    נערך לאחרונה על ידי shaikid, 30-12-2013 בשעה 14:49

  4. #4
    Nare לא מחובר ( פותח האשכול )
    הסמל האישי שלNare משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אוקיי.

    תודה על ההסבר!

    עניתי על 1,4,5.
    לפי מה שאתה אומר התשובה שלי ב-5 לא נכונה....
    אבל לפחות אחרי שיצאתי קיבלתי הדרכה איך לפתור את המשוואה...וככה יש לי עוד טכניקה לפעם הבאה.

  5. #5
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Nare צפה בהודעה
    אוקיי.

    תודה על ההסבר!

    עניתי על 1,4,5.
    לפי מה שאתה אומר התשובה שלי ב-5 לא נכונה....
    אבל לפחות אחרי ש
    יצאתי קיבלתי הדרכה איך לפתור את המשוואה...וככה יש לי עוד טכניקה לפעם הבאה.
    אני מאמין שתקבל חלק מהנקודות
    אני כמוך רק שעניתי על 6 חלקית.(עבור n זוגי)
    תוכל להסביר לי את הדרך השניה לפתור את המשוואה? הדרך שהסבירו לך

  6. #6
    Nare לא מחובר ( פותח האשכול )
    הסמל האישי שלNare משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מסתבר שמתקיים:

    (a+b)^7=a^7+b^7+7ab(a+b)((a+b)^2-ab)^2

    נתעסק עם המשוואה ונקבל:

    \frac{x^7}{7}=1+\sqrt[7]{10}x(x^2-\sqrt[7]{10})^2\\ |\\ x^7=7+7\sqrt[7]{10}x(x^2-\sqrt[7]{10})^2\\ \\ |\\ x=a+b \Rightarrow (a+b)^7=7+7\sqrt[7]{10}(a+b)((a+b)^2-\sqrt[7]{10})^2\\ |\\ a^7+b^7+7ab(a+b)((a+b)^2-ab)^2=7+7\sqrt[7]{10}(a+b)((a+b)^2-\sqrt[7]{10})^2



    מכאן שיש לנו שתי משוואות:

    a^7+b^7=7 \; ,\; \; ab=\sqrt[7]{10}

    ולכן הפתרון הוא:

    x=\sqrt[7]{5}+\sqrt[7]{2}

    אם יש לך פתרון פשוט יותר אשמח לשמוע.

  7. #7
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Nare צפה בהודעה
    מסתבר שמתקיים:

    (a+b)^7=a^7+b^7+7ab(a+b)((a+b)^2-ab)^2

    נתעסק עם המשוואה ונקבל:

    \frac{x^7}{7}=1+\sqrt[7]{10}x(x^2-\sqrt[7]{10})^2\\ |\\ x^7=7+7\sqrt[7]{10}x(x^2-\sqrt[7]{10})^2\\ \\ |\\ x=a+b \Rightarrow (a+b)^7=7+7\sqrt[7]{10}(a+b)((a+b)^2-\sqrt[7]{10})^2\\ |\\ a^7+b^7+7ab(a+b)((a+b)^2-ab)^2=7+7\sqrt[7]{10}(a+b)((a+b)^2-\sqrt[7]{10})^2



    מכאן שיש לנו שתי משוואות:

    a^7+b^7=7 \; ,\; \; ab=\sqrt[7]{10}

    ולכן הפתרון הוא:

    x=\sqrt[7]{5}+\sqrt[7]{2}

    אם יש לך פתרון פשוט יותר אשמח לשמוע.
    מדהים כמה שזה מפשט את הבעיה

  8. #8
    Nare לא מחובר ( פותח האשכול )
    הסמל האישי שלNare משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יש לך כיוון איך לגשת לשאלה 6?

  9. #9
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    כן.
    AoPS Forum - Israel 2013 • Art of Problem Solving

    אתה מוזמן לקרוא את התגובה השנייה.

    אני עוד עובד על המקרה שn אי זוגי
    Nare likes this.

  10. #10
    Nare לא מחובר ( פותח האשכול )
    הסמל האישי שלNare משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תודה רבה!

  11. #11
    Nare לא מחובר ( פותח האשכול )
    הסמל האישי שלNare משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    פורסמו כאן פתרונות למי שרוצה.
    shaikid likes this.

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 3

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר כלים שרובם חינמים, ביניהם פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במעמדו או במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו