נוסחת ברנולי

מתוך Emath Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נוסחת ברנולי

הסבר

נוסחת ברנולי משמשת אותנו למציאת $$k$$ הצלחות ב- $$n$$ נסיונות (בהתאמה לפי הנוסחא שתוצג מיד) כאשר נתון לנו הסיכוישל ההצלחה או הכישלון עבור ניסיון יחיד.

לדוגמא, אם נתון שהסיכוי ההצלחה שמטוס שזורק פצצה אכן יפגע במטרה היא 20% מה הסיכוי שייפגע במטרה פעם אחת אם זרק 4 פצצות ?

שאלות כאלו ניתן לפתור בעזרת נוסחת ברנולי.

כמו כן חשוב לציין, כאשר אין החזרה ומדובר על אותו מאורע אין להשתמש בברנולי!

נוסחא

בהינתן $$n$$ נסיונות זריקה לדוגמא וכן הסיכוי ההצלחה לכל ניסיון הוא $$p$$ אז סיכוי ההצלחה של $$k$$ נסיונות זריקה מתוך $$n$$ נסיונות הוא (נקרא למאורע הזה $$A_k$$):

$$\mathbb{P}(A_k)=\dbinom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$$

המקדם הבינומי\בחר

מתקיים: $$\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$ - ניתן לחשב נוסחא זאת גם באמצעות כפתור nCr במחשבון [ n nCr k ] נוסחא זאת בעצם מבטאת את מספר האפשרויות ל- $$k$$ הצלחות ב- $$n$$ נסיונות ונקרא המקדם הבינומי.

בנוסף לכך הנוסחא הזו גם מבטאת מצב בו נרצה לבחור קבוצה בת $$k$$ אברים מתוך קבוצה בת $$n$$ אברים ללא חשיבות לסדר וללא החזרה,

לדוגמא אם נרצה לדעת כמה אפשרויות יש לסדר 3 כדורים ב-10 תאים אזי התשובה נתונה על-ידי : $$\dbinom{10}{3}=\dfrac{10!}{3!\cdot 7!}$$

אם נרצה להתעמק בנוסחא ולהבין אותה בצורה אינטואיטיבית, בכדור הראשון יש לנו 10 אפשרויות, לכדור השני יש 9 אפשרויות ולכדור השלישי יש 8 אפשרויות כלומר נקבל: $$10\cdot9\cdot8=\dfrac{10!}{7!}$$ ( דרך אחרת להסתכל על זה, המספר $$10!$$ בעצם מבטא את האפשרויות לסדר 10 כדורים ב-10 תאים עם חשיבות לסדר ומכיון שיש לנו רק 3 כדורים נחלק ב- $$7!$$)

כמו כן, אמרנו שאנחנו לא מייחסים חשיבות לסדר, לכן נחלק במספר האפשרויות לסדר את הכדורים שזה בדיוק $$3!$$ ולכן נקבל: $$\dfrac{10!}{7!\cdot3!}$$ וקיבלנו בדיוק את אותה התוצאה שהניב הבחר.

דוגמא

נתון מאורע $$A_k$$ : אם ידוע שההסתברות ללדת בן היא $$0.3$$ מצא מה ההסתברות ללידת 3 בנים ב-8 לידות.

פתרון

אז נתון לנו, הסיכוי להצלחה יחידה היא: $$p=0.3$$

מספר הארועים: $$n=8$$ , מספר הצלחות שנדרוש: $$k=3$$

נשתמש בנוסחא למציאת $$k$$ הצלחות ב- $$n$$ נסיונות:

$$\mathbb{P}(A_k)=\dfrac{8!}{3!\cdot(8-3)!}\cdot0.3^3\cdot(1-0.3)^{8-3}=0.25$$

תרגילים

מידע נוסף