גזירת פונקציית שורש

מתוך Emath Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גזירת שורש

פונקציית שורש

תהי פונקציית שורש מהצורה: $$f(x)=\sqrt{g(x)}$$

אזי הנגזרת של פונקציה זו נתונה על-ידי: $$f'(x)=\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$ .

אנו למעשה כופלים את המנה בנגזרת הפנימית של הביטוי בתוך השורש.

שורש רציונלי

נשים לב, ונזכור, ששורש הוא בעצם חזקת חצי, כלומר: $$f(x)=\sqrt{g(x)}=g(x)^{0.5}$$ על-פי חוקי חזקות

ולכן ניתן למעשה לגזור את הפונקציה על-פי הכלל של גזירת פונקציה מורכבת:

$$f'(x)=0.5g(x)^{-0.5}\cdot g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x)$$ .

מכאן, במידה ונידרש לגזור שורש מהצורה: $$f(x)=\sqrt[m]{g(x)^n}$$

אזי נעביר אותה לצורה: $$f(x)=g(x)^\frac{n}{m}$$ ונגזור רגיל לפי גזירת פונקציה מורכבת.

דוגמאות

נתונה הפונקציה: $$f(x)=\sqrt{5x^2+3}$$ הנגזרת היא: $$f'(x)=\dfrac{10x}{2\sqrt{5x^2+3}}$$

נתונה הפונקציה: $$f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4}}$$ הנגזרת היא: $$f'(x)=\dfrac{1\cdot\sqrt{x^2-4}-(x-2)\cdot\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}}{x^2-4}$$ שימו לב כי בדוגמא זו השתמשנו בגזירת מנה

נתונה הפונקציה: $$f(x)=\sqrt[3]{(x-2)^2}$$ אזי נסדר את הפונקציה על-פי חוקי חזקות: $$f(x)=(x-2)^\frac{2}{3}$$

ומכאן שהנגזרת היא: $$f'(x)=\dfrac{2}{3}(x-2)^{-\frac{1}{3}}\cdot1$$