• השילוב בין הטריגונומטריה לגיאומטריה

      היי לכולם , כבר כמה זמן תכננתי לכתוב מאמר קצר עבור הפורום כדי לנסות אולי להפיח את היזמה של גל ואריאל (הטור השבועי - Emath - בגרות במתמטיקה, פיסיקה - הטור השבועי, מי זוכר? (: ) שלא צלחה. בתור משתמש קצת ותיק בפורום, הגיע הזמן שגם אני אשקיע קצת ולא אענה רק על תרגילים. התבלטתי מה יהיה הנושא של המאמר (חדו"א, גיאומטריה, טריגונומטריה, אלגברה וסדרות...) וכרגע יש לי כמה נושאים בראש. אם אני אראה שזה יצליח, אולי אשקול לכתוב עוד כמה מאמרים כאלה.
      שנתחיל?

      מדוע אני אוהב גיאומטריה?
      בכיתה י', התחום המתמטי האהוב עליי ללא ספק היה הגיאומטריה. בניגוד למספרים שנראו לי לא שימושיים בעליל ("כמה פעמים יצא לי ללכת ברחוב ולראות פרבולה ישרה?") ולמשתנים, הגיאומטריה דיי קסמה לי - הצורות נמצאות בכל מקום אפשרי - מרצפות, כוכבים, מדפים, פרחים, עצים, מכוניות, ים, מטוסים... ואפשר לראות כמה הגיאומטריה עוזרת לא פעם - ההליכה באלכסון, על אף שהיא מסוכנת יותר, קצרה יותר מאשר הליכה ישר ופנייה. הסיבה לכך היא אי שוויון המשולש - בכל משולש, סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. בעזרת משפט תאלס אפשר לחשב את גובהם של עמודים או של מבנים גדולים בלי יותר מדיי מאמץ (האגדה מספרת שתאלס, לאחר שהוכיח את המשפט הקרוי על שמו זבח לאלים על הישגו). אנקדוטה נחמדה היא העובדה שמשפט תאלס בישראל - שבו הכוונה לעובדה שישרים מקבילים מקצעים קטעים פרופרציוניים על שוקי זווית נתונה - הוא משפט אחר לחלוטין בארה"ב, שבו משפט תאלס נקרא המשפט "זווית היקפית הנשענת על קוטר - ישרה"... ולסיפורינו העיקרי - מספרים שתאלס, בעזרת המשפט על אודות המקבילים, מדד את גובה הפרמידות - וזאת איך? הוא לקח מקל קטן, שאורכו ניתן למדידה בקלות, ומדד את אורכו. הוא הציב את המקל במאונך לקרקע, וחיכה שהשמש תטיל את צל הפרמידה ואת צל המקל בצורה ישר ככל האפשר.
      אני מצרף תמונה להמחשה. נא לא לצחוק על כישרון הציור
      גיאומטריה.png
      משפט תאלס הוכח, לפי המסורת, כדי לחשב את גובה הפרמידות. חדי העין יכולים להסתכל בשרטוט ולראות שנוצר לנו משולש ישר זווית, שנוצר ע"י הקו המחבר בין ראש הפרמידה וראש המקל (אותו מטילה השמש), הצל של הפרמידה (ביחד עם קצת מרוחב הפרמידה) וגובה הפרמידה עצמה.
      נוצר לנו משולש ישר זווית נוסף, הנוצר ע"י אותו הקו המחבר בין ראש הפרמידה וראש המקל, בין המקל ובין צלו.
      את גובה המקל, שנסמנו h אפשר למדוד בקלות. את החלק הכלוא בין קודקוד הבסיס של הפרמידה לבין גובה הפרמידה ניתן בקלות למדוד ע"י ספירה מדוייקת ככל האפשר של מספר הצעדים הדרושים להשלמת הקטע, וחישוב אורכה של כף הרגל. נסמן חלק זה ב-L.
      את צל הפרמידה נסמן ב-E ואת צל המקל נסמן ב-e.
      נעזר בהרחבה הראשונה של תאלס (אם נניח בקירוב כי המקל מאונך לחלוטין לקרקע, וכמו כן, גם הפרמידה - ולכן גובה המקל וגובה הפרמידה מקבילים) ונקבל:
      \fra{e}{E+L}=\frac{h}{H}
      ומכאן,
      H=\frac{h(E+L)}{e}
      ידידנו תאלס ידע לחשב את המכפלות, ובכך קיבל את גובה הפרמידה
      אגב, אם לא נסתכל על פרמידה, אלא דווקא על עמוד או על עץ דק, נוכל להניח כי L\approx 0 ולקבל
      H=\frac{hE}{e}
      שגם זה, דיי מעניין .
      עוד דוגמא יפה שאפשר לציין נובעת ממשפט פיתגורס (שקטונתי מלכתוב מאמר שיכיל את כל הדברים עליו, אך אפשר להתמקד בכמה תופעות יפה הנובעות ממנו). אז נכון, השימושים הטריוויאלים במשפט פיתגורס מתארים משולש ישר זווית שבו יש לנו זוג צלעות, ואנו רוצים למצוא את הצלע האחרונה. אך, בעזרת משפט פיתגורס, ניתן למצוא קשרים מדהימים בין צלעות במצולע כלשהו, ובמרובעים ובמשולשים בפרט. בעזרת משפט פיתגורס, ניתן למצוא נוסחא לאלכסון במרובע כלשהו ע"ס צלעותיו, למצוא את גודלו של תיכון, גובה וחוצה זווית במשולש ע"ס צלעות המשולש בלבד, ועוד ועוד...
      ומי שעדיין לא השתנכע, ותוהה מדוע צריך לדעת כ"כ הרבה משפטים על משיק למעגל, ברגע שיתחיל ללמוד פיזיקה - יבין מהר מאוד כמה הנושא חשוב
      ומדוע כלל החלו להשתמש בגיאומטריה? אם נחקור את משמעות המילה לעומק, נגלה שהיא לקוחה מיוונית עתיקה,שם היא מופיע כ- γεωμετρία, ומורכבת משני חלקים. החלק הראשון, γεω נקרא כ"גאו" ומשמעותה "אדמה" (כמו במילה גיאוגרפיה). החלק השני, μετρία נקרא "מטריה" ומשמעותו מדידה. שילוב בין השתיים מוביל ל"חלוקת אדמות". ענף הגיאומטריה החל כניסיון לחלק שטחים שווים - בין היתר בחלוקת שטח על מנת להוריש לבנים.

      כשהחלתי ללמוד טריגונומטריה...
      בכיתה י', כמו שציינתי, אהבתי גיאומטריה. באחד מהשיעורים, המורה נכנס והחל לספר לנו על נושא חדש שאנו הולכים ללמוד ושמו טריגונומטריה. הוא חילק לנו דפי מידע והחל לצייר משולשים ישרי זווית על הלוח, ולנסות להסביר לנו, פתאום, כל מיני פונקציות מוזרות שלא הכרנו, ומועדות לבלבול. פונקציית הסינוס מוגדרת כיחס בין ניצב במשולש ישר זווית, הנמצא מול זווית נתונה, לבין היתר. פונקציית הקוסינוס מוגדרת כיחס בין ניצב במשולש ישר הזווית, הנמצא ליד זוית נתונה, לבין היתר. פונקציית הטנגנס מוגדרת כיחס בין ניצב, הנמצא מול זווית נתונה, לבין הניצב שנמצא ליד הזווית הזו. פונקציית הקוטנגנס דומה לפונקציית הטנגנס, ומהווה את היחס בין הניצב הנמצא ליד הזווית הנתונה לבין הניצב שנמצא מול הזווית הנתונה...
      תחילה, הדבר נראה לי ממש מוזר. פתאום יש קשר בין זווית נתונה לבין צלעות - דבר דיי מהפכני, אך גם דיי מרגיז. לא הבנתי מדוע אני צריך להסתכל על משולשים ישרי זווית עם צלעות שאורכן מהווים מספרים "יפים", ואיכשהו לאחר סדרת הקשות במחשבון, מקבלים זווית דיי מגעילה, כשהמחשבון התמים פולט סדרת מספרים שאין מספר לרעהו קשר ברור.תחילה, לא אהבתי טריגונומטריה כלל - אהבתי את הגיאומטריה, המניבה מספרים "יפים" (או מספרים שאפשר להציגם בדרך יפה, כמו למשל \sqrt{3}) משתלבת עם מקצוע מבחיל שמוציא מספרים מוזרים, כמו sin(12).
      אולי הטעות הייתה להתחיל במשולש ישר זווית (שנקרא לא פעם "המשולש הקל ביותר בגיאומטריה"). מקור המילה טריגונומטריה, גם הוא, מיוונית עתיקה: τρίγωνονμέτρον. גם מילה זו מורכבת משני חלקים: τρίγωνον - טריגון, משולש. μέτρον - מטרון, מדידה.
      הטריגונומטריה שמה לעצמה למטרה לחקור את תכונות המשולש עצמו - בניגוד לגיאומטריה, שמטרתה היא לטפל בכל המצולעים. הטריגונומטריה התפתחה על מנת לעזור לנווטים ולשייטים להתמצא בים הגדול, והיא שומשה למציאת הדרך באמצעות הסתכלות בכוכבים. עד היום, התחום טריאנגולציה באסטרונומיה עושה שימוש בפונקציות טריגונומטריות.

      המעגל הטריגונומטרי
      אז מדוע זוהי טעות להתחיל ממשולש ישר זווית? כיוון שהפונקציות הטריגונומטריות לא הוגדרו כל במשולש ישר זווית, אלא במעגל קנוני (שמרכזו בראשית הצירים) שרדיוסו 1. הרדיוס הימני של המעגל, המתלכד עם ציר ה-x, נע נגד כיוון השעון ובכך יוצר זווית עם ציר ה-x. אם נוריד זוג אנכים לצירים מנקודת הפגישה של הרדיוס עם המעגל, פונקציית הסינוס תוגדר כשיעור ה-y של נקודה זו ופונקציית הקוסינוס תוגדר כשיעור ה-x של נקודה זו.
      מעגל-טריגונומטרי-1.jpg
      מעטים המורים שמסבירים על המעגל הטריגונומטרי לעומק, וחבל שכך - כי בדרך זאת אנו מבינים את מהות הפונקציות הטריגונומטריות, ואיך "הגדרה פשוטה" מתפתחת לענף שלם.
      למעשה, מה שהראיתי הוא חלקי לחלוטין. להלן הפונקציות הטריגנומטריות המתקדמות יותר (למשל, קוסקנס, csc(x), מוגדרת כ-csc(x)=\frac{1}{sin(x)}.
      338px-circle-trig6.svg.png
      חדי העין יוכלו להסתכל, למשל, על פונקציית הטנגנס, tan(x), שפתאום שמה, tangent מקבל משמעות - משיק. תרגיל חמוד הוא לנסות להוכיח זאת.
      הוכחת-גבול.jpg
      אגב, לפתרון עצמו של התרגילון יחד עם התעמקות בטריגונומטריה על מנת להוכיח את נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות, ניתן להסתכל באשכול "אז למה גוזרים כך?" המופיעים בפורום 807:
      https://www.emath.co.il/forums/%D7%A9...htm#post333397

      לא אפרט יותר מדיי על המעגל הטריגונומטרי (ואולי גם זה דורש מאמר), אלא פשוט אציין שבעזרתו אפשר להוכיח זהויות טריגונומטריות. למשל, הזהות הפשוטה (שכלל לא מובנת ללא הוכחה): sin(\alpha)=sin(180-\alpha).
      נוכיח אותה בקצרה, עם התבוננות בשרטוט הבא:
      מעגל-טריגונומטרי-2.png
      אז מה בעצם מתואר לנו כאן? מתוארים לנו שני משולשים שנוצרו ע"י שני רדיוסי יחידה (רדיוסים שמרכזם 1) - אחד ברביע הראשון, שם הזוויות נעות בין 0 לבין 90, ואחד ברביע השני, שם הזוויות נעות בין 90 ל-180.
      הזוויות \angle A'OB' ו-AOB שוות לפי הבנייה. חשוב להדגיש, מאידך, שאולם הזוויות שוות, אך הסינוסים שלהם לפי המעגל שונים זה מזה. יש ליצור הפרדה מוחלטת בין הזוויות עצמן לבין ערך הפונקציות הטריגונומטריות המאפיינות אותן.
      נסתכל על המשולשים. A'O=AO=1 ׂ(הגדרת מעגל היחידה). \angle A'BO=\angle ABO=90 (מאונכות לציר ה-x), \angle AOB=\angle A'OB'=\alpha (בנייה). משני הסעיפים הקודמים, נובע כי \angle OA'B'=\angle OAB=90-\alpha (סכום הזוויות במשולש הוא 180). מכאן, המשולשים חופפים לפי ז-צ-ז.
      מההוכחה מקבלים A'B=AB וגם OB=OB'. אם נזכר בהגדרות של הפונקציות הטריגונומטריות במעגל היחידה, נקבל sin(\alpha)=sin(180-\alpha) וכן cos(\alpha)=cos(180-\alpha).
      חדי העין יוכלו להסתכל בציור הראשון בסעיף הנ"ל ולראות כיצד הזהות sin^2(x)+cos^2(x)=1 - היא פשוט נובעת ממשפט פיתגורס. מה היה קורה אם רדיוס המעגל היה 2 ולא 1? כל הזהויות שאנו מכירים היו פתאום משתנות להן...

      המעגל הטריגונומטרי משך אותו מאוד, כי פתאום ההגדרות התפלות של פונקציות במשולש ישר זווית מקבלות נופך אחר לחלוטין והופכות ל"חיות". המעגל הטריגונומטרי מסייע להבין איך כל מיני זהויות (ויש אינסוף כאלה) בטריגונומטריה מוכחות בצורה יפיפייה, ואין צורך לזכור אותן בע"פ. המעגל הטריגונומטרי, בנוסף, חשוב על מנת למצוא את הסימן של הפונקציות הטריגונומטריות: בעזרת המעגל הטריגונומטרי אפשר בקלות לגלות מהו הסימן (פלוס או מינוס) של הפונקציות הטריגונומטרי של \alpha=143 לדוגמא.

      ולסיום, ה"פאנץ'" - מדוע אם כן בכל זאת מלמדים שהפונקציות הטריגונומטריות מוגדרות במשולש ישר זווית? נחזור לשרטוט הראשון שלנו בחלק זה של המאמר - למשולש ישר הזווית ABO. נשרטט משולש ישר זווית כלשהו, עם זווית \alpha, מחוץ למעגל הטריגונומטרי. נסמן את קודקודיו כA', B' O בהתאמה לקודקודי המשולש הנתון.
      המשולשים דומים לפי משפט דימיון ז-ז. מכאן, צלעותיהם פרופרציוניות:
      \frac{AB}{A'B'}=\frac{AO}{A'O}=\frac{BO}{B'O}
      נפריד לשני שוויונות:
      \frac{AB}{A'B'}=\frac{AO}{A'O} \\ \frac{BO}{B'O}=\frac{AO}{A'O}
      נציב את הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות במעגל הטריגונומטרי,
      \frac{sin(\alpha)}{A'B'}=\frac{1}{A'O} \\ \frac{cos(\alpha)}{B'O}=\frac{1}{A'O}
      ואם נפשט נקבל:
      sin(\alpha)=\frac{A'B'}{A'O} \\ cos(\alpha)=\frac{B'O}{A'O}
      פתאום הכל מובן, לא?

      השילוב בין הטריגונומטריה לגיאומטריה
      על אף שטריגונומטריה היא תחום יפייפה, אין לה "בשר". טריגונומטריה היא ענף במתמטיקה ש"מתלבש" על הגיאומטריה, ואלו ביחד משלימים זו את זו. החוסר הרמוניה שחשבתי שיש בין זוג המקצועות בכיתה י' השתנה בהמשך הזמן, לאחר שראיתי את כוחה של הטריגונומטריה ועל דברים שאפשר להוכיח בעזרתה. וזה עיקרון המאמר. המעגל הטריגונומטרי הוא דבר מדהים, אך הוא לא שימושי ופרקטי - ללא השימוש בגיאומטריה.
      ראשית אראה כיצד הגיאומטריה משתלבת עם הוכחות טריגונומטריות. החלק השני, יראה כיצד הטריגונומטריה משתלבת עם הוכחות גיאומטריות.
      היופי בין שני התחומים הללו בא לידי ביטוי בשילוב בינן. כבר ראינו כיצד ההוכחות של הזהויות sin(\alpha)=sin(180-\alpha) \\  cos(\alpha)=-cos(180-\alpha) \\ sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1 משתלבות עם הגיאומטריה. אז נכון, רוב ההוכחות של הזהויות הטריגונומטריות באמצעות הגיאומטריה מתאימות למקרים פרטיים (כיוון שבמשולש כל הזוויות קטנות מ-180, ולעיתים גם אילוצים נוספים...), אך זה לא מוציא את היופי בהוכחות האלה.
      הנה דוגמא נוספת, הלקוחה מהספר של בני גורן, "טריגונומטריה לתלמידי 4 ו-5 יח"ל).
      ד.png
      אז מה אנחנו רואים פה? נתון משולש ABC ובו גובה BD לצלע AC. הצלע AB נקבעה כ-1 (מוכר קצת מדוע? ) והזוויות ABD וCAD סומנו כ-\beta וכ-\alpha בהתאמה.
      מהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר זווית ABD, נוכל להגיד כי AD=sin(\beta) וכי BD=cos(\beta).
      מהגדרת הקוסינוס במשולש ישר זווית BDC נוכל להגיד כי BC=\frac{cos(\beta)}{cos(\alpha)}.

      נעזר בנוסחת השטח הטריגונומטרית (אותה אוכיח בהמשך), S=\frac{absin(\gamma)}{2} ונקבל מכאן:
      S_{\Delta ABD}=\frac{1\cdot BD\cdot sin(\beta)}{2} \ = \ \frac{cos(\beta)sin(\beta)}{2}

      S_{\Delta DBC}=\frac{BD\cdot BC\cdot sin(\alpha)}{2} \ = \ \frac{cos(\beta)\cdot \frac{cos(\beta)}{cos(\alpha)}\cdot sin(\alpha)}{2} \ = \ \frac{cos^2(\beta)sin(\alpha)}{2cos(\alpha)}

      S_{\Delta ABC}=\frac{1\cdot BC\cdot sin(\alpha+\beta)}{2} \ = \ \frac{\frac{cos(\beta)sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha)}}{2} \ = \ \frac{cos(\beta)sin(\alpha+\beta)}{2cos(\alpha)}

      נעזר בחיבור שטחים, ונקבל:
      S_{\Delta ABC}=S_{\Delta DBC}+S_{\Delta ABD} \\ \frac{cos(\beta)sin(\alpha+\beta)}{2cos(\alpha)}= \frac{cos^2(\beta)sin(\alpha)}{2cos(\alpha)}+ \frac{cos(\beta)sin(\beta)}{2}
      צמצום של \frac{cos(\beta)}{2}\neq 0 (כיוון שבטא היא זווית חדה במשולש ישר זווית ABD) מניב:
      \frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha)}+\frac{cos(\beta)sin(\alpha)}{cos(\alpha)}+sin(\beta)
      והכפלה ב-cos(\alpha)\neq 0 (גם כאן, זווית חדה במשולש ישר זווית) מניבה:
      sin(\alpha+\beta)=cos(\beta)sin(\alpha)+cos(\alpha)sin(\beta)
      מוכר?

      דוגמא נוספת הופיעה בבגרות של חורף תשכ"ט, 4 יח"ל. אתעלם מהנתונים שהופיעו, ואסביר איך בוחני הבגרות הראו את התוצאה.
      ו.png
      יש לנו כאן משולש ישר זווית ADC, בעל זווית אלפא ובעל יתר שערכה a. האריכו את הניצב CD כאורכו של AC, כך שמקבלים BC=CD.
      הזווית ABC צמודה לזווית ACD, ולכן ערכה 180-\alpha. מאידך, המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (לפי בניית העזר), ולכן זוויות הבסיס בו שוות. סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180, ולכן \angle ABC=\angle CAB=\frac{\alpha}{2}.
      נעזר בהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר זווית ACD, ונקבל:
      AD=a sin(\alpha) \\ CD=a cos(\alpha).
      נעזר בהגדרת הטנגנס במשולש ישר זווית ABD, ונקבל
      tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{AD}{BC} \\ tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{a sin(\alpha)}{a+a cos(\alpha)}
      ואם נצמצם את a\neq 0 (צלע במשולש), נקבל את הזהות החביבה:
      tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{sin(\alpha)}{1+cos(\alpha)}

      ישנה גם הוכחה טריגונומטרית לזהות הזו, אך היא מבוססת על זהויות למחצית זווית, והן קצת "מעצבנות" - ההוכחה שלהן קלה, אך הן משתנות בהתאם לרביע, ולכן ישנו צורך בכמה מקרים ובטכניקה אלגברית.

      לא פעם עולה השאלה "אז איך בעצם המחשבון מחשב את הפונקציה הטריגונומטרית?". שאלה זו היא שאלה ברמה דיי מתקדמת, ונלמדת באוניברסיטה, תחת נושא הנקרא טורי טיילור. לא ארחיב, אך אגיד כי בעזרת טורי טיילור ניתן לשחב את ערכן של פונקציות רבות, בינן e^x, sin(x), arctan(x) ועוד ועוד בעזרים כלים פשוטים לכאורה. הנוסחאות מפחידות במקצת ולכן לא אצרף אותן - ורק לאחר ההבנה כיצד מכיחים את טורי טיילור, הכל מסתדר פתאום .
      אבל זה נכון חלקית. ניתן לחשב חלק מהפונקציות הטריגונומטריות של מספרים מסויימים, ואלו למשל הסינוסים של מחצית הזוויו תהבסיסיות, דהיינו \alpha=18, \alpha=22.5, \alpha=36
      ועוד ועוד.
      מי שרוצה עוד תרגיל טריגונומטרי - אלגברי, מוזמן לצייר משולש שווה שוקיים בעל זוויות בסיס של 45, ולחשב בעזרת חוצה זווית את הפונקציות הטריגונומטריות של \alpha=22.5.

      השילוב בין הגיאומטריה לטריגונומטריה
      וזהו החלק שרציתי להגיע אליו במאמר לאחר המעגל הטריגונומטרי, התחלתי להתאהב בטריגונומטריה - לטריגונומטריה קשרים רבים לענפי מתמטיקה רבים (אנליטית, גיאומטריה, אלגברה, חדו"א....) ובעזרתה ניתן לפתור דברים שנראים לא פעם סמויים מהעין.
      טריגונומטריה, לדעתי, שימושית בגיאומטריה לשם שלושה דברים עיקריים:
      א. הוכחת מקרים כלליים
      ב. חישוב זוויות (ולפי דעתי, זהו תחום חשוב מאוד, אך גם "בנאלי")
      ג. הקלת הוכחות.
      בחלק זה, אתמקד ב-א' וב-ג'.

      הטריגונומטריה מאפשרת לנו למצוא מקרים כלליים למקרים פרטיים הנובעים מהגיאומטריה.
      למשל, מי מאיתנו לא מכיר את הנוסחא לחישוב שטח משולש ישר זווית - שטח משולש ישר זווית שווה למחצית מכפלת הניצבים?
      בעזרת הטריגונומטריה, ניתן להוכיח נוסחא דומה לשטח משולש כלשהו.
      s.png
      יהי משולש ABC, שבו AC=b \\ BC=a \\ \angle ACB=\gamma. נרצה לחשב את שטחו.
      כאשר רואים שטח משולש בגיאומטריה, האפשרות הראשונה שעולה היא להוריד גובה לאחת הצלעות. בציור, הורדנו גובה לצלע BC שחותך אותה ב-E.
      שטח המשולש, אם כן, יהיה S=\frac{AE\cdot a}{2}.
      מאידך, משולש AEC הינו משולש ישר זווית, ולכן ניתן להשתמש בהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בו:
      sin(\gamma)=\frac{AE}{b} \\ AE=bsin(\gamma)?
      ומכאן, S=\frac{absin(\gamma)}{2}.

      דוגמא נוספת ניתנת לחישוב שטח משולש כלשהו בעזרת קטע כלשהו היורד מקודקוד של משולש אל הצלע שמולו והזווית בינם:
      מד.png
      גם כאן, ישנו משולש שבו BC=a. הפעם, ישנו קטע היורד מקודקוד A אל הצלע BC, שערכו הוא e ושיוצר הצלע BC זווית \alpha. נרצה לחשב את שטח המשולש.
      האפשרות הראשונה שעולה, שוב, היא להוריד גובה מהקודקוד A אל הצלע BC. שטח המשולש אם כן יהיה:
      S=\frac{AF\cdot a}{2}.
      מאידך, המשולש AFE הוא משולש ישר זווית, ולכן הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות תקפות בו. מתקיים:
      sin(\alpha)=\frac{AF}{e} \\ esin(\alpha)=AF
      ומכאן,
      S=\frac{aesin(\alpha)}{2}..
      הנוסחא הזו דומה לנוסחא הקודמת שהוכחנו, אך היא מראה משהו אחר לחלוטין - בעזרתה ניתן לחשב שטח משולש כלשהו, אם אנו יודעים צלע אחת שלו, ואם נתון קטע כלשהו היורד מהקודקוד מול המשולש אליו.

      עוד דוגמא יפה היא הרחבה של משפט חוצה זווית (חוצה זווית מחלקת את הצלע אליה הוא יורד כיחס הצלעות הכולאות אותו).
      גד.png
      במשולש ABC נתון AB=a, AC=b, BE=C, EC=d, \angle BAE=\alpha, \angle EAC=\beta. את הזוויות AEC סימנו כ-\varphi ומזוויות צמודות, מקבלים \angle AEB=180-\varphi.
      נעזר במשפט הסינוסים.
      במשולש AEB:
      \frac{a}{sin(180-\varphi)}=\frac{c}{sin(\alpha)}. מהזהות sin(180-\xi)=sin(\xi) מקבלים:

      \frac{a}{sin(\varphi)}=\frac{c}{sin(\alpha)}.
      ומכאן,
      sin(\varphi)=\frac{c}{a sin(\alpha)}.
      במשולש AEC:
      \frac{b}{sin(\varphi)}=\frac{d}{sin(\beta)}
      ומכאן,
      sin(\varphi)=\frac{d}{bsin(\beta)}
      אם משווים בין שני הביטויים מקבלים:
      \frac{c}{a sin(\alpha)}=\frac{d}{b sin(\beta)}
      או,
      \frac{c}{d}=\frac{a sin(\alpha)}{b sin(\beta)}
      כלומר, היחס בין זוג צלעות הכולאות קטע כלשהו במשולש החותך את הצלע שמולו, שווה למכפלת היחס בין הקטעים שהוא יוצר על הקטע שמולו ביחס בין הסינוסים של הזוויות שהוא יוצר עם צלעות המשולש. עבור המקרה הפרטי בו sin(\alpha)=sin(\beta), מתקבל משפט חוצה זווית.
      אם c=d, מקבלים \frac{a}{b}=\frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)} - כלומר, עבור המקרה הפרטי שבו הקטע הוא תיכון.
      אם המשולש ישר זווית, אז \alpha+\beta=90 \\ \beta=90-\alpha. מכאן,
      \frac{c}{d}=\frac{a sin(\alpha)}{b sin(90-\alpha)}

      \frac{c}{d}=\frac{a sin(\alpha)}{b cos(\alpha)}

      \frac{c}{d}=\frac{a}{b} tan(\alpha)
      מה שעשינו כאן הוא חקירה של תוצאה שיקבלנו בעזרת טריגונומטריה עבור מקרים פרטיים, וזהו היופי של הטריגונומטריה
      ישנם עוד המוני דברים להראות, אבל אעצור כאן. נסו להסתכל על תרגילים בספר שלכם, או לחשוב על מקרים כלליים ולנסות לנתח אותם עבור מקרים פרטיים, תתפלאו לראות כמה דברים אפשר לגלות כך

      אגב, לדפנה - זאת הייתה הגישה שלי בכיתה י'. מאז, דברים רבים השתנו, בייחוד לאחר שלמדנו חדו"א וסדרות גישה קצת טיפשית של ילד, בסה"כ...

      השילוב בין הגיאומטריה לטריגונומטריה
      וכאן, מתחיל עיקרו של המאמר חסרונה של הטריגונומטריה הוא העובדה שהיא טמונה בזוויות. מדידה של זוויות בכלים ידניים קשה יותר ממדידה של קטעים. הסרגל עצמו הוא כלי נפוץ יותר ממד זווית. גם אם הצלחנו לחשב את גודלה של הזווית, חישוב הפונקציה הטריגונומטרית המתאימה צריכים כלים מתקדמים ולרוב גם מחשבון.
      כוחה של הטריגונומטריה מול הגיאומטריה בא לידי ביטוי בעזרת שני המשפטים - משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים - שניתן להפעילם בכל משולש. שני המשפטים הללו בחלק מהמקרים "נעלמים" במהלך הדרך - בדומה לפתרון בעיות עם מרוכבים - ומספקים את התוצאה הסופית ללא פונקציות טריגונומטריות למהדרין.
      בעוד שלעיתים הדבר "קצת מרגיז" - שימוש מהיר בכלים טריגונומטריים ופספוס של ההוכחה הגיאומטרית היפה יותר - לעיתים אין מנוס בשימוש בכלים טריגונומטרים על מנת להוכיח טענות אלו. אף על פי שההוכחה הגיאומטרית לרוב "יפה יותר", היא מצריכה כלים אלגבריים מתוחכמים יותר לא פעם ובניות עזר. ההוכחה הטריגונומטרית לעיתים פשוטה לחלוטין ולא פעם איננה מצריכה שרטוט. חסרון גדול בגיאומטריה הוא שהיא דורשת לא פעם קרבה בין משולשים או מצולעים על מנת שהיא תפעל, או בצורה ברורה יותר: נקודות מגע. הטריגנונומטריה יכולה להקל מאוד על בעיות אלה.
      להלן כמה דוגמאות.
      *הערה: כל המשפטים שאני מוכיח כאן הם משפטים טובים מאוד לתרגול ממליץ לכל אחד לנסות בעצמו קודם כל להוכיח - ואם אפשר, פעם בצורה גיאומטרית ופעם בצורה טריגונומטרית - לשם האתגר*
      משפט: במקבילית, סכום ריבועי המקבילית שווה לסכום ריבועי הצלעות.
      י.png
      תהי מקבילית ABCD שבה האלכסונים הם AD=k_1, BC=k_2, AB=CD=a, AC=BD=b.
      צ"ל: k_1^2+k_2^2=2a_2+b^2
      להלן זוג הגישות:

      הגישה הגיאומטרית:
      מורידים גבהים AH,FD,BG,EC מקודקודי המקבילית. הגבהים שווים זה לזה (יוצרים מלבנים / מרחקים בין מקבילים) המשולשים ACE ו-BDG חופפים (גבהים במקבילית, צלעות נגדיות שוות במקבילית, זוויות ישרות). נסמן AE=x, EC=h ונשלים את כל שאר הקטעים לפי החפיפה ולפי חיבור וחיסור קטעים.
      במשולש AEC מתקיים פיתגורס:
      (1) \ x^2+h^2=b^2
      במשולש AHD מתקיים פיתגורס:
      (2) \ h^2+(a-x)^2=k_1^2
      במשולש FAD מתקיים פיתגורס:
      (3) \ h^2+a^2=k_1^2
      במשולש BCG מתקיים פיתגורס:
      (4) \ h^2+(a+x)^2=k_2^2
      נחבר בין המשוואה השנייה והרביעית. נקבל,
      2h^2+(a-x)^2+(a+x)^2=k_1^2+k_2^2 \\ 2h^2+a^2-2ax+x^2+a^2+2ax+x^2=k_1^2+k_2^2 \\ 2h^2+2a^2+2x^2=k_1^2+k_2^2
      נבודד את h^2 מהמשוואה הראשונה ונציב בביטוי שקיבלנו:
      2(b^2-x^2)+2a^2+2x^2=k_1^2+k_2^2 \\ 2b^2-2x^2+2x^2+2a^2=k_1^2+k_2^2 \\ 2a^2+2b^2=k_1^2+k_2^2
      מש"ל.

      הגישה הטריגונומטרית:
      נסמן: \angle AOC=\alpha. מזוויות צמודות \angle COD=180-\alpha.
      נזכר בכך שהאלכסונים במקבילים חוצים זה את זה.
      במשולש AOC מתקיים משפט הקוסינוסים:
      b^2=\frac{k_1^2}{4}+\frac{k_2^2}{4}-2\cdot \frac{k_1}{2}\cdot \frac{k_2}{2}cos(\alpha)

      b^2=\frac{k_1^2}{4}+\frac{k_2^2}{4}-\frac{k_1k_2}{2}cos(\alpha)
      במשולש COD מתקיים משפט הקוסינוסים. נזכור את הזהות cos(\alpha)=-cos(180-\alpha), ולכן נקבל:
      a^2=\frac{k_1^2}{4}+\frac{k_2^2}{4}-2\cdot \frac{k_1}{2}\cdot \frac{k_2}{2}cos(180-\alpha)

      a^2=\frac{k_1^2}{4}+\frac{k_2^2}{4}+\frac{k_1k_2}{2}cos(\alpha)
      ואם נחבר בין זוג המשוואות נקבל:
      a^2+b^2=\frac{k_1^2}{2}+\frac{k_2^2}{2}
      והכפלה ב-2 של כל המשוואה מניבה:
      2a^2+2b^2=k_1^2+k_2^2

      מה פשוט יותר?

      משפט: שטח משולש כלשהו שווה ליחס בין מכפלת צלעות לבין פעמיים קוטר המעגל החוסם אותו.
      יהי משולש ABC ובו AB=a, AC=b, BC=c, ורדיוס המעגל החוסם אותו הוא R.
      צ"ל: S=\frac{abc}{4R}.

      הגישה הגיאומטרית:
      מצורף שרטוט.

      dk.png
      בניית עזר: העברנו מנקודה B קוטר שחותך את המעגל בנקודה D. בנוסף, AH אנך לBC.
      הזווית BAD היא זווית היקפית הנשענת על קוטר, ולכן היא ישרה. הזוויות ADB וACB הן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת AB, ולכן שוות.
      מכאן, המשולשים BAD וACH דומים לפי ז-ז. מצלעות פרופרציוניות:
      \frac{h}{a}=\frac{b}{2R}
      ומכאן,
      h=\frac{ab}{2R}
      שטח המשולש ABC ניתן ע"י מחצית מכפלת גובה בצלע אליה הוא יורד או להמשכה.
      מכאן,
      S=\frac{hc}{2}.
      נציב את h ונקבל:
      S=\frac{\frac{ab}{2R}\cdot c}{2}
      ולאחר פישוט אלגברי:
      S=\frac{abc}{4R}

      הגישה הטריגונומטרית: כלל לא מצריכה שרטוט.
      שטח משולש ע"פ שתי צלעות והזווית שבינן: S=\frac{absin(\gamma)}{2}.
      ממשפט הסינוסים: S=\frac{c}{sin(\gamma)}=2R
      ומכאן,
      \frac{c}{2R}=sin(\gamma).
      הצבה ופישוט אלגברי מניבים S=\frac{abc}{4R].

      מציאת גודלו של חוצה זווית ע"פ שלוש צלעות במשולש:

      יהי משולש ABC ובו AE חוצה זווית A. ידוע כי \angle A=2\alpha. נסמן: AB=a,AC=b,BC=c . אורכו של חוצה הזווית יסומן כ-e. מצא את גודלו של חוצה הזווית במשולש ע"פ שלוש צלעותיו.
      שג.png

      הגישה הגיאומטרית:
      נסמן: BE=x_1, EC=x_2. ממשפט חוצה זווית נובע כי \frac{a}{b}=\frac{x_1}{x_2}, או x_1=\frac{ax_2}{b}.
      מאידך, x_1+x_2=c. מכאן,
      \frac{ax_2}{b}+x_2=c \\ ax_2+bx_2=bc \\ x_2=\frac{bc}{a+b}.
      בצורה דומה, מוכיחים x_1=\frac{ac}{a+b}.
      נאריך את חוצה הזווית עד שהוא יגע במעגל החוסם את המשולש. נסמן את נקודת החיתוך ב-F.
      הזוויות ABC ו-AFC הן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת AC. הזוויות BAE ו-EAC שוות זו לזו (חוצה זווית). מכאן אפשר להגיד כי \Delta ABE\sim \Delta AFC (ז-ז).
      מצלעות פרופרציוניות, מקבלים \frac{e}{b}=\frac{a}{e+EF}.
      מאידך, שני מיתרים במעגל מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.מכאן,
      x_1x_2=eEF, ולכן \frac{x_1x_2}{e}=EF
      נציב זאת ונפשט:
      \frac{e}{b}=\frac{a}{e+\frac{x_1x_2}{e}}

      \frac{e}{b}=\frac{ae}{e^2+x_1x_2}
      וכיוון ש-e\neq 0, אפשר לצמצם אותו ולפשט עוד יותר:
      \frac{1}{b}=\frac{a}{e^2+x_1x_2} \\ e^2+x_1x_2=ab \\ e^2=ab-x_1x_2
      ונציב את x_1 ו-x_2.
      e^2=ab-\frac{ac}{a+b}\cdot \frac{bc}{a+b}

      e^2=ab-\frac{abc^2}{(a+b)^2}

      e^2=ab(1-\frac{c^2}{(a+b)^2})

      e^2=ab(\frac{(a+b)^2-c^2}{(a+b)^2})
      ואם נפתח לפי m^2-n^2=(m+n)(m-n), ומקבלים:

      e^2=\frac{ab(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^2}

      e=\sqrt{\frac{ab(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^2}}

      הגישה הטריגונומטרית:
      משפט הקוסינוסים במשולש
      c^2=a^2+b^2-2ab cos(2\alpha)
      ומכאן,ע"י השלמה לריבוע:
      c^2=(a+b)^2-2ab-2abcos(2\alpha)

      c^2=(a+b)^2-2ab[1+cos(2\alpha)]


      c^2-(a+b)^2=-2ab[1+cos(2\alpha)]
      ונכפיל במינוס.
      (a+b)^2-c^2=2ab[1+cos(2\alpha)]
      נפתח לפי זווית כפולה: cos(2\varphi)=2cos^2(\varphi)-1
      (a+b)^2-c^2=2ab[1+2cos^2(\alpha)-1]

      (a+b)^2-c^2=4abcos^2(\alpha)

      שטח המשולש ABC שווה לסכום המשולשים BAF ו-FAC.
      S_{BAF}+S_{FAC}=S_{ABC}
      לפי הנוסחא הטריגונומטרית הבסיסית לשטח משולש:
      \frac{aesin(\alpha)}{2}+\frac{besin(\alpha)}{2}=\frac{absin(2\alpha)}{2}

      aesin(\alpha)+besin(\alpha)=absin(2\alpha)
      ונפתח לפ זווית כפולה:
      aesin(\alpha)+besin(\alpha)=2absin(\alpha)cos(\alpha)
      ברור כי sin(\alpha)\neq 0 (למה?) ולכן ניתן לצמצמו. מקבלים:
      e(a+b)=2abcos(\alpha)

      \frac{e(a+b)}{2ab}=cos(\alpha)

      נציב ונמשיך כרגיל:
      (a+b)^2-c^2=4ab\cdot \frac{e^2(a+b)^2}{4a^2b^2}

      (a+b)^2-c^2=\frac{e^2(a+b)^2}{ab}

      ab(a+b+c)(a+b-c)=e^2(a+b)^2 \\ e^2=\frac{ab(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^2} \\ e=\sqrt{\frac{ab(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^2}}

      כאן, הגישה הטריגנומטרית דורשת יותר "טכניקה" ואלגברה, אך היא טריוויאלית יותר מהגישה הגיאומטרית.

      בעזרת הטריגונומטריה, אפשר להוכיח גם משפטים יותר מוכרים, אך אני רואה בזה סוג של חטא כלפי הגיאומטריה. בנוסף, לא פעם משפט טריגנומטרי מבוסס על הוכחה גיאומטרית, ולכן אנו הולכים במעגל - מוכיחים משהו בעזרת כלי שהוכחנו בעזרתו. בנוסף, ישנן הוכחות רבות למשפט הקוסינוסים, למשפט הסינוסים ולכל הזהויות, ולא פעם משתמשים במשפט בסיסי כדי להוכיח אותן - לכן, קשה לבחור דרך ישרה להוכחת משפטים בגיאומטריה שלא נעשה שימוש בהם.
      אני אצרף דוגמא קטנה, אך איני אוהב אותה. מאידך, היא קפצה לי לא פעם בתרגילים באופן דיי מעצבן, ולכן - מניח שזה קורה הרבה.
      הוכחה של משפט תאלס
      אחת ההוכחות הגיאומטריות של משפט תאלס ניתנת ע"י העברת קטע מקביל לבסיסים, כך שנוצר משולש חדש. במשולש הנ"ל, מעבירים קטע אמצעים. לאחר מכן, מעבירים עוד קטע מקביל לבסיס, ושוב יוצרים קטע אמצעים, וממשיכים בתהליך. קטע אמצעים ניתן להוכחה בלי להיעזר במשפט תאלס, וכתוצאה מכך רואים שהמקבילים שהעברנו מחלקים את צלעות המשולש ביחס זהה - ובכך מוכיחים את משפט תאלס. ישנן הוכחות רבות פחות לוגיות, ואליהן אני מכוון.
      נד.jpg
      יהי משולש ABC שבו AB||EF. צ"ל: \frac{EC}{AE}=\frac{CF}{BF}

      הגישה הגיאומטרית:
      נעביר את הקטעים BE ו-AF. נוריד כעת זוג גבהים דימיוניים מ-E ל-AB ומ-F ל-AB. הגובה הראשון יסומן כ-h_1 והגובה השני יסומן כ-h_2. נוכל להגיד כי h_1=h_2=h (מרחקים בין מקבילים / יוצרים מלבן). מכאן, לפי נוסחת השטח הגיאומטרית:
      S_{\Delta ABE}=\frac{hAB}{2}

      S_{\Delta ABF}=\frac{hAB}{2}
      ולכן, S_{\Delta ABE}=S_{\Delta ABF}. זוהי תוצאה שחוזרת בלא מעט תרגילים, מ כאן, אם נסמן ב-O את נקודת מפגש הקטעים AF ו-BF, אז S_{\Delta AOE}=S_{\Delta BOF} (חיסור שטחים). נשים לב שהשטח EOF הוא שטח משותף לשני המשולשים, ומכאן ע"י חיבור שטחים S_{\Delta AFE}=S_{\Delta BFE}

      כעת, נעזר בקובץ המשפטים שאין להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה, שהעליתי פעם עבור הפורום ושנמצא בEmathwiki.
      לפתיחה - לחץ כאן ובמשפט (8) מתוכו. ע"פ המשפט, קטע היורד מקודקוד של משולש אל הצלע שמולו ומחלק אותה ביחס של m:n, מחלק את המשולש לשני משולשים שהיחס בין שטחיהם הוא m:n.
      נפעיל את המשפט על המשולשים AFC והקטע FE, ו-BEC והקטע FE. נקבל:
      \frac{S_{\Delta EFC}}{S_{\Delta AFE}}=\frac{CE}{AE}

      \frac{S_{\Delta EFC}}{S_{\Delta BFE}}=\frac{FC}{BF}
      ומתוקף השוויון הקודם שהוכחנו, מקבלים כי הצד השמאלי של שני אי השוויונות זהה, ולכן \frac{CE}{AE}=\frac{FC}{BF}.

      הגישה הטריגונומטרית:
      נסמן: \angle FEC=\alpha. מתוקף זוויות מתאימות בין מקבילים, \angle BAC=\alpha. מסמנים בנוסף \angle EFC=\beta ומזוויות מתאימות, \angle ABC=\beta.
      משפט הסינוסים במשולש FEC:
      \frac{EC}{sin(\beta)}=\frac{FC}{sin(\alpha)}
      ולכן,
      \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}=\frac{EC}{FC}
      משפט הסינוסים במשולש ABC:
      \frac{AC}{sin(\beta)}=\frac{BC}{sin(\alpha)}
      ולכן,
      \frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}=\frac{AC}{BC}
      השוואה בין האגפים השמאליים מניבה \frac{AC}{BC}=\frac{EC}{FC}, או \frac{FC}{BC}=\frac{EC}{AC}.
      זוהי ההרחבה הראשונה של משפט תאלס. כדי להגיע למשפט עצמו, נהפוך את המונים ונוריד 1 משני האגפים. נקבל:
      \frac{BC}{FC}=\frac{AC}{EC}

      \frac{BC}{FC}-1=\frac{AC}{EC}-1

      \frac{BC-FC}{FC}=\frac{AC-EC}{EC}

      \frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}
      והפיכת מונים שוב מניבה:
      \frac{FC}{BF}=\frac{EC}{AE}.

      הטריגונומטריה מספקת לנו כלים נהדרים כדי להוכיח שוויונות שלא חשבנו עליהם קודם, וסביר להניח לא היינו חושבים עליהם. למשל,
      \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{b_c}=\frac{1}{r}, כאשר h_m הוא הגובה היורד לצלע m ו-r הוא רדיוס המעגל החסום במשולש, או שוויונות מוזרים הרבה יותר: (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=(h_a+h_b+h_c)(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}). בעזרת הגיאומטריה, הדבר הנ"ל נראה מאיים והזוי, אך בעזרת הטריגונומטריה והפישוט, ניתן להוכיח אותן. למשל, אפשר בקלות להוכיח בטריגו כי הגובה h_m לצלע m, שווה למכפלת אחת הצלעות הסמוכות לו מול הזווית שמולו (הראינו זאת בסעיף הקודם, כאשר הוכחנו את נוסחת השטח S=\frac{absin(\gamma)}{2}. אם נציב זאת במשוואה דלעיל, נקבל פסוק אמת .

      אין ספק שהגיאומטריה היא כלי מדהים, אך אין להתעלם מהטריגונומטריה. תרגילים שנראים לא פעם חסרי תועלת בבגרות (עבור איזו זווית יהיה היחס בין זוג קטעים 2:3?, הוכח כי AB=\frac{a sin(45+\alpha)}{sin(\beta)}...) מקבלים צורה אחרת כאשר מסתכלים על השילוב בין גיאו וטריגו.
      אני דיי מאוכזב שהדברים שהראיתי כאן אינם נלמדים בתיכון, או במסגרת כלשהי. מעטים ספרי הלימוד שכלל מציינים את הדברים הללו, ומעטים עוד יותר שמסבירים אותם. עבור תלמידי תיכון, טריגונומטריה יכולה להיות סתם שאלה בבגרות שבה נדרשים להגיע לביטויים מסובכים בעזרת משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים - דברים טכניים שאינם מצריכים חשיבה. לא מלמדים כיצד התפתחה הטריגונומטריה, מהם שימושיה - וכמה היא שימושית.
      הטריגונומטריה מופיעה באנליטית, בפיזיקה, באסטרונומיה, במחשבים, בקרינה... ובכל תחום אפשרי. הגיאומטריה גם היא. השילוב בין שתיהן יכול לפתור בעיות קשות ומסובכות - ושימושית עבור כל אדם. לא סתם מלמדים את הטריגו הבסיסית גם ב-3 יחידות, בניגוד לגיאומטריה.
      בעזרת הגיאומטריה ניתן להראות דברים מדהימים - למשל, בהינתן משולש, מהי הנקודה שבה ימצא מרכז הכובד שלו - כלומר, אם נעמיד את המשולש על מקל, הוא יעמוד. הנקודה הזו היא נקודת מפגש התיכונים, ויש לכך הוכחה גיאומטרית (אפשר לראות זאת גם באנליטית - נקודת מפגש התיכונים במשולש היא הממוצע האלגברי של קודקודיו. כלומר, בהינתן משולש ABC שבו A(x_1,y_1) \\ B(x_2,y_2) \\ C(x_3,y_3), נקודת מפגש התיכונים, O, תהיה O(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3)}{3}) - דבר שמצריך הוכחה, ואתגר. למי שאינו מצליח, אני מצרף פתרון שכתבתי: להורדה - לחץ כאן).

      הטריגונומטריה והגיאמוטריה עוזרות להפיח "מציאות" במתמטיקה בצורה הברורה ביותר - אך בכל זאת, בעוד הגיאומטריה זוכה ליותר אהדה (נלמדת מגיל צעיר - איננו פוחדים מדבר מוכר), הטריגונומטריה נראית כמקצוע מאיים וככוללת שני משפטים בלבד - משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים. אני מקווה שבעזרת המאמר הזה הצלחתי לשכנע בצדקת הטריגונומטריה, ואולי ללמד כמה דברים חדשים. מחכה בקוצר רוח לראות שגם אתם כותבים מאמרים שכאלה! במידה ואראה זאת, אשקול לכתוב מאמר נוסף. יש לי כבר כמה נושאים בראש
      __________________________________________________ _______________________________________
      ואיך אפשר שלא לסיים בתרגיל סיכום, כדי לבחון כמה הייתם מרוכזים במאמר?
      נתון משולש ABC ובו קטע BD היוצר על הצלע AC זוג קטעים - AD ו-DC.
      נסמן: AB=a, BC=b, AD=c, DC=d. נסמן את אורך BD כ-e.
      א. הוכח בדרך טריגונומטרית כי e=\sqrt{\frac{c(b^2-d^2)+d(a^2-c^2)}{d+c}}.
      ב. הוכח את הטענה הנ"ל בדרך גיאומטרית.
      ג. בחן את התוצאה שקיבלת:
      (1) עבור המקרה שבו d=c, כלומר, עבור המקרה שבו BD הוא תיכון במשולש.
      (i) עבור המקרה הזה, כאשר המשולש ישר זווית, מה גודלו של e?
      (2) עבור המקרה שבו המשולש הוא ישר זווית.
      (i) מה משמעות התוצאה שקיבלת?
      (ii) היעזר בכך שהמרחק הקצר ביותר בין נקודה וישר הוא האנך המחבר בינן, סמן d+c=f ומצא נוסחא ל-BD כאשר הוא גובה במשולש.
      (3) מה קורה כאשר המשולש שווה שוקיים?
      (i) בהקשר הזה, מה קורה כאשר המשולש הוא שווה שוקיים וגם ישר זווית?
      בהצלחה!!!!, לילה טוב ומבורך, ושמח למי שהצליח לקרוא ולהחזיק מעמד למשך המאמר! תומר
      כתבה זו במקור פורסמה באשכול : גיאומטריה, טריגונומטריה והשילוב בינן started by Dmot הצג הודעה מקורית
      תגובות 7 תגובות
      1. הסמל האישי שלאריאל
        אריאל -
        הי תומר - מאמר מצוין, קראתי את כולו ונהניתי .

        אגב, רק דבר קטן, אם רדיוס המעגל לא היה 1 פשוט ההיטלים על הצירים היו משתנים ולא הזהויות שלנו חס וחלילה אבל כוונתך הובנה .

        יישר כח .
      BEST_ANSWER_PLACEHOLDER
      1. הסמל האישי שלbrainless
        brainless -
        ‏‎‏‎
        שלום תומר !
        כיף לראות אותך פעיל, עוזר ותומך בפורום בכל דקה אפשרית פנויה.
        לאור עיסוקייך הרבים, סיוע ממושך ורציף שכזה בכל התחומים הרחבים שהפורום הזה מציע,
        מגמד מצידנו כל אמירת תודה שלה תזכה, כך שלהכביר במילים על תרומתך האדירה, בייחוד לאחרונה,
        זה פשוט שואף למיותר (;
        רק שיהיה ברור, יש לא מעט משתמשים בפורום ומחוצה לו, שקוראים בשקיקה כל אות שאתה מעלה על מסכינו,
        מבלי לצפות לתמורה, ועל כך, הערכתינו השקטה, העצומה והלגמרי לא מספקת, אלייך.
        אני אישית כל כך נהנה מהמאמרים האלו! גם משום שאתה מעורר במעשייך אחרים לפעול.
        קח לדוגמה את omeromer שכתב לאחרונה מאמר מצויין ומרתק על נושא שלא הכרתי כלל קודם לכן.
        יוזמה מבורכת שלך, ואני שמח שאחרים לוקחים חלק במסורת, מרימים את הכפפה,
        ומעניקים לנו כמות אדירה של מידע, וכמה דקות הנאה רצופות.

        קראתי את המאמר כולו והתחברתי מאוד לנושא. תחומים מסועפים ומרתקים שהצלחת לנקז
        לכדי מאמר מושלם, הן מבחינת התוכן והן מבחינת צורת הכתיבה הנהדרת בה ניחנת.
        הזכרת לי במאמר הרבה פעמים את עצמי - בהתחלה מאוד לא אהבתי טריגו,
        לא יודע אם זו דרך הלימוד או הנושא עצמו. חיפשתי כל הזמן חוקיות והיגיון
        בין הפונקציות השונות, אך היה לי מאוד קשה לראות את הקשר, בעוד ההבנה
        על קיום הקשר הייתה שם תמיד. עם הזמן הכל הפך פחות מוזר, יותר מוכר,
        אך לא בהרבה יותר הגיוני. את הסקרנות, לצערי, החליפה האוטומטיות,
        שהשתרשה בלית ברירה לפי צורכי המערכת. זו גם הסיבה העיקרית ללמה
        נחמד להתקל במאמרים שכאלו, שמזכירים ומחזירים את הזיקה למקצוע.
        לי, בניגוד אליך, תמיד הייתה בעיה עם אותו מעגל קנוני. אף פעם לא הבנתי איך
        ניתן להחיל חוקים ספציפים שנכונים רק למקרה הפרטי של המעגל, על תורה
        שלמה של צורות, זויות וצלעות שאמורים להתנהג בדיוק כפי שהם מתנהגים
        במעגל הקנוני.

        עכשיו כמובן הכל ברור הרבה ביותר. אני נדהם בכל פעם מחדש מכמות הידע
        העצומה שרכשת בזמן די קצר ולרוב באופן די עצמי. באמת מעורר הערצה.
        לצערי לא היו לי מורים שהראו וטרחו להוכיח, והאשמה אולי דווקא לא עליהם,
        בכל זאת, תמיד טוב לדעת יותר. לכן אשמח מאוד אם תמשיך עם המאמרים האלו,
        אם זה לא גוזל ממך יותר מידי כמובן. אנחנו לא רוצים למותת אותך כאן עם הדרישות שלנו.
        באם תחליט שכן להמשיך, אשמח מאוד לקרוא על תחום החדוו"א בין היתר.
        בדגש על נגזרות, אינטגרלים, שיפועים, שטחים והמשמעות של כל אחד מאילו.
        הבנתי שלתלמידי פיזיקה הנושא נגיש ומורחב כחלק מתכנית הלימוד.
        מעניין אותי מאוד ה"איך" ובעיקר ה"למה" בנושא זה.
        מעולם לא הוסבר לי לדוגמה למה פעולה על אינטגרל בלתי מסויים מביאה לביטוי מספרי שמבטא שטח
        כלוא בין פונקציות, אלא סתם זרקו לי נוסחאות שהתבקשתי ללמוד בעל פה, וחבל.
        כמו כן, דבר שמאוד אהבתי גם במאמר זה, שימת דגש על השימושיות שבתחומים האלו,
        בחיי היום יום ובתחומי המדע האחרים. בהקשר זה לדוגמה, איך הבנת נושא הסדרות
        עוזר לנו כיום ומקדם אותנו כיום בתחומים שונים? האם לתחום יש משמעות בפועל בעולם ה"אמיתי",
        מעבר לדוגמאות שניתקלנו בהם בדמות הבעיות המילוליות. משום מה יש לי תחושה שלהכל יש קשר
        איכשהו למחשבים, לתוכנה, לאלגוריתמים וכדומה. שזה נושא שגם, אין לי מושג מה הוא מכיל,
        ויותר מאשמח לגלות. (במסגרת תחום הידע שכבר רכשת בלבד, אין צורך להיכנס לתחומים אקדמאיים מסובכים).

        זאת ועוד כמובן, לשיקולך בלבד.
        תודה רבה לך תומר, באמת שזה עושה לי ולרבים מאיתנו טוב לראות שאתה כאן, ושאתה כאן כדי להישאר.
        מודה לך מקרב לב, ידידך משכבר הימים (:
        שבוע טוב!
      1. הסמל האישי שלDmot
        Dmot -
        brainless" למה הגבת כ"כ מאוחר? לו היית מגיב 20 דקות קודם, יכולתי לכתוב לך פוסט ארוך ולהסביר את כל הדברים שלא הבנת :(
        אבל, מחר אני צריך לקום מוקדם לצבא - ולכן, אף על פי שאין זה נוח - אצטרך לדחות את התגובה עוד שבועיים, קצת פחות.
        אני לא מרגיש בנוח לענות עם תגובה כ"כ קצרה על פוסט כ"כ ארוך - אך באמת, שאין לי זמן להגיב לעומק. אגיד לך רק תודה. תודה על התגובה היפייפיה ועל התחושה שאתה נותן כשאני חוזר מהצבא - התגובות הללו של משתמשים והמילה "תודה" הם מה שגורם לי להמשיך - ועל כן, אני מודה לך
        לו למשוך את זה עוד קצת זמן, הייתי מנסה להגיב לך במהירות האפשרית - אך איני יכול. מתנצל על כך.
        עוד שבועיים, אבל, אני מבטיח
        לילה טוב ומבורך, ותודה שוב,
        תומר.
      1. הסמל האישי שלDmot
        Dmot -
        כפי שהבטחתי, אענה על השאלות שהוצגו שוב התמוגגתי לנוכח התגובה שלך. תודה רבה! אני באמת באמת מעריך זאת, ותמיד, כמו שלא פעם ציינתי בתגובותיי -צריך שני אנשים כדי ללמוד, ולא אחד. צריך מישהו שיודע להסביר, אך יותר מכך, מישהו שרוצה לדעת - ועל כן, אני מוקיר אותך באותה הדרך, אם לא יותר, שציינת. המאמר הקטנטן הזה יכול היה להישאר במקום נידח באתר - אבל בזכותך, ובזכות האנשים שקראו, אני גאה במאמר.
        והשאלות:
        א. נצא קודם כל מהמונח "מקרה פרטי". רוב הדברים במתמטיקה הם מקרים פרטיים, ויש שאיפה תמיד להכליל כמה שיותר את המשוואות, אך לא יותר מדיי (ככל שאנו מניחים שיותר פרטים הם "כלליים", כך כמות הנתונים יורדת, וכך כמות הפרמטרים האפשריים. אין נוסחא שניתנת בעזרת צלע אחת במשולש בלבד, וכך גם שתיים. צריך נתון, למשל, על אודות זווית.
        "מקרה פרטי" הוא טענה הנגזרת מהטענה הכללית, ולרוב הוכחתה קלה יותר (אך לעיתים לא פעם נחמד הרבה יותר לפתור משוואה בצורה "כללית" והדבר קל יותר.
        אם הטענה הכללית נכונה, אז הטענה עבור המקרה הפרטי חייבת גם היא להיות נכונה. כמובן שזה לא ההפך.
        נסתכל למשל על טרפז שבו הבסיסים הם a,b וקטע האמצעים הוא e. ק"א בטרפז שווה למחצית סכום הבסיסים e=\frac{a+b}{2}. אם אחד הבסיסים בטרפז הוא אפס, נניח וזהו הבסיסי a, אז נקבל לפי הנוסחא e=\frac{b}{2}. מהמבחינה הגיאומטרית, במקרה הזה אנו מקבלים משולש, ואכן, קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל. כלומר, הטענה הכללית נכונה גם עבור הטענה הפרטית.
        הגיאומטריה האנליטית מביאה לנו דוגמאות נהדרות למקרים פרטיים. הנוסחא למשיק למעגל שמרכזו (a,b) בנקודה (x_1,y_1) היא (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=R^2. משוואת המעגל, לפי הנוסחאות בתיכון, היא (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. נוסחת מעגל של משוואה קנונית היא x^2+y^2=R^2, ונוסחת משיק למעגל קנוני xx_1+yy_1=R^2. קל לראות שהנוסחאות עבור מעגל קנוני נובעות מהמשוואות עבור מעגל כללי כאשר a=0,b=0. אז נכון, אי אפשר להסיק מהמקרה הפרטי את המקרה הכללי, אך זאת לא הטענה שלי.
        כדאי לשים לב שהמשוואות (x-a)^2+(y-b)^2=R_1^2 \\ (x-a)^2+(y-b)^2=R_2^2 של שני המעגלים הן זהו עד גבול מסויים. אם נצייר את שני המעגלים הללו בדף חסר שנתות ומערכות צירים, שני המעגלים יהיו זהים אם R_1=R_2 - וללא מערכות הצירים נוכל לראות זאת בקלות. מלימודי הגיאומטריה אפשר להגדיר מעגל באמצעות רדיוס בלבד, והנקודות a,b הן בסה"כ קוארדינציות מקום. כך למשל, הישרים y=mx+n_1 \\ y=mx+n_2 \\ y=mx_+n_3 הם ישרים מקבילים (למה?), וללא מערכת צירים, הם יראו זהים ואף חופפים (אם נניח את האחד על האחר, הם יתלכדו).
        אז נכון, עבור נוסחאות למקרה פרטי לא נוכל להסתכל על המקרה הכללי, אבל נוכל להסיק תכונות כלליות באמצעות המקרים הקנונים, "המנוונים" - כך לעיתים הם נקראים. אם המשוואות [ TEX](x-3)^2+(x-4)^2=25[/TEX] ו-x^2+y^2=25 מתארות את אותו המעגל בקוארדינטות שונות, אז כדי להוכיח דברים כללים - למשל, שרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, כיוון, שבצורה כללית הכל נשמר. משפט שלא יצא לך להתקל, אך לעיתים מקובל להשתמש בו, הוא "ללא הגבלת הכלליות". אם אנו צריכים להוכיח, למשל, שבמלבן, סכום ריבועי המרחקים של שני קודקודים נגדיים מנקודה כלשהי שווה לסכום ריבועי המרחקים של הנקודה משני הקודקודים האחרים, אז ברור שהטענה גם נכונה עבור מלבן בעל צלעות נגדיות של 1,2 (וגם לריבוע, אך זוהי הנחה "משמעותית מדיי"). כמו שלא משתמשים ב"ללא הגבלת הכלליות" בבגרות .

        ב. פעולת האינטגרציה היא פעולה חמודה, שתלמידי פיזיקה משתמשים בה כמעט תמיד (בהוכחות, למשל). כולם יודעים שכדי לעבוד עם כח משתנה, עלינו לעבוד עם אינטגרציה - לסכום את כל הכוחות הפועלים. כך למשל המהירות היא נגזרת של המקום ("השינוי במקום") והתאוצה היא נגזרת של המהירות ("השינוי במהירות"). האנרגיה הפוטנציאלית היא נגזרת של הכח (סכום האנרגיות...). והדבר גם הפוך - השטח שנמצא תחת גרף מקום זמן הוא המהירות. למשל
        אז למה זה בכלל נכון? לא אתן הוכחה מסובכת מחדו"א 1, אלא פשוט אסתכם בהוכחה מבני גורן, שבהחלט סיפקה אותי
        קובץ מצורף 27974
        בציור מתוארת הפונקציה y=f(x). משתי נקודות בגרף הפונקציה הורדנו אנכים לציר ה-x. הנקודות תסומננה ב-x וב-x_1. מכיוון שהנקודות נמצאות על גרף הפונקציה אז נוכל לסמן את הנקודות כ-(x,f(x)), (x_1,f(x_1)). האנכים לצירים שווים לשיעורי ה-y של הנקודות (מרחק נקודה מישר / נוצר מלבן). נתונה גם נקודה a שהיא קבועה. נניח הנקודה x יכולה להשתנות (לנוע על גבי ציר ה-x, ובכך גם על גרף הפונקציה). אנו רוצים להסתכל על השטח בין a ל-x. כיוון שהנקודה x יכולה להשתנות, הרי שגם השטח יכול להשתנות ולכן גם הוא מהווה פונקציה. הפונקציה תסומן ב-S(x) 0מה קורה כאשר x=a, כלומר, למה שווה הערך S(a)?).
        ניעזר בהגדרת הנגזרת (עליה הסברתי בחלק הראשון באשכול "אז למה גוזרים כך?", מצורף קישור: שאלון 807) נבחר בנקודה x1 בתור נקודה קרובה לנקודה x. במקרה הזה, מקבלים שנגזרת הפונקציה S(x) בנקודה S(x_1) היא f(x)=\frac{S(x)-S(x_1)}{x-x_1}. בצורה דומה למה שעשינו קודם, השטח שבין הנקודה a ל-x1 יהיה S(x_1).
        נסתכל על המונה של הנגזרת, S(x)-S(x_1). השטח הנ"ל הוא בעצם השטח האפור (חיסור בין השטח הגדול בין a ל-x לשטח הלבן, בין x_1 ל-a). השטח הנ"ל קטן משטח המלבן שנוצר אם מעבירים מקביל לציר ה-x דרך הנקודה הגבוהה יותר וממשיכים את הנקודה הנמוכה יותר עד שיחתוך את המקביל (מורף שרטוט בגרף), וגדול יותר משטח המלבן שנוצר ע"י העברת מקביל לציר ה-x דרך הנקודה הנמוכה יותר לנקודה הגבוהה ביותר. שטח המלבן הגדול יהיה f(x)\cdot (x-x_1) ושטח המלבן הקטן יהיה f(x_1)\cdot (x-x_1) (מכפלת שתי צלעות סמוכות). נוכל לרשום אם כך אי שוויון, והוא f(x_1)(x-x_1)\leq S(x)-S(x_1)\leq f(x)(x-x_1). נחלק את אי השוויון ב-(x-x_1) ונקבל f(x)\leq \frac{S(x)-S(x_1)}{x-x_1}\leq f(x_1). כמו שעשינו בהוכחה הגיאומטרית של הגבול \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x} [ראה הוכחה כאן: https://www.emath.co.il/forums/%D7%A9...htm#post333397) נשאיף את x ל-x1 (x\to x_1) ונעזר בהגדרת הנגזרת. נקבל:
        f(x_1)\leq S'(x_1)\leq f(x_1), ומכלל הסנוויץ' (כלל פשוט לניסוח, אך קצת מסובך להוכחה בתורת הגבולות, האומר כי אם ביטוי גם קטן מאותו גודל וגם גדול מאותו הגודל, הוא בהכרח שווה לו, ממליץ לגגל ולקרוא ) מקבלים f'(x)=S(x_1). כלומר, נגזרת הפונקציה הוא השטח. אם נניח וקיימת פעולה הפוכה לפעולת הגזירה - כלומר, פעולה שבעזרתה מקבלים את פונקציית הזהות, y=x, ונקרא לה אינטגרל ונסמנה כ-\int נוכל לבודד את השטח ולקבל S(x)=\int f(x) dx].
        אני אוהב את ההוכחה הזו לא?

        ג. סדרות זה תחום מאוד מאוד מאוד שימושי ומעניין. ראשית, לשם העניין התיאורטי - אפשר להוכיח כל מיני דברים גיאומטריים בסדרות (נסה למשל לצייר משולש שווה צלעות. לאחר מכן, סמן את אמצעי הצלעות וצור משולש שווה צלעות וכך הלאה. תוכל להוכיח כי שטחי המשולשים, היקפיהם, רדיוסי המעגלים החוסמים ורדיוסים המעגלים החסומים מהווים סדרה הנדסית. למעשה, זה נכון בכל מצולע משוכלל אם תחבר את אמצעי הצלעות. אפשר גם למצוא את סכום כל הרדיוסים/שטחים/היקפים של המצולעים הללו, הוכח זאת!). יש המון שימושים לסדרות בגיאומטריה ובטריגונומטריה. אבל, קצת יותר בכללי.
        הסדרות מהוות קשר נתון בין כמה מספרים שלאו דווקא ניתן לראות קשר כלשהו בהם. למשל, הקשר בין המספרים 2,3/1/3,5 1/3 וכך הלאה הוא \frac{n^2+n+4}{3}. מלבד זאת, אפשר לראות שהסדרות הן למעשה פונקציות וכך למעשה מתחילים לטפל בפונקציות בחדו"א 1 - בתור סדרות. לבסוף מצליחים להוכיח את הסכום לסדרה הנדסית בעזרת פונקציות, וזה דבר מדהים.
        קשה להאמין, אבל נתקלים לא פעם בסדרות הן בפיזיקה והן בתחומי המתמטיקה השונים. בתחילת חדו"א, בגיאומטריה, בטריגונומטריה, בבעיות מילוליות ועוד... גם במחשבים כמובן. במטריצה ריבועית, האיברים של האלכסון הראשי (מהקודקוד העליון השמאלי עד לקודקוד התחתון הימני) שווים זה לזה, y=x, באלכסון המשני (השני), סכום שיעורי השיעורים שווים ל1+ מצלע הריבוע. הקשר בין סדרות נותן את היכולת לזהות את התוצר הכללי מכמה מקרים פרטיים.
        אחד הדברים היפים ביותר שראיתי הוא מאמר שנכתב ע"י אחד המורים במתמטיקה באתר על"ה (עלון למורים במשרד החינוך). במאמר, הכותב הסתכל על נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית, a_n=a_1+d(n-1), ויצר מערכת צירים בה a_n הוא ציר ה-y ו-n הוא ציר ה-x (עושים דברים דומים בפיזיקה). במאמר הוא הדגים כיצד נוצרת משוואה של קו ישר בעזרת הקשר הנ"ל, כיצד מוצאים סכום סדרה בעזרת הגרף ועוד. נסה לצייר זאת בעצמך ולקבל תובנות משלך. אני ממש נהניתי לחקור זאת
        אם יש עוד שאלות, אשמח לשמוע!!! שוב, תודה רבה רבה על התגובה החמה!!! תומר.

        זאת ועוד כמובן, לשיקולך בלבד.
        תודה רבה לך תומר, באמת שזה עושה לי ולרבים מאיתנו טוב לראות שאתה כאן, ושאתה כאן כדי להישאר.
        מודה לך מקרב לב, ידידך משכבר הימים (:
        שבוע טוב!
      1. הסמל האישי שלbrainless
        brainless -
        ‏‎‏‎
        וואו היה שווה לחכות (:
        כרגיל חידשת לי הרבה מאוד, הכל היה ברור מאוד אחרי קריאת המאמר המקורי, וכעת הכל ברור כפליים.
        כמו תמיד עוררת סקרנות לחקור ולהתעמק, במקום סתם להפנים וליישם.
        כל חריגה שכזו, ולו הקטנה ביותר, מהתשובה החד גונית הנדרשת, פותחת דלת לעולם ומלואו,
        שהוא כקליפת השום אל המול הידע שיש לך להציע. דפוס פעילות חוזר שכזה אצלך,
        גם כעת וגם באשכולות רבים נוספים בהם השארת חותמך, הם אלו שעושים את ההבדל
        בין הרדוד הבטוח לבין העמוק הסוער שכבר איננו מאיים.
        איזה פספוס, יכולת להיות מורה מצויין...

        אנא סלח לי על הבורות, אך אין באפשרותי להבין את כל שהוסבר בסעיף ב'.
        משעשע שהתחלת עם "כולם יודעים ש...", כאשר לי לפחות, אין כרגע את הכלים
        הנדרשים בפיזיקה, בתחום הגבולות ובחדווא שמתקדמת מעבר למה שלמדתי על עכשיו
        במסגרת הבית ספרית. ההוכחה באמת נראית מעניינת מאוד וטומנת בקרבה הגיון
        וסדר רב, וזה כנראה מה שחיפשתי יותר מכל לעת עתה, עד אשר תיהיה לי האפשרות
        להבין את המתמטיקה שבעניין, אחרי שאת הפילוסופיה מאחורי הקלעים סידרת לי היטב.
        סדרות כפונקציות לכל דבר זה באמת תחום שנשמע מעניין מאוד, ואף יצא לנו להתנסות
        מעט בקשר בין שני התחומים, אך לא יותר מידי. חוששני שאצטרך לצבור קצת יותר מידע
        לפני שאשאף להבין את הנושא במלואו. מה שכן, ברגע שיהיו באמתחתי הכלים הדרושים,
        אני כבר ידוע לאיזה אשכול ארוץ מיד (:

        שוב, תודה רבה רבה לך על אשכול נהדר, על הסברים מצויינים
        ועל נכונות אינסופית לפקוח עינינו למול מערכת שמעדיפה אותן עצומות.
        אני באמת נהנה פה מכל רגע, ובוודאי שאשמח לקרוא עוד מאמרים,
        מדריכים ושלל פנינים נוספות מבית היוצר תומר.
        סוגד לך!
        לילה טוב
      1. הסמל האישי שלאריאל
        אריאל -
        הי תומר, לגבי סעיף ב' אתה לא יכול לרשום f(x_1) כי הוא לא מוגדר (יש לרשום את הביטוי :  \lim_{x \to x_1} f(x) במקום )

        ושנית, לא מתקיים f'(x)=S(x) אלא הפוך, f(x)=S'(x)

        בכל מקרה כדאי שהדיון הזה יהיה תחת הכתבה לכן אני מעתיק את זה לשם

        יישר כח תומר על כל ההסברים !
      1. הסמל האישי שלnoyyyyyyy
        noyyyyyyy -
        דיייי אתה לא אמיתי !!! חחחח כל הכבוד על ההשקעה
    אודות Emath
    האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
    מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
    אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
    כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

    לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
    הצטרפו אלינו