מציג תוצאות 1 עד 7 מתוך 7

אשכול: מעגל חוסם מרובעים ומשולשים - כל פעם יש משפט אחר

  1. #1
    משתמש רשום חבר Emath
    תאריך הצטרפות
    Apr 2012
    מין
    זכר
    הודעות
    218
    עשו לי לייק
    13

    ברירת מחדל מעגל חוסם מרובעים ומשולשים - כל פעם יש משפט אחר

    שם הספר במתמטיקה:
    לא מספר \ מדף עבודה \ אחר
    תשובות סופיות : אין בידי תשובות סופיות

    היי,
    אני רוצה להבין כמה דברים.

    כאשר משולש חסום במעגל, האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נפגשים בנק' אחת שהיא מרכז המעגל החוסם.
    את זה אני מבין וזה פותר הרבה שאלות במעגל.

    מה קורה כאשר מעגל חוסם מרובע?
    נתקלתי כמה פעמים, אם אני לא טועה, במצב שבו מעגל חוסם ריבוע או מלבן,
    האם כאן מרכז המעגל החוסם ריבוע או מלבן הוא בהכרח אמצע הקטע של אחד האלכסונים?
    (כי מפגש האלכסונים באמצע קטע)

    מה אם המעגל חוסם מקבילית? האם כאן כאן מספיק למצוא אמצע של אלכסון אחד כדי למצוא את המרכז של המעגל החוסם?

    ומה בנוגע למעגל שחוסם דלתון או טרפז? האם זה משנה אם הטרפז ישר זווית או שווה שוקיים או לא זה ולא זה?

    מה הכלל למציאת מרכז מעגל שחוסם מרובע, לא משנה איזה מרובע?


    תודה


    • פרסום


       
       

  2. #2
    צוין לשבח חבר Emath בכיר הסמל האישי שלDmot
    תאריך הצטרפות
    Jul 2010
    גיל
    20
    מין
    זכר
    הודעות
    5,111
    עשו לי לייק
    2142

    ברירת מחדל

    אני קצת ממהר, אבל החלטתי להגיב.
    כדי לחסום מרובע במעגל, סכום הזוויות הנגדיות שלו צריך להיות 180. מסיבה זאת, לא כל דלתון אפשר לחסום במעגל (איזה דלתון אפשר לחסום במעגל?) ומקבילית "רגילה" לא ניתן לחסום במעגל.
    כאשר מרובע חסום במעגל סכום הזוויות הנגדיות שלו הוא 180 (משפט ישר ומשפט הפוך). ההוכחה לכך פשוטה. צייר מעגל וחסום בו מרובע ABCD. סמן את מרכז המעגל ב-O. סמן את הזוויות A ו-C באלפא ובבטא בהתאמה ומתח רדיוסים לקודקודים B ו-D.
    הזווית BOD היא פעמיים אלפא (זווית מרכזית שווה לפעמיים כל זווית היקפית הנשענת על אותה הקשת) ומצד שני, הזווית המשלימה לה (גם היא BOD, אך קטנה יותר או גדולה יותר, תלוי איך שרטטת) היא פעמיים בטא (מהנימוק הזהה לנימוק הקודם).
    סכום הזוויות מסביב לנקודה הוא 360. כלומר, פעמיים אלפא ועוד פעמיים בטא שווה ל360. צמצום בשתיים מניב שאלפא ועוד בטא הן 180.

    מפגש המעגל החוסם במצולע בר חסימה בעל n צלעות הוא מפגש האנכים האמצעיים. זה, אגב, עוד דרך להוכיח שמצולע n בר חסימה, אבל זה בהחלט קשה יותר. עוד נימוק שכדאי לזכור הוא שכל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל (וגם לחסום בו מעגל). הנימוק לכך גם אינו קשה.

    הטענה היחידה שלא נכונה אצלך היא שמרכז המעגל חייב להיות על נקודת מפגש האלכסונים. זה נכון בריבוע ומלבן, כיוון שהזוויות הפנימיות בכל אחד מהם ישרות ולכן סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180. מכאן, שהמרובעים ברי חסימה-והאלכסונים שלהם הם קטרים במעגל (זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר). נקודת מפגש שני קטרים במעגל היא מרכז המעגל, ולכן מרכז המעגל בהם אכן בנקודת מפגש האלכסונים.

    אבל, קיימים מרובעים נוספים ברי חסימה. למשל, טרפז. כל טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים (אסור להשתמש בבגרות, אבל ההוכחה פשוטה. מעבירים אלכסון ונעזרים בזוויות מתחלפות. זוויות מתחלפות שוות בין מקבילים->מיתרים שונים הנשענים על זוויות היקפיות שוות שווים זה לזה->שוקי הטרפז שוות->הטרפז שווה שוקיים). אם מרכז המעגל היה ממוקם בנקודת מפגש האלכסונים, אז האלכסונים היו חוצים זה את זה (למה?) דבר שהופך את הטרפז למקבילית. מעצם הגדרת הטרפז (ישנה עוד הגדרה, אבל פחות נהוגה בארץ) לטרפז זוג אחד ויחיד של צלעות נגדיות מקבילות, ולכן אין זה יכול להיות שמרכז המעגל החוסם טרפז יהיה בנקודת מפגש האלכסונים. כמובן שעולה השאלה למה כל טרפז שווה שוקיים ניתן לחסום במעגל. הסיבה לכך היא שבטרפז שווה שוקיים ישנם זוג בסיסים מקבילים->זוויות חד צדדיות בין מקבילים סכומן 180, ובנוסף, זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו. מכאן, סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180 ולכן הטרפז בר חסימה במעגל...

    בנוגע לטרפז ישר זווית. טרפז ישר זווית אינו יכול להחסם במעגל. אם היה הדבר כך אז סכום הזוויות הנגדיות שלו היה אמור להיות 180 ולכן יש לטרפז 4 זוויות ישרות. חלק יגידו שאפשר לחסום טרפז ישר זווית במעגל אך ורק אם הוא מלבן וחלק יגידו שאי אפשר לחסום טרפז ישר זווית במעגל. "חלק יגידו"...כיוון שבעולם (וגם בישראל) מתחבטים בהגדרה-האם טרפז הוא מרובע בעל זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות. או האם טרפז הוא מרובע בעל זוג אחד ויחיד של צלעות נגדיות מקבילות. הגישה הנהוגה בישראל (ושל משרד החינוך) היא הגישה השנייה (זוג אחד ויחיד) ולכן אנחנו נאמר שאי אפשר לחסום טרפז ישר זווית במעגל.

    לא רק מרובעים "מיוחדים" (דלתון,טרפז, מלבן...) ניתן לחסום במעגל ולא חסרים מרובעים חסרי שם מפורש שהם ברי חסימה במעגל. כמו שציינתי קודם, לא כל מפגש אלכסונים במרובעים הללו הוא מרכז המעגל החוסם, ולכן, לא כל אמצע קטע יניב לנו את התוצאה המבוקשת.

    אדגיש שני דברים.
    א. כדי שמרובע יקרא "בר חסימה במעגל" או "מרובע חסום במעגל" על כל הקודקודים שלו להיות מונחים על המעגל. ולכן, לפעמים יש לנו מקבילית ששלושה קודקודים שלה על המעגל ואחד שאינו נמצא על המעגל, או טרפז ישר זווית כנ"ל, ורבים מהתלמידים מתבלבלים ואומרים שיש טעות בשאלה / מוכיחים שהמקבילית היא מלבן...
    ב. כל ההסבר הזה תקף אך ורק למרובע חסום במעגל ולא למרובע חוסם מעגל (פעם אחת המעגל מחוץ למרובע ופעם אחת בתוך המרובע). למרובע חוסם מעגל ישנם תנאים אחרים ושימושים אחרים.
    יום טוב ומבורך.
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 23-09-2012 בשעה 16:20
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  3. #3
    משתמש רשום חבר Emath
    תאריך הצטרפות
    Apr 2012
    מין
    זכר
    הודעות
    218
    עשו לי לייק
    13

    ברירת מחדל

    רגע, אז לסיכום של המרובעים,
    כאשר מלבן וריבוע חסומים במעגל, מאחר והזוויות ההיקפיות של המעגל הן בעצם הזוויות של הריבוע או המלבן = 90 מעלות, אז הישענות על קוטר, שזה בעצם כל אחד מהאלכסונים במלבן או בריבוע, ומפגש קטרים הוא המרכז, אז בהכרח אם ריבוע או מלבן חסומים, אני יודע שהאלכסונים שלהם הם קטרים (כי נשענים על זוות של 90) ולכן
    החיתוך ביניהם או אמצע אחד האלכסונים הוא בעצם מרכז המעגל החוסם. נכון?

    ואם נתון לי שטרפז או מקבילית חסומים במעגל?
    אז אתה אומר שהטרפז הוא בהכרח שו"ש, ושהמקבילית חייבת להיות מלבן לפחות,
    כי אם זווית במקבילית היא x אז הזווית שממולה היא 180 מינוס x כדי לחסום, וגם החד צדדית תהיה כך כדי להשלים ל180, והרי זוג זוויות נגדיות שווה וכך נקבל ש180 מינוס X שווה לX כלומר X=90 מעלות ולכן זהו מלבן.

    ?

  4. #4
    צוין לשבח חבר Emath בכיר הסמל האישי שלDmot
    תאריך הצטרפות
    Jul 2010
    גיל
    20
    מין
    זכר
    הודעות
    5,111
    עשו לי לייק
    2142

    ברירת מחדל

    לשאלה הראשונה, כן. מפגש הקטרים (שהם אלכסונים בריבוע ובמלבן כיוון שזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר) הוא מרכז המעגל, ולכן אמצע אחד האלכסונים הוא אכן מרכז המעגל החוסם. אם כבר, אז מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית גם הוא באמצע היתר. אם נתונים שני קודקודי היתר של משולש ישר זווית ניתן בקלות למצוא את משוואת המעגל החוסם שלו בעזרת אמצע קטע ודיסטנס.

    בטרפז שווה שוקיים-כן. אבל שוב, אין להשתמש בזה בבגרות ללא הוכחה. ההוכחה כמו שאתה רואה קצרה..
    בנוגע למקבילית. אין כל קשר לזוויות חד צדדיות בין מקבילית. מסמנים את אחת הזוויות באלפא, הזווית השנייה תהיה מאה שמונים פחות אלפא (מרובע חסום במעגל) ומשווים בינהן (זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו). מכאן שיוצא שאלפא היא תשעים.

    מלבד זאת, נתתי לך תרגיל (: מה התנאי שדלתון יהיה בר חסימה במעגל?...

    יום טוב ומבורך.
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  5. #5
    משתמש רשום חבר Emath
    תאריך הצטרפות
    Apr 2012
    מין
    זכר
    הודעות
    218
    עשו לי לייק
    13

    ברירת מחדל

    היי תודה על התשובות המפורטות, זה מדהים!

    אממ, לגבי דלתון, בדיוק יש לי שאלה על דלתון, שזו השאלה האחרונה בספר החדש של יואל גבע ל807.
    כדי לחסום אותו במעגל (כמו כל מרובע) נדרוש זוויות נגדיות שוות 180, סימנתי את הזוויות בין האלכסון הראשי כל אחת כאלפא,
    לכן הזווית שממול תהיה 180 מינוס שני אלפא, ומכיוון שזה כנ"ל חוצה זווית אז כל אחת 90 מינוס אלפא, יצא משולש ישר זווית (כי הזווית שנותרה היא 90)
    ולכן האלכסון (היתר) הוא קוטר ואמצעו מרכז המעגל.

    מה שהתקשיתי בו , בתרגיל , זה במשהו אחר לגמרי. אשמח אם תוכל לעזור לי,

    נתון מעגל שמרכזו x=-2 ... y=-1
    R^2=50
    דלתון ABCD (שאלכסונו הראשי AC) חסום במעגל. נתון ש A=3,4
    B=5,-2
    מצא את שיעורי הקודקודים C ו-D.

    מצאתי שהאלכסון AC הוא קוטר, נתונה הנק' A ולכן קל למצוא שC הוא x=-7...y=-6
    אבל בחרתי בדרך שונה, ולא בנוסחא לאמצע קטע.
    עשיתי שהמרחק בין A לB הוא שורש 40, ואילו AC כקוטר הוא שורש של 200, לכן עפ"י פיתגורס ביש"ז
    BC עליו להיות שורש 160.

    סימנתי את C=x,y ומכאן פעם אחת הצבתי במשוואת המעגל הנתונה,
    ופעם שנייה distance עם הנק' B הנתונה שווה לשורש של 160.
    עשיתי השוואת מקדמים והורדתי במינוס את 'התוצרים' של כל משוואה.
    וקיבלתי y= 7x+43
    כעת כשאני מציב באחת המשוואות, בין אם לדיסטנס ובין אם למעגל,
    אני מקבלת שתי אפשרויות לאותו X,
    פעם אחת x=-7 שזה שיעור האיקס הנכון ד"א,
    ופעם אחת מקבל x=-5.4 (כלומר מינוס 5 ושתי חמישיות)
    כמובן שגם האיקס השני מקיים את הd ואת משוואת המעגל, אולם לא את אמצע הקטע בתור הקצה השני של הקוטר.

    אז, איך עליי לדעת מהו הערך הנכון? עפ"י שרטוט בלבד? גם זה לא מדוייק אצלי.


    דבר שני,
    כיצד עליי למצוא את D? האם הדלתון הזה הוא מלבן?

    מה עליי לעשות? כיצד לבטל את הפיתרון של -5.4 בהתחלה וכיצד להמשיך לD?


    תודה רבה, דימוט
    נערך לאחרונה על ידי edden50, 23-09-2012 בשעה 22:07

  6. #6
    צוין לשבח חבר Emath בכיר הסמל האישי שלDmot
    תאריך הצטרפות
    Jul 2010
    גיל
    20
    מין
    זכר
    הודעות
    5,111
    עשו לי לייק
    2142

    ברירת מחדל

    אני מתנצל שלא עניתי עד כה. לא שמתי לב להודעה, ויום כיפור נכנס ואני לא מדליק מחשב ביום כיפור...
    להלן הפתרון (:
    ראשית, יפה מאוד. האלכסון AC הוא קוטר-כיוון שהזוויות B ו-D הן ישרות. קל להוכיח זאת (ומניח שעשית זאת)-אך לקוראים הבאים-דרך נוספת (:
    מעבירים את האלכסון המשני (BD). כתוצאה מכך מקבלים זוג משולשים שווי שוקיים (ולמעשה זאת ההגדרה של הדלתון-מרובע הנוצר כאשר ישנם משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף). אם נסמן את זוויות המשולש שווה השוקיים העליון באלפא, ואת זוויות הבסיס של המשולש שווה שוקיים של המשולש התחתון בבטא, מקבלים שהזוויות C ו-D כל אחת מהן שווה לאלפא ועוד בטא. סכומן הוא פעמיים אלפא (a) ועוד פעמיים בטא (b). אם המרובע בר חסימה במעגל, אז סכום הזוויות הנגדיות הוא 180, ולכן 2a+2b=180, ולאחר צמצום ב2 מקבלים a+b=90. כיוון שכל אחת מהזוויות שווה לאלפא ועוד בטא, אז שתיהן ישרות...
    -
    פתרת מצויין. האלימנימציה של הפתרון השני באמת נעשית ע"י שרטוט, או ע"י כך שמסבירים שהנקודה אינה מקיימת אמצע קטע. בדיוק מה שכתבת. אם תתקל בזה בבגרות למשל, תגיד שהנקודה אינה מקיימת אמצע קטע, ולכן אינה נכונה. זה קורה הרבה בבגרויות שצריכים לפסול פתרונות (: . כמובן, שהדרך הראשון בהחלט עדיפה.

    כעת, נעבור לחלק הבא והקל יותר. בדלתון,שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. כלומר, AB=AD,BC=CD. אם הדלתון הוא מלבן, אז הוא בעל שני זוגות של צלעות נגדיות שוות. ולכן, AD=BD,AB=CD. מכלל המעבר, AB=AC=CD=AD. בשילוב עם העובדה שהזוויות ישרות (מלבן), מקבלים שהדלתון ABCD הוא ריבוע.
    מכאן, ישנן שפע של דרכים-בחר את הדרך הנוחה לך.
    א. אם הדלתון הוא ריבוע, אז מרכז המעגל הוא בנקודת מפגש האלכסונים (זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר-משתמשים פעמיים ומוצאים זאת, בדיוק כמו מלבן). לכן, אפשר למצוא את הקודקוד D באמצעות אמצע קטע עם הקודקוד B ומרכז המעגל.
    ב. מוצאים את השיפוע של BC. כיוון שהישרים AD וBC מקבילים (בריבוע, צלעות נגדיות מקבילות) זהו גם השיפוע של AD (שיפועי ישרים מקבילים זהים). באמצעות העובדה שמכפלת ישרים מאונכים היא 1-, מוצאים את שיפוע DC. בונים את משוואות CD וAD בעזרת נקודה ושיפוע ומשווים בינהן.
    ג. בונים את אחת המשוואות, DC או AD, ומסתמכים על העובדה שD על המעגל ולכן מקיימת אותה.
    ד. בריבוע, כל הצלעות שוות זו לזו, לכן משתמשים בעובדה שD על המעגל ובונים דיסטנס עם AD או עם CD...
    ישנן עוד דרכים. הדרך האהובה עליי והקלה ביותר היא הראשון (:
    לילה טוב ומבורך,
    בנוסף, שמחתי לעזור לך! (: רק בבקשה,קרא לי תומר. Dmot זה tomD הפוך, שזה קיצור של שם פרטי ושם משפחה (:
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  7. #7
    משתמש רשום חבר Emath
    תאריך הצטרפות
    Apr 2012
    מין
    זכר
    הודעות
    218
    עשו לי לייק
    13

    ברירת מחדל

    הי תומר, נכנסתי כבר ממזמן לקרוא מה כתבת אבל לקח לי זמן לגבש את מה שאני רוצה לשאול.

    אני עושה סדר,
    ריבוע ומלבן - הבנתי
    משולש חסום במעגל - מרכז המעגל שולח אנכים אמצעיים לשלוש צלעות המשולש והמפגש הוא המרכז
    לגבי מקבילית - זווית מסויימת תהיה X וממולה שווה לה ותהיה גם כן X, נדרוש שהסכום 2X=180 כדי לחסום במעגל ונקבל שX=90, ולפי הגדרת המקבילית גם שתי הזוויות הנותרות הנגדיות הן 90 כל אחת, והגענו למלבן

    לגבי דלתון - אני מעביר שני אלכסונים, אחד ראשי והשני משני. האלכסונים: א. מאונכים זה לזה ב. יוצרים משולשים שווי שוקיים וחופפים בעלי בסיס משותף.
    האלכסון הראשי חוצה את זווית הראש, אז פעם אחת זווית הראש היא שני אלפא, חוצה זווית מחלק אותה כל אחד לאלפא, וממול יש לי 180 מינוס שני אלפא, כל אחד 90 מינוס אלפא, האלכסונים מאונכים אז בארבע משולשים שנוצרים, אני מקבל בינתיים שרק זווית B וזווית D שוות כל אחת ל90, מה עם שתי הנותרות?
    למשל C שווה לי ל180 מינוס שני אלפא (כדי לדרוש את החסימה במעגל) וממולה A שווה לשני אלפא והן בדיוק משלימות ל180, אז מה עליי לעשות עם זוג אחד בלבד של זוויות נגדיות שוות בדלתון, וכל זוג צלעות סמוכות שוות?

    ואחרון חביב - הטרפז - שוב לא הבנתי למה רק טרפז שו"ש ניתן לחסום במעגל. אולי כן הבנתי ואני פשוט לא זוכר , ושרטוט יעזור לי, אבל אני מבקש הסבר נוסף, בלי מה שמסביב.

    תודה

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר כלים שרובם חינמים, ביניהם פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במעמדו או במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו