גזירת פונקציית שורש

מתוך Emath Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גזירת שורש

פונקציית שורש

תהי פונקציית שורש מהצורה : LaTeX:  f(x) = \sqrt{g(x) } .

אזי הנגזרת של פונקציה זו תיהיה נתונה על ידי : LaTeX:  f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{g(x)} } \cdot g'(x) .

אנו למעשה כופלים את המנה בנגזרת הפנימית של הביטוי שבתוך השורש .

שורש רציונלי

נשים לב, ונזכור, ששורש הוא בעצם חזקת חצי, כלומר : LaTeX:  f(x)=\sqrt{g(x)}=(g(x))^{0.5} על פי חוקי חזקות

ולכן ניתן למעשה לגזור את הפונקציה על פי הכלל של גזירת פונקציה מורכבת :

LaTeX:  f'(x)=0.5 \cdot (g(x))^{-0.5} \cdot g'(x) =\frac{1}{2 \sqrt{g(x)} } \cdot g'(x) .

מכאן, במידה ונידרש לגזור שורש מהצורה : LaTeX:  f(x) = \sqrt[m]{g(x)^n}

אזי נעביר אותה לצורה : LaTeX:  f(x)=g(x)^{\frac{n}{m} } ונגזור רגיל לפי גזירת פונקציה מורכבת .

דוגמאות

נתונה הפונקציה : LaTeX:  f(x) = \sqrt{5x^2+3} הנגזרת היא : LaTeX:  f'(x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{5x^2+3} } \cdot (10x)

נתונה הפונקציה : LaTeX:  f(x)=\frac{ x-2}{\sqrt{x^2-4} } הנגזרת היא : LaTeX:  f'(x) =\frac{1 \cdot \sqrt{x^2-4} - (x-2) \cdot \frac{2x}{2 \sqrt {x^2-4} } }{x^2-4 } שימו לב כי בדוגמא זו השתמשנו בגזירת מנה

נתונה הפונקציה : LaTeX:  f(x) = \sqrt[3]{(x-2)^2} אזי נסדר את הפונקציה על פי חוקי חזקות : LaTeX:  f(x) = (x-2) ^{\frac{2}{3} }

ומכאן שהנגזרת היא : LaTeX:  f'(x) = \frac{2}{3} \cdot (x-2)^{ -\frac{1}{3} } \cdot 1