נוסחת ברנולי

מתוך Emath Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נוסחת ברנולי

הסבר על נוסחת ברנולי

נוסחת ברנולי משמשת אותנו למציאת k הצלחות ב n ניסיונות (בהתאמה לפי הנוסחא שתוצג מיד) כאשר נתון לנו הסיכוי של ההצלחה או הכישלון עבור ניסיון יחיד .

לדוגמא, אם נתון שהסיכוי ההצלחה שמטוס שזורק פצצה אכן יפגע במטרה היא 20% מה הסיכוי שייפגע במטרה פעם אחת אם זרק 4 פצצות ?

שאלות כאלו ניתן לפתור בעזרת נוסחת ברנולי .

כמו כן חשוב לציין, כאשר אין החזרה ומדובר על אותו מאורע אין להשתמש בברנולי !

נוסחת ברנולי

בהינתן N ניסיונות זריקה לדוגמא וכן הסיכוי ההצלחה לכל ניסיון הוא P אז סיכוי ההצלחה של K ניסיונות זריקה מתוך N ניסיונות הוא(נקרא למאורע הזה LaTeX:  A_k ) :

LaTeX: \ \mathbb{P}(A_k)={n \choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}

המקדם הבינומי\בחר

מתקיים : LaTeX: {n \choose k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} - ניתן לחשב נוסחא זאת גם באמצעות כפתור ה nCr במחשבון [ n nCr k ] נוסחא זאת בעצם מבטאת את מספר האפשרויות ל k הצלחות ב n ניסויים ונקרא המקדם הבינומי

בנוסף לכך הנוסחא הזו גם מבטאת מצב בו נרצה לבחור קבוצה בת k איברים מתוך קבוצה בת n איברים ללא חשיבות לסדר וללא החזרה, לדוגמא אם נרצה לדעת כמה אפשרויות יש לסדר 3 כדורים ב 10 תאים אזי התשובה נתונה על ידי : LaTeX: {10 \choose 3} = \frac{10!}{3!\cdot 7!}

אם נרצה להתעמק בנוסחא ולהבין אותה בצורה אינטואיטיבת, בכדור הראשון יש לנו 10 אפשרויות, לכדור השני יש 9 אפשרויות ולכדור השלישי יש 8 אפשרויות כלומר נקבל : LaTeX:  10 \cdot 9 \cdot 8 = \frac{10!}{7!} ( דרך אחרת להסתכל על זה, המספר LaTeX: 10! בעצם מבטא את האפשרויות לסדר 10 כדורים ב 10 תאים עם חשיבות לסדר ומכיוון שיש לנו רק 3 כדורים נחלק ב LaTeX: 7!)

כמו כן, אמרנו שאנחנו לא מייחסים חשיבות לסדר, לכן נחלק במספר האפשרויות לסדר את הכדורים שזה בדיוק 3! ולכן נקבל : LaTeX:  \frac{10!}{7! \cdot 3!} וקיבלנו בדיוק את אותה התוצאה שהניב הבחר .

דוגמא

נתון מאורע LaTeX: A_k  : אם ידוע שההסתברות ללדת בן היא LaTeX: 0.3 מצא מה ההסתברות ללידת 3 בנים ב-8 לידות .

פתרון

אז נתון לנו , הסיכוי להצלחה יחידה היא : LaTeX:  p=0.3

מספר האירועים : LaTeX:  n=8 , מספר הצלחות שנדרוש : LaTeX:  k=3

נשתמש בנוסחא למציאת k הצלחות ב n נסיונות :

LaTeX: \ \mathbb{P}(A_k)=\frac{8!}{3!\cdot (8-3)!} \cdot 0.3^3\cdot (1-0.3)^{8-3} = 0.25

תרגילים

מידע נוסף