הסבר לנושא -דירוג מטריצה על פי שיטת גאוס

[vlad-v]

בתיכון לא למדתי מטריצות וכעט כאשר אני נדרש לדרג מטריצות על פי השיטה של גאוס אני פשוט הולך לאיבוד.

המרצה בקורס פשוט רצה עם החומר ואני לא הבנתי כלום .
הדבר היחיד שהבנתי שהמטרה היא להגיע למצב שבאלכסון יהיה 1 לכל האורך ושאר באיברים יהיו 0.

המרצה הציגה מטריצות בהן האיבר הפותח -האיבר הראשון משמאל הוא 1
ואמרה שאפשר לבצע פעולות על השורות בלבד.

רציתי לשאול לגבי כללים מנחים בדירוג מטריצה כלומר ,
מהו הסדר בו עדיף לעבוד -לאיזו שורה לפנות קודם?
האם קיים קשר כלשהו שצריך לחפש בין שורות או איברי שורות כדי להגיע לדירוג באופן מהיר ואפקטיבי.

כל טיפ,הסבר מעמיק של החומר יתקבל בשמחה.
אולי אני בפאניקה אך נראה לי שהנושא ממש לא קל...

תודה רבה חברים

[אריאל]

דירוג המטריצה אינו תהליך מסובך מידי אנסה להסביר לך עד כמה שאני יכול..

אוקי אז בהנחה שאתה מכיר את שלושת הפעולות האלמנטריות, הרעיון הוא כזה: תחילה לאפס את כל העמודה הראשונה בעזרת האיבר הראשון של השורה הראשונה
ואז לאפס את כל העמודה השניה בעזרת האיבר השני של השורה השניה וכך הלאה והלאה..

עד שמגיעים לדירוג מלא של המטריצה, כעת, אני ממליץ לא להכנס לשברים, ולכן כדי למנוע זאת אפשר למשל אם בשורה הראשונה האיבר הראשון הוא 2 והאיבר הראשון בשורה השניה הוא 5 אזי נכפיל את השורה השניה ב2 ונחסיר ממנה 5 פעמים השורה הראשונה וכך לא ניכנס לשברים, מאוד מומלץ.

כמו כן כל העניין של האחדים אז אם אתה יכול לצמצם שורה מסוימת בלי להיכנס לשברים או להחליף את השורה הראשונה למשל עם שורה אחרת שהאיבר הראשון שלה הוא יהיה 1 מה טוב, אם לא, כדאי להשאיר את העניין הזה לסוף, כלומר "בסוף" הדירוג תגיע למשל לשורה של אפסים מלבד משתנה אחד שיהיה 5 לדוגמא וכמובן האיבר החופשי(המספרים שמצד ימין לשוויון) אז פשוט במצב הממש סופי הזה נחלק ב5 ואז נקבל את ה1 שלנו. כמו כן תתרגל הרבה וזה כבר יבוא לך, פעל על פי הסדר שאמרתי! בהצלחה!

[vlad-v]

בהנחה שאתה מכיר את שלושת הפעולות האלמנטריות, הרעיון הוא כזה: תחילה לאפס את כל העמודה הראשונה בעזרת האיבר הראשון של השורה הראשונה, ואז לאפס את כל העמודה השניה בעזרת האיבר השני של השורה השניה וכך הלאה והלאה.. עד שמגיעים לדירוג מלא של המטריצה,

מהן שלושת הפעולות עליהן אתה מדבר?

אז בעצם הדירוג נעשה לפי שלושת איברי האלכסון ,נכון? (האיברים שסמנתי בדוגמה שצרפתי)

האיבר הראשון של האלכסון משפיע על עמודה ראשונה
האיבר השני משפיע על עמודה שניה
ואיבר השלישי משפיע על העמודה השלישית

כאשר כל פעולה שמבצעים משפיע על כל השורה בהתאמה,נכון?

האיבר הראשון של האלכסון משפיע על שורה 2 ושורה 3
איבר שני של האלכסון משפיע על שורה 1 ושורה 3
ואיבר שלוש משפיע על שורות 1 ו-2

האם כל מה שכתבתי נכון ?
כי אם לא ,לא הבנתי
אם כן ,עשיתי את הצעד הראשון להבנת הנושא

[vlad-v]

ניסיתי לפתור תרגיל ,התחלתי ונתקעתי

הצלחתי לאפס עמודה ראשונה וכשאני מנסה לאפס את העמודה השניה עם 2- אני לא מצליח להגיע לכלום

איפה אני טועה

[אריאל]

הבנת נכון, והפעולות שאני מדבר הם כפל שורה בסקלר, חיבור או חיסור שורות המוכפלות בסקלר והחלפת שורות.. לגבי התרגיל שלך לא טעית בכלום ופעלת מצוין, כעת תכפיל את השורה השלישית ב5 ותחסיר ממנה 13 פעמים השורה השניה, כפי שאמרתי מקודם.. על מנת לא להכנס לשברים..!

[vlad-v]

כבר חשבתי שהבנתי ,ניסיתי לפתור תרגיל אחד
עשיתי אותו עם שברים

יצא לי

x1=-0.5
x2=-3
x3=-2

התשובה שלי כמעט נכונה (בהסתמך על התשובה של המתרגלת)
אצלה יצא x1=1

אני מניח שאני טועה
בדקתי את הפתרון שלי 10 פעם,כל פעם יוצא X1=-0.5

מצורף התרגיל והפתרון שלי

[אריאל]

אל תעבוד עם שברים פעל כפי שאמרתי לך !!
לדוגמא בשלב הראשון תעשה 2 פעמים השורה השניה פחות 3 פעמים השורה הראשונה וגם 2 פעמים השורה השלישית פחות חמש פעמים השורה השניה !!

כמו כן בתרגיל שהבאתי מעלי שהגעת עם ה 13 13 ו ה5 5 אין פתרון ...

[vlad-v]

לאחר שפתרתי פעם נוספת והפעם ללא שברים ,יצאו לי פתרונות זהים לפתרונות אשר התקבלו כאשר פתרתי עם שברים
אני מתחיל להאמין שפשוט יש טעות בתשובה של המתרגלת

הפתרון בשני חלקים

נ.ב
חוץ מהתרגיל הזה ,פתרתי עוד 6 תרגילים לפי השיטה וכולם יצאו בסדר

[אריאל]

עוד לא סיימת את תהליך הדירוג, אתה עוד צריך לאפס את ה 0.5 בשורה הראשונה בעמודה השניה ! [ כלומר תחסיר מהשורה הראשונה חצי פעם השורה השניה ]

ואז אכן תקבל

[vlad-v]

לא ראיתי את ה 0.5 :haha::30_002:

[vlad-v]

מהם הקווים המנחים לדירוג כאשר יש פרמטרים (K במקרה שלי)?

השאלה הנשאלת היא כדלקמן :"עבור אילו ערכי K יש למערכת:
א.פתרון יחיד
ב.אינסוף פתרונות
ג.אין פתרון"

כאשר מגיעים לסוף הדירוג אני יודע לענות על השאלה

{מדובר במשוואה מסוג ax=b
כאשר a הוא הביטוי עם הפרממר בשורה האחרונה מצד ימין בקצה ו b הוא הערך לו שווה ה a
פתרון יחיד כאשר A שונה מ 0
אינסוף פתרונות כאשר A ו- B שווים 0
אינסוף פתרונות כאשר A=0 וגם B<>0}

אני לא יודע איך לבצע דירוג למטריצה

הגעתי לאפס בשלושה מקומות ואני לא בטוח מתי לסיים את הדירוג

אם יש חוקים מסוימים לגבי דירוג עם פרמטרים ,אשמח לדעת אותם כי מאוד קשה לראות בעין איך לאפס תא כאשר מדובר בפרמטרים

איך לסיים?

תודה רבה