• על הוכחה בשלילה במתמטיקה, ועל שימושיה הספציפיים בגיאומטריה

      והנה הגענו, למאמר השני, לאור התגובות החמות של המאמר הראשון מקווה שהפעם, אשמע גם את קולותיכם כל אדם יכול להסביר משהו שהוא למד, אז מדוע לא? לא צריך בהכרח רמת עברית גבוהה, ולא צריך רמת מתמטיקה גבוהה. לפעמים, דווקא הדברים הפשוטים שלומדים אנשים בתיכון (גיאומטריה וטריגוונומטריה למשל, כמו שהראיתי במאמר הקודם) יכולים להיות בהחלט מספיקים בשביל מאמר דיי "כבד".
      אז הנה לכם, מאמר מספר II. גם הפעם, בחרתי בתחום האהוב עליי, וזהו הגיאומטריה כמובן. זה התחום שבו ממוקמת "המסה הקריטית" שלי, כלומר, רוב הידע שלי מחוץ לתוכנית הלימודים מרוכז בו. ומדוע? זאת כיוון שבעזרת כלים פשוטים הנלמדים בתיכון, ניתן להגיע לתובנות שלא יביישו אף פרופסור למתמטקה על אף הגיאומטריה "המתקדמת" יותר הנלמדת כבר בתיכון, למשל, הגיאומטריה הספרית, שבה אנו עוסקים בגיאומטריה כאשר המרחב הנתון הוא כדור. נשמע קצת מוזר, אבל מעניין. בעזרת כלי זה, ושינוי במקצת של האקסיומה ה-5 של אוקלידס (שעשתה לא מעט בעיות במהלך ההיסטוריה, וזוהי אקסיומת המקבילים, להלן קישור בויקיפדיה – אקסיומת המקבילים – ויקיפדיה , רק אציין שהאקסיומה הפשוטה הזאת לכאורה - דרך ישר ונקודה מחוץ לישר אפשר להעביר ישר מקביל אחד ויחיד - עשתה צרות גדולות במהלך ההיסטוריה. האגדה אומרת שאוקלידס, מפתח הגאיומטריה האוקלידית המוכרת לנו, כ"כ פחד מהטענה הזו עד שהוא השאיר אותה בתור האקסיומה החמישית של הגיאומטריה. ובצדק. כאשר אנו עוברים למשטח כדורי, ולא מישורי, פתאום כל שני ישרים נחתכים. זה קצת קשה להבנה, כיוון שהגיאומטריה הספירית קוראת למושג הפשוט לכאורה - נקודה - כשתי נקודות הנמצאות מצדדים שונים של הכדור (נקודות אנטיפודיות) וישר הוא הקו העובר בין שתי נקודות אלה, ויוצר מעגל שרדיוסו שווה לרדיוס הכדור. קצת קשה להסביר, ואומרים שתמונה שווה אלף מילים, אז מצורפת תמונה מויקיפדיה
      spherical_triangle_3d_opti.png

      אפשר להרחיב ולהרחיב, אבל זה לא נושא המאמר, אז לא אוכל. אציין רק שלפי האגדה, אוקלידס כ"כ פחד מהטענה הזאת ולכן השאיר אותה לסוף. כאשר עשה זאת, יכול היה להתחיל בהוכחות הבסיסיות של הגאיומטריה, אך רבים התנגדו לטענה וניסו להמציא "גיאומטריות חדשות", כשהגיאומטריה הספירית היא אחת מהן. ע"י ויתור על אקסיומת המקבילים, שבעזרתה ניתן להוכיח כי סכום הזוויות במשולש הוא 180 [אתגר קטן יהיה לנסות להוכיח זאת], וההנחה שכל שני "ישרים" בגיאומטריה הספירית בהכרח נחתכים, אפשר להגיע לכך שסכום הזוויות במשולש בגיאומטריה הספירית גדול מ-180, שזה כבר "מפרק" את הגיאומטריה האוקלידית. אבל, במתמטיקה כמו במתמטיקה, "מקרה כללי" בהכרח תקף למקרה פרטי, ואם נניח שרדיוס הכדור שלנו הוא אינסוף, אז הכדור ישאף להיות מישור, והגיאומטריה האוקלידית שלנו מתגלה שוב
      בכל מקרה, זה אינו נושא המאמר. אז נעזוב זאת.

      המפגש הראשון שלי עם ההוכחה בשלילה
      בשיעור הראשון בכיתה י' נכנס אלינו מורה חדש לכיתה. הוא אמר כי תכנית הלימודים, לטענתו, פגומה במקצת - כיוון שאנו, בתור תלמידי 5 יח"ל, לא יודעים הוכחות של טיעונים בסיסיים במתמטיקה, קל וחומר בגיאומטריה. המורה העיר כי הזמן קצר, והמלאכה מרובה, וכעת הוא לא יכול לשבת ולהוכיח עבורינו את כל הדברים שפסחנו עליהם עד כיתה י'. אך, אמר כי כל אחד שרוצה שיוכיחו עבורו משהו, מוזמן לגשת אליו בזמנו החופשי - ואכן עשיתי זאת, ושאלתי: "מדוע זוויות מתחלפות שוות זו לזו?". המורה חייך, הוציא דף נייר והראה לי את ההוכחה (אותה אצרף כאן, בהמשך המאמר). ברגע הנ"ל, הוצתה ההתעניינות שלי במתמטיקה. בזכות אותו הרגע, ואותה השאלה, המשכתי להעמיק ולהתעניין בגיאומטריה, וזה היה המפגש הראשון שלי עם אותה ההוכחה. במאמר הקודם ציינתי כי תמיד אהבתי גיאומטריה - כיוון שהיא מופיעה בכל מקום - וזה נכון. ברם, מעולם לא חשבתי כי ללא משפטים מסובכים ו"כבדים" ניתן להוכיח טענות טריוויאליות לכאורה. זה הרגע להודות למורה שלי בכיתה י', שאם הוא קורא את המאמר הזה (ואולי אוכל לקוות לכך?) הוא מחייך מאחורי המסך.
      אז מדוע כה הודהמתי? נעבור על כך בחלק הבא של המאמר

      רדוקציה לאבסורד
      מי שנתקל במאמר מתמטי באנגלית, או שמא ניסה לקרוא טקסט מתמטי באנגלית, אולי ראה את צירוף האותיות R.A. הקיצור הנ"ל הוא למעשה קיצור לצירוף הלטיני Reductio ad absurdum, או מילולית "רדוקציה לאבסורד". אני מניח שלא פעם נתקלתם בצירוף לטיני במתמטיקה (ומעניין לציין כי השפה העברית אף הצליחה להיכנס למתמטיקה, או לפחות אות אחת ממנה – האות א' ).
      ברם, ההוכחה בשלילה לא "הומצאה" במסגרת המתמטיקה, אלא היא חלק מענף הלוגיקה. למעשה, אנו משתמשים בהוכחה בשלילה לעיתים בלי לשים לב - ולכן, קצת מוזר לפגוש אנשים ש"אינם מאמינים בהוכחה בשלילה". כבר בחידות שהציגו לנו כשהיינו ילדים – על קבוצת שקרנים, שבה כמה אנשים אומרים אמת וכמה אנשים אומרים שקר, ועלינו למצוא מי משקר ומי לא – נעזרנו בהוכחה בשלילה. גם בבעיות בפסיכומטרי, למי שניגש, יש צורך להשתמש לא פעם בשלילה. כיום, לא פעם משתמשים במודלים לשם פתרון בעיות כאלה, אך אלו דברים שמצריכים לימוד. מעניין לראות כי ההוכחה בשלילה חודרת לכל תחום מתמטי כלשהו – וגם לתחומי המחשבים. אשר לאנשים שלמדו תחום הנקרא "מודלים חישוביים", סביר להניח שהם מכירים את הנוסח של "הוכחת אי רגולאריות". לא אפרט, שוב, כדי לא להלאות. ההוכחה בשלילה חזקה כ"כ עד כדי כך שחלק מהמתמטיקאים אינם מסתכלים עליה כסוג של הוכחה, אלא כמבנה לוגי מחייב – ובמאמר זה, אראה זאת.


      ישנם אינסוף מספרים ראשוניים?!
      כמעט כל מאמר שקראתי על אודות ההוכחה בשלילה מתחיל בהוכחה המפורסמת ביותר בשלילה, הלקוחה מתחום האלגברה. מי שהראה אותה הוא חברינו אוקלידס. מתמטיקאים אוהבים להוכיח כל דבר, ולא לקבל אף דבר כדבר טריוויאלי, ומסיבה זאת, לא פעם תתקלו בהוכחה מוזרה במקצת של טענות "טריוויאליות" (נתקלתי בהוכחה מוזרה במקצת לכך שיש אינסוף מספרים טבעיים). מאידך, לא תמיד אפשר לזהות טענה "טריוויאלית", ולעיתים דווקא בעיות שנראות קלות יחסית ופשוטות מעוררות סערה בעולם המתמטיקה (המשוואה "הפשוטה" a^n+b^n=c^n יחד עם הטענה שלאותה המשוואה אין פתרונות טבעיים עבור n>2 היא כנראה המפורסמת בהן, ומכונה המשפט האחרון של פרמה. שוב, לו יכולתי להרחיב הייתי מרחיב בשמחה, אך אין בידי הידע המספיק להציג את כל השתלשלות ההיסטוריה בנוגע למשפט. לחובבי הספרים, אמליץ בחום על הספר "המשפט האחרון של פרמה" מאת סיימון סינג (כתב גם את הספר "סודות ההצפנה"). חיפוש קטן בגוגל גם יכול להעלות שלל תוצאות

      נחזור לחברינו אוקלידס. לטעמי, הטענה כי יש אינסוף מספרים טבעיים היא טענה טריוויאלית (אם נניח כי המספר n הוא מספר טבעי, אזי אם נוסיף 1 למספר n נקבל את הביטוי n+1, המבטא את המספר הטבעי הבא. יש אנשים שיקראו גם לכך הוכחה, ואולי אף אסכים עמם, אבל איני חושב שצריך להוכיח את הטענה הנ"ל בדרך אחרת), אך הוכחות לכך שכמות של מספרים, המקיימים תכונה מסויימת (מספרים מושלמים, למשל) היא אינסופית היא טענה פחות טריוויאלית. לעיתים, מאידך, אפשר להוכיח זאת בקלות, אם מסתכלים על נוסחא כללית הנותנת את המספרים הללו.
      למשל, מספרים משולשים הם מספרים הניתנים לציור כמשולש. כן, זה אולי יחזיר כמה אנשים לכיתה מוקדמת יותר, אך המספר 3 יכול בפועל להוות גם שלוש יחידות של משהו (ולא רק פתרון אלגברי). אם למשל נסתכל על גולות, ועל המספר 3, נוכל לסדר את הגולות כמשולש (גולה אחת בשורה הראשונה, שתי גולות בשורה השנייה). המספר הבא המקיים את התוכנה הזו הוא המספר 6 (גולה אחת בשורה הראשונה, שתי גולות בשורה השנייה, שלוש גולות בשורה השלישית). אפשר למצוא בקלות כי הנוסחא למספר המשולש n, T_n, היא T_n=\frac{n(n+1)}{2}, ואנשים שעברו את כיתה יא' יוכלו בהחלט להבין מדוע. אם נסתכל על הנוסחא מבחינה גרפית, מתוארת לנו פרבולה המוגדרת עבור כל n טבעי. מסיבה זאת, ישנם אינסוף מספרים משולשים. אפשר לשחק עם הנוסחא למספרים משולשים ולהוכיח כמה טענות, בינהן שסכום של שני מספרים משולשים סמוכים יוצר מספר ריבועי (שניתן לכתוב אותו כריבוע), את משפט ניקומאכוס הטוען כי 1^2+2^2+3^2+...+n^2=T_n^2 (חובבי האינדוקציה כבר נתקלו בזהות הזאת, ואם ננסה להסבירה במילים - סכום המספרים הריבועיים שווה לריבוע של מספר משולשי). טענה קצת פחות טריוויאלית היא טענה שהוכיח גאוס (וניסח אותה כ-\Delta+\Delta+\Delta=num) לפיה כל מספר אפשר לכתוב כסכום של שלושה מספרים משולשים.

      אבל, הבעיה שלנו מתחילה כאשר אין לנו נוסחא מפורשת הנותנת לנו את סה"כ המספרים המקיימים את התכונה הזאת, ואחת הסוגיות הגדולות ביותר במתמטיקה נכללת תחת בעיה זאת. רבים במהלך ההיסטוריה ניסו למצוא נוסחא שתניב את כל המספרים הראשוניים אך כולם עלו בתוהו. אציין למי שלא בקיא כי מספרים ראשוניים הם מספרים שמתחלקים אך ורק בעצמם וב-1. מעצם הגדרה זאת, 1 איננו מספרים ראשוני. השאלה שעולה אם ישנם אינסוף מספרים כאלה (כשהוצגה לי ההוכחה בכיתה י', חשבתי שזהו דבר דיי ברור, אך ככל שעבר הזמן, רק התחלתי לפקפק באמונה הזאת...). השאלה התשובה הנכונה היא כן, על אף שאין לנו נוסחא מפורשת כדי שנוכל להראות זאת.
      את ההוכחה הציג אוקלידס, והיא נחשבת לאחת ההוכחות האלגנטיות ביותר במתמטיקה, אם לא האלגנטית ביותר (איני יודע אם הדבר נכון, אך קראתי איפשהו שמתמטיקאים ערכו תחרות עבור ההוכחה היפה והאלגנטית ביותר במתמטיקה, והוכחה זו זכתה ללא ספק במקום הראשון). היא אלגנטית, לפיהם, כיוון שהיא אינה דורשת שיטות מורכבות, אלא נובעת מהגדרה. בלבד. ההוכחה נשתמרה, למזלינו, עד היום ראשית, אציין כי אפשר לרשום כל מספר כמכפלה של מספרים ראשוניים (המשפט היסודי של האריתמטיקה, עליה דווקא למדתם, ללא הוכחה, בכיתות נמוכות יותר. טענה זאת ניתנת להוכחה באינדוקציה).
      נניח כי אין אינסוף מספרים ראשוניים, כלומר, יש מספר סופי של מספרים ראשוניים. נניח כעת והמספר הראשוני n יסומן כ-p_n. כעת, נסתכל על המספר N, המקיים - N=p_1+p_2+p_3+ \ ... \ +p_n+1. המספר הנ"ל איננו ראשוני, כיוון ש-p_n הוא המספר הראשוני הגדול ביותר. מאידך, המספר הנ"ל איננו פריק, כי המשפט היסודי של האריתמטיקה מבטיח כי כל מספר ראשוני ניתן לכתיבה כמכפלה של מספרים ראשוניים. מכאן, שהמספר N הוא לא ראשוני ולא פריק, והדבר איננו אפשרי. כלומר, ההנחה המקורית שלנו לא הייתה נכונה, ולכן ישנם אינסוף מספרים ראשוניים.

      אז מה בעצם עשינו כאן? הסתכלנו על טענה כלשהיא, וטענו שהיא איננה נכונה. כתוצאה מכך, ראינו שיש סתירה כלשהי, ולכן הטענה שלנו לפיה הטענה איננה נכונה מוטעית, ולכן היא חייבת להיות נכונה. זהו הדגם הבסיסי של ההוכחה בשלילה. אגב, ישנם "סוגים" של מספרים ראשוניים, בינהם מספרי מרסן, ראשוניים תאומים ועוד...שלאו דווקא אנו יודעים אם יש אינסוף כאלה. למי שמתעניין במספרים ראשוניים, אמליץ על ספר נוסף ומאלף, "המוזיקה של המספרים הראשוניים" מאת מרכס דו סוטוי.

      שורש 2 והבעיות שהוא גרם במהלך ההיסטוריה
      על משפט פיתגורס אפשר להרחיב עוד ועוד, אך אף פעם לא אוכל לעשות זאת. זהו המשפט בעל מספר ההוכחות הרב ביותר במתמטיקה, ולא כולן גיאומטריות – יש אלגבריות, דיפרנציאליות, מרוכבות ועוד ועוד. מספר ההוכחות עולה על 100!, ומבין ההוכחות המפורסמות ביותר ישנן ההוכחות של אוקלידס (התחתונים של אוקלידס, ההומור של המתמטיקאים) וההוכחה של נשיא ארה"ב, גרפילד. לא אתעסק במשפט עצמו, אלא אציין מסקנה הנובעת ממנו. אם משפט אוקלידס טוען כי בכל משולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, a^2+b^2=c^2, אז במקרה שהמשולש ישר זווית ושווה שוקיים, a=b , מקבלים
      a^2+a^2=c^2 \\ 2a^2=c^2 \\ c=a\sqrt{2}. כמובן שהוצאה של שורש נותנת זוג תשובות – חיובית ושלילית – אך צלע במשולש היא גודל חיובי, ולכן הפתרון השלילי נפסל. הפיתגוראים (שטענו שהם כת) האמינו כי כל המספרים הם מספרים רציונאליים, כלומר, הניתנים לכתיבה בעזרת הביטוי \frac{m}{n} כאשר m,n הם מספרים שלמים הזרים זה לזה (שאין להם גורמים משותפים). נובע מכך שגם מספרים שלמים הם מספרים רציונאליים, במקרה שבו n=1. אך, אחד מתלמידיו של פיתגורס טען שהדבר לא נכון, והראה לו מה קורה כאשר המשולש הוא ישר זווית ושווה שוקיים, וכל אחד מניצביו שווה ל-1. במקרה הזה, מקבלים כי היתר שווה למספר המפוקפק \sqrt{2}. פיתגורס היה כ"כ זועם שהתקבל מספר שאיננו רציונאלי, וזרק את תלמידו לים (כמו כל מה שמורה נורמאלי היה עושה, כמובן). עד היום הדבר אירוני כ"כ, שדווקא המשפט המפורסם ביותר של כת הפיתגוראים הוא זה שהביא למפלתם (על אף שמפלתם הייתה קרובה, כי בסמלם של הפיתגוראים, הפנטגרם, מופיעים גם מספרים רציונאליים – אך זה למאמר הבא).
      אז מדוע \sqrt{2} איננו רציונאלי? ההוכחה הזו, גם היא ניתנת ע"י הוכחה בשלילה , וע"י חברינו אוקלידס.
      נניח כי המספרים \sqrt{2} הוא מספר רציונאלי. אם כך, ניתן לרשום אותו בצורה \sqrt{2}=\frac{m}{n}. מכאן, ניתן להגיד כי n\sqrt{2}=m. נעלה בריבוע את שני האגפים ונקבל 2n^2=m^2. המספר m^2, לפי המשוואה, הוא מספר זוגי. ריבוע של מספר זוגי גם הוא מספר זוגי, וריבוע של מספר אי זוגי גם הוא מספר אי זוגי (אפשר להראות זאת בגולות ),ולכן אם m^2 זוגי, אז גם m זוגי. אם כך, אפשר לסמן m=2p, להציב זאת במשוואה ולקבל:
      2n^2=(2p)^2 \\ 2n^2=4p^2 \\ n^2=2p^2. מטענה זאת, אפשר להגיד כי גם המספר n^2 הוא מספר זוגי. אך, מכאן אנו מגיעים לסתירה – כיוון שהנחנו שהמספרים m,n הם מספרים זרים, אך הצלחנו להראות כי יש להם גורמים שווים. מכאן, שההנחה המקורית שלנו כי המספר \sqrt{2} הוא מספר רציונאלי איננה נכונה, ולכן המספר \sqrt{2} הוא מספר אי רציונאלי. מי שהבין את ההוכחה יכול לנסות להוכיח כי גם המספר \sqrt{3} הוא מספר אי רציונאלי. למען הדיוק, אפשר להוכיח כי רוב השורשים הם אי רציונאליים, ועושה זאת הבלוג "לא מדוייק" – בלוג מדהים השווה קריאה, קישור לבלוג: אז למה שורשים הם לא רציונליים? | לא מדויק).

      בגיאומטריה אנליטית
      ההוכחה בשלילה לא תקפה רק באלגברה, אלא גם בגיאוטריה אנליטית. כולם יודעים לשנן בע"פ ששלוש נקודות הנמצאות על פרבולה אינן נמצאות על ישר אחד. אך מישהו למען האמת יודע את ההוכחה? ההוכחה מצורפת להלן:
      נניח וקיימת משוואת הפרבולה y=ax^2+bx+c, ונניח כי (x_1,y_1) \ , \ (x_2,y_2) \ , \ (x_3,y_3) הן שלוש נקודות שונות על הפרבולה. נניח בשלילה כי הנקודות נמצאות על קו ישר אחד, בעל שיפוע m. נחשב את שיפוע הישר עבור הנקודות (x_2,y_2) ו-(x_1,y_1) ועבור הנקודות (x_1,y_1) ו-(x_2,y_2). נקבל:
      m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}. הנקודות נמצאות על הפרבולה, ולכן מקיימות אותה. נסתכל על שני השוויונות הקיצוניים הימניים ונקבל:

      \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}

      \frac{(ax_2^2+bx_2+c)-(ax_1^2+bx_1+c)}{x_2-x_1}=\frac{(ax_3^2+bx_3+c)-(ax_2+bx_2+c)}{x_3-x_2}
      נפתח סוגריים ונקבל:
      \frac{ax_2^2+bx_2+c-ax_1^2-bx_1-c}{x_2-x_1}=\frac{ax_3^2+bx_3+c-ax_2^2-bx_2-c}{x_3-x_2}
      נצמצם מה שאפשר ונסדר בצורה הבאה:

      \frac{ax_2^2-ax_1^2+bx_2-bx_1}{x_2-x_1}=\frac{ax_3^2-ax_2^2+bx_3-bx_2}{x_3-x_2}
      נוציא גורמים משותפים. נקבל:

      \frac{a(x_2^2-x_1^2)+b(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=\frac{a(x_3^2-x_2^2)-b(x_3-x_2)}{x_3-x_2}
      נפתח לפי הנוסחא להפרש ריבועים, m^2-n^2=(m+n)(m-n). נקבל:
      \frac{a(x_2+x_1)(x_2-x_1)+b(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=\frac{a(x_3+x_2)(x_3-x_2)+b(x_3-x_2)}{x_3-x_2}
      כיוון שהנחנו כי הנקודות הן נקודות שונות על הפרבולה, הרי בוודאי מתקיים x_2\neq x_1 וכן x_3\neq x_2, ולכן בהכרח x_3-x_2\neq 0 וכן x_2-x_1\neq 0. אם כך, נוכל לצמצם את הביטויים ולקבל:
      a(x_2+x_1)+b=a(x_3+x_2)+b
      ומכאן,
      a(x_2+x_1)=a(x_3+x_2)
      כיוון שבפרבולה חייב להתקיים a\neq 0. מכאן,
      x_2+x_1=x_3+x_2 \\ x_1=x_3
      אך זוהי סתירה לעובדה שהנקודות הן נקודות שונות זו לזו, ולכן, ההנחה הראשונית שלנו הייתה מוטעית. כלומר, שלוש נקודות בפרבולה אינן נמצאות על ישר אחד.
      אפשר גם להוכיח ששלוש נקודות שונות בפרבולה מגדירות פרבולה אחת ויחידה, וכאשר מדובר בקודקוד הפרבולה, מספיקות 2.
      ישנן עוד הוכחות רבות כאלה, אך שוב, זהו אינו עיקר המאמר, ולכן, נעבור לחלק המרכזי

      בגיאומטריה
      ההוכחה בשלילה בגיאומטריה, לטעמי, היא הוכחה קבילה וחזקה, ולרוב, יפה יותר מהוכחות הנובעות ממשפטים מסובכים. כמות הטענות שאפשר להוכיח בעזרת ההוכחה בשלילה אינה נדלית. ההוכחה בשלילה חזקה במיוחד כאשר כמות המשפטים שניתן להשתמש בהם קטנה - והדבר תקף במשפטים בסיסיים במיוחד. נתחיל דווקא בזוג הוכחות יותר מוכרות (:
      א. ישר מאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
      ישרהמשיק.png
      בציור מתואר שרטוט של מעגל O, וישר l העובר דרך הנקודה A הנמצאת על המעגל. ידוע כי AO אנך ל-l. צ"ל: הישר l הוא משיק למעגל.
      נזכיר מהי משיק למעגל : משיק למעגל הוא ישר החותך את הנקודה בישר אחת בלבד (בניגוד למשיק לפונקציה, שבה משיק יכול לחתוך את הפונקציה יותר מפעם אחת). אם כך, נניח בשלילה כי לישר ולמעגל יש יותר מנקודה אחת משותפת, כלומר, קיימת נקודה B על המעגל דרכה המשיק עובר. במקרה הזה, מקבלים כי AO=BO, כלומר, המשולש ABO הוא משולש שווה שוקיים. זה כמובן אינו יכול להיות, כיוון שבמשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס מוכרחות להיות זוויות חדות (למה?), ולכן, הטענה המקורית שלנו לא הייתה נכונה - כלומר, ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל.

      ב. ישר המחבר בין שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.
      קטעאמצעים.png
      בציור מתואר לנו הקטע DE המחבר בין הצלעות AC ו-BC. כמו כן ידוע כי 2DE=AB וכן DE||AB. יש להוכיח כי הקטע הוא קטע אמצעים במשולש.
      הוכחה:
      נניח בשלילה כי הקטע המתואר אינו קטע אמצעים במשולש. במקרה הזה, קיים הקטע FG, שהוא קטע האמצעים במשולש. לפי המשפט הישיר, קטע אמצעים במשולש שווה לצלע אותה הוא לא חוצה ושווה למחציתה. מכאן, שהקטע FG מקיים FG||AB ו-2FG=AB.
      אם כך, מכלל המעבר מתקיים DE=FG ו-FG||DE. אם כך, המרובע DEGF הוא מקבילית (מרובע בעל זוג צלעות נגדיות ומקבילות). אבל, זוהי סתירה להיותו של ABC משולש - שבו הצלעות נחתכות זו עם זו (שכן במקביל DEFG, צלעות נגדיות מקבילות, ולכן DF||EG). מכאן, שההנחה הראשונית שלנו מוטעית, והקטע FG מתלכד עם הקטע DE. כלומר, הקטע DE הוא קטע אמצעים במשולש.

      ג. התיכון ליתר שווה למחציתו.
      למשפט הנ"ל הוכחות רבות (אני מכיר לפחות 3), וזוהי אחת ההוכחות היותר מסובכות שלו, אך מעיינת גם היא
      משולש-ישר-זווית.png
      בציור מתואר לנו משולש ישר זווית ABC (\angle B=90) ונקודה D שהיא אמצע היתר. עלינו להוכיח כי AD=DC=BD.
      נניח בשלילה כי הנקודה 2BD\neq AC. אם כך, ישנה נקודה E על AC כך שמתקיים 2BE=AC ׁ(כיוון שBE<AC). נסמן את זווית ACB באלפא. המשולש BEC שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס בו שוות. מכאן, הזווית EBC גם היא אלפא.
      הזווית DEB חיצונית למשולש BEC ועל כן שווה לסכום הזוויות שאינן צמודות לה. מכאן, הזווית DEC שווה לפעמיים אלפא.
      סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180. מכאן, הזווית BAC היא תשעים פחות אלפא. אבל, סכום הזוויות במשולש ABE גם הוא 180 מעלות, ולכן, הזווית ABE שווה לתשעים פחות אלפא. במשולש ABE, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ועל כן, AE=BE.
      מכלל המעבר, נובע כעת כי AE=EC, כלומר E היא אמצע היתר AC. אבל, לפי הנתונים, הנקודה D היא אמצע היתר AC. כלומר, הגענו לסתירה, ולכן ההנחה שלנו כי 2BD\neq AC tאינה נכונה, כלומר 2BD=AC. אם כך, הנקודות D ו-E מתלכדות, ועל כן AD=DC=BD.
      מההוכחה השנייה, ניתן לראות מסקנה חשובה: כאשר אנו יודעים משפט, קל מאוד להוכיח את המשפט ההפוך שלו - אם זה נכון - באמצעות השימוש במשפט בשילוב עם ההוכחה בשלילה. כמובן, שזה נושא למאמר שלם...

      אני מניח שלא הצלחתי להרשים יותר מדיי אנשים עם ההוכחות הללו, בין היתר כיוון שאני מכיר לפחות 2 הוכחות נוספות שאינן צורך להשתמש בהם בשלילה (בייחוד עבור "התיכון ליתר שווה למחציתו"). אז נעבור לדברים "הכבדים" יותר.
      נניח כעת שאיננו יודעים על מרובעים, על מעגל, על נקודת מפגש הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות. כלומר, אנו כעת נמצאים בראשית הגיאומטריה.
      אנו מאידך יודעים כמה משפטים:
      א. מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות.
      ב. זווית חיצונית שווה לסכום הזוויות שאינן צמודות לה.
      ג. זווית חיצונית גדולה מכל זווית שאינה צמודה לה.
      ד. משפט חפיפה צ-ז-צ. (הנחשב לאקסיומה בגיאומטריה).
      ה זוויות צמודות סכומן 180.
      ו. זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
      ז. אי שוויון המשולש (סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית).
      ואנו צריכים להוכיח את המשפטים הבאים:
      1. משפט חפיפה ז-צ-ז.
      2. משפט חפיפה צ-צ-ז.
      3. שני ישרים מקבילים הנחתכים ע"י ישר שלישי יוצרים זוויות מתחלפות שוות (ומהמשפט נגזרים המשפטים האחרים על אודות הזוויות האחרות בין מקבילים: זוויות חד צדדיות וזוויות מתאימות).
      איך נוכיח אותם? נצטרך למצוא דרך "יצירתית", כיוון שאין באמתחנו משפטים "חזקים" דיים.למעשה, המשפטים המופיעים באמתחנו הם משפטים בסיסיים עד מאוד בגיאומטריה (אפילו אין אנו יכולים להשתמש בכך שסכום הזוויות במשולש הוא 180!) - ואלו הם המשפטים הראשוניים בה. לעיתים אנו שוכחים את המשפטים הללו, וניעזרים בדימיון משולשים, במשפטי פרופרציות ובחפיפות, אך אל לנו לזכור שהמשפטים הנ"ל מבוססים על המשפטים הבסיסיים יותר - והיסודיים בגיאומטריה. נוכיח אותם (כשאני גיליתי את ההוכחות, התאהבתי...)

      נתחיל מהמשפט האחרון.
      שני ישרים מקבילים הנחתכים ע"י ישר שלישי יוצרים זוויות מתחלפות שוות
      הדכדש.png
      בציור מתוארים הישרים l_1 ו-l_2, כך שמתקיים l_1||l_2. הישר l_3 חותך את הישרים ויוצר עם הישר l_1 זווית השווה ל-\alpha ועם הישר l_2 זווית השווה ל-\beta. יש להוכיח כי \alpha=\beta.
      נניח בשלילה כי הדבר לא כך, ולשם פשטות, נניח כי \alpha>\beta (ההוכחה עבור המקרה השני זהה). אם כך, אז הזווית \beta מוכלת באלפא, ועל כן, נוכל להעביר ישר (הישר המקווקו, היוצר זווית \gamma עם הישר l_3) שיצור את הזווית בטא (\gamma=\beta). אך זוהי סתירה, כיוון שהישר המקווקו יוצר עם הישרים l_3 ו-l_2 משולש, שבו הזווית בטא היא זווית חיצונית. אך, זווית חיצונית במשולש גדולה מסכום הזוויות שאינן צמודות לה, ולכן, הגענו לסתירה. מכאן, הזוויות מוכרחות להיות שוות.

      אולי חלק מהאנשים יטענו ש"רימיתי" כאן - כיוון, שזווית חיצונית למשולש אכן גדולה מכל זווית פנימית במשולש, אבל כדי להוכיח זאת, צריך להוכיח כי סכום הזוויות במשולש הוא 180 - ואמרתי שאין להשתמש בכך. זה כמובן, אינו נכון. ההוכחה המקורית לכך שזווית חיצונית גדולה מסכום הזוויות שאינן צמודות לה איננה כלל מסתמכת על סכום הזוויות במשולש, והיא מצורפת.

      הוכח: זווית חיצונית במשולש גדולה מהזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. שאלה: מדוע אין זה נכון להגיד כי "זווית חיצונית במשולש גדולה מכל הזוויות הפנימיות במשולש?"
      קובץ מצורף 27992
      במשולש ABC נתון \angle A=\alpha. ידוע בנוסף שהזווית החיצונית למשולש ABC צמודה לזווית C ושווה ל-\gamma. צ"ל: \alpha\alpha. אתם יותר ממוזמנים להוכיח את המשפט ההפוך למשפט שהוכחנו - אם קיימות בין שני ישרים הנחתכים ע"י ישר שלישי זוויות מתחלפות שוות, הרי שהישרים מקבילים. מהמשפט הנ"ל, אפשר כעת להוכיח את האתגר שהצגתי למעלה - כי סכום הזוויות במשולש הוא 180 - כל אשר צריך הוא להעביר מקביל לאחת הצלע ות במשולש, ולהיעזר בזוויות מתחלפות שוות. לאחר מכן, נוצרות לנו שלוש זוויות הנמצאות על ישר אחד - זוויות צמודות - שסכומן הוא 180. נעבור למשפטי החפיפה - נתחיל
      ממשפט ז-צ-ז.
      קובץ מצורף 27993
      נתונים לנו שני משולשים, \Delta ABC ו-\Delta A'B'C' במשולשים הללו, נתון AC=A'C', \angle A=\angle A'=\alpha, \ \angle C=\angle C'=\gamma. צ"ל: המשולשים חופפים. הוכחה: אנו זוכרים כי משפט החפיפה צ-ז-צ הוא אקסיומה במתמטיקה, וזהו משפט החפיפה היחיד שאנו מכירים. על מנת שנוכל להוכיח את משפט החפיפה הנ"ל, נצטרך להשתמש בו. כדי לעשות זאת, עלינו להוכיח כי אחת מהצלעות האחרות, AB או BC שווה למקבילתה במשולש השני. נבחר בצלע AB. נניח בשלילה כי AB\neq A'B', ועל כן, מתקיימים שתי אפשרויות: או שAB>A'B' או שA'B'>AB. נניח כי האפשרות השנייה נכונה (לשם הנוחות. ההוכחה השנייה הזהה). אם כך, ניתן להעביר קטע C'D' מהמשולש A'B'C' כך שיתקיים A'D'=AB. מכאן, המשולשים A'D'C' ו-ABC חופפים לפי צ-ז-צ (למה?). אם כך, מתקיים \angle ACB=\angle A'C'D'=\gamma. אבל, זוהי סתירה לנתון ש-\angle C=\angle C'=\gamma, שכן \angle C>\angle A'C'D', ולכן, הטענה המקורית שלנו לא הייתה נכונה. כלומר, AB=A'B', ועל כן אפשר לחפוף את המשולשים ABC ו-A'B'C'

      לאחר שהוכחנו את הטענה הזו, ניתן להוכיח את משפט החפיפה צ-צ-צ. אשאיר זאת כאתגר לקוראים
      נניח כי הוכחנו את משפט החפיפה צ-צ-צ. נחזור ונוכיח את משפט החפיפה צ-צ-ז.
      קובץ מצורף 27995
      נתונים לנו שני משולשים, ABC ו-A'B'C'. ידוע לנו כי AC=A'C'', AB=A'B' וגם \angle ACB=\angle A'C'B'. בנוסף, נתון לנו כי AB>AC.
      אנו יודעים כעת את שלושת משפטי החפיפה. נתביית על משפט חפיפה שלישי או משפט חפיפה ראשון. אנו צריכים להוכיח כי הצלע השלישית שווה בשני המשולשים, כלומר, BC=B'C'. נניח בשלילה כי המצב לא נכון, BC\neq B'C'. אם כך, קיימות כמה אפשרויות: BC>B'C' וכן B'C'>BC. נניח כי המצב השני נכון. אם כך, נוכל לבחור נקודה D' על צלע B'C', כך ש-D'C'=BC.
      המשולשים A'C'D' ו-ABC חופפים לפי צ-ז-צ (למה?), ועל כן AB=A'D' וגם . מהנתונים, A'B'=AB ולכן A'B'=A'D'.
      נסמן: \angle A'B'D'=\beta. במשולש, מול זוויות שות מונות צלעות שוות, ועל כן \angle A'B'D'=angle A'D'B'=\beta.
      זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים חייבות להיות חדות וכיוון שהזווית A'D'C' צמודה לזווית חדה, עליה להיות קהה. במשולש, מול צלע גדולה מונחת זווית גדולה, מול צלע קטנה מונחת זווית קטנה ומול הצלע הבינונית מונחת הזווית הבינונית. אם הזווית A'D'C' היא זווית קהה, הרי שהצלע מולה היא הצלע הגדולה ביותר במשולש. על כן אפשר להגיד כי A'D'<A'C'. מאידך, לפי כלל המעבר, מתקיים AC>AB וזאת סתירה לנתון שלנו שAB>AC. על כן, טענת הבסיס שלנו לא הייתה נכונה, ולכן BC=B'C'.
      מכאן, המשולשים ABC ו-A'B'C' חופפים לפי צ-ז-צ או לפי צ-צ-צ.

      ההוכחה בשלילה הראתה לנו את ההוכחות של המשפטים האחרונים הללו. אני לא חושב כלל שניתן להוכיח את המשפטים הללו ללא שימוש בהוכחה בשלילה, ואם כן - סביר להניח שהדרכים האחרות מסובכות יותר.
      לסיום, אראה משפט חמוד נוסף (שציינתי באחד מהאשכולות) שניתן להוכחה בעזרת הוכחה בשלילה - המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות בזווית ראייה נתונה מקצוות קטע נתון, הוא מעגל (או לייתר נכון, שתי קשתות של מעגל אחת מכל צד של הקטע). אני יודע שכל אדם שעבר את כיתה יב' חושב ישר על גיאומטריה אנליטית כאשר אנו מדברים על מקומות גיאומטריים, אך זה אינו בהכרח נכון. למשל, עבור המקרה של מעגל אפולוניוס: מעגל אפולוניוס – ויקיפדיה. מזמין לנסות להוכיח זאת

      קובץ מצורף 27996
      נציין מהי זווית ראייה של קטע (ההגדרה לזווית ראייה של מעגל, למשל, שונה לחלוטין): זווית ראייה של קטע נוצרת ע"י העברת קטעים מקצוות של קטע הנחתכים בנקודה מסויימת. הזווית הנוצרת בצורה זו, היא זווית הראייה של הקטע (מצד שמאל, הזוויות BAC ו-BFC.
      צ"ל: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שדרכן רואים קטע נתון בזווית ראייה נתונה הוא מעגל.
      אם אנו צריכים להוכיח שהמקום הגיאומטרי של כל זוויות הראייה הוא מעגל, הרי שכולן נמצאות על מעגל אחד. אם כך, נניח, למשל, כי דרך הנקודה F אינו עובר מעגל. דרך שלוש נקודות עובר מעגל אחד ויחיד (למה?), ואכן נשרטט מעגל העובר דרך הנקודות ABC. ישנן זוג אפשרויות: הנקודה F נמצאת מחוץ למעגל או שהיא נמצאת בתוך המעגל. נוכיח את המקרה שבו הנקודה F נמצאת מחוץ למעגל (את המקרה השני, אשאיר לכם). נעביר מהנקודה B קטע שיחתוך את המעגל בנקודה E. את הנקודה E נחבר עם הנקודה C (שרטוט מצד שמאל).
      הזוויות BAC ו-BEC הן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת BC, ועל כן שוות זו לזו. מאידך, לפי הנתון, \angle BAC=\angle BFC, ומכלל המעבר, \angle BEC=\angle BFC. זווית חיצונית במשולש גדולה מזווית פנימית במשולש שאיננה צמודות לה, ולכן הגענו לסתירה. על כן, ההנחה המקורית שלנו, שהנקודה F איננה נמצאת במעגל החוסם את המשולש ABC, איננה נכונה - והנקודה F נמצאת על המעגל.
      נסו כעת להוכיח את המקרה שבו הנקודה F נמצאת בתוך המעגל .
      אם אחרי הקטע הנ"ל עדיין אינכם מאמינים בהוכחה בשלילה, אני מזמין אתכם להוכיח את העובדה על אודות המקום הגיאומטרי באמצעות גיאומטריה אנליטית. אציין כי הזווית החדה הנוצרת בין שני ישרים ששיפועיהם m_2 ו-m_1 מקיימת: tan(\alpha)=|\frac{m_2-m_1}{1+m_2m_1}|.
      אציין גם כי המקום הגיאומטרי למעשה נראה כך:
      קובץ מצורף 27998
      נסו להסביר מדוע!

      אז נכון. ההוכחה בשלילה לא פעם קשה יותר מהוכחה רגילה, אך היא אפקטיבית באותה מידה. תלמידי תיכון שנתקלים בהוכחה בשלילה לא פעם פוחדים מהשימוש בה, אך ברגע שמבינים את הדרך ואת הלוגיקה, היא הופכת לכלי חשוב בידי כל מתמטיקאי.
      בהצלחה! מקווה שנהניתם מהקריאה! וכמו המאמר השני, אסיים בכמה תרגילים
      1. הוכח כי נקודת מפגש חוצי הזוויות אינה יכולה להימצא על קטע האמצעים במשולש.
      2. הוכח כי נקודת מפגש האלכסונים בטרפז לא יכולה להימצא על קטע האמצעים במשולש.
      3. הוכח, ללא השימוש במשפט על אודות המקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות בזווית ראייה נתונה מקצוות קטע נתון, את משפט ההפוך למשפט "שני מיתרים במעגל חותכים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני". כלומר, במרובע שבו האלכסונים חותכים זה את זה כך שמכפלת קטעי אלכסון אחד שווה למכפלת קטעי אלכסון שני, הוא בר חסימה במעגל.
      4. הוכח, הן בעזרת הגיאומטריה האנליטית והן בעזרת הגיאומטריה האוקלידית, כי שלוש נקודות הנמצאות על מעגל נתון אינן נמצאות על ישר אחד (בהוכחה האנליטית, הנח שהמעגל הוא קנוני והיעזר בסעיף על נקודות הנמצאות על פרבולה).
      5. הוכח כי אם במרובע סכום הזוויות הנגדיות הוא 180, אז המרובע בר חסימה במעגל.

      בהצלחה! מקווה שנהניתם!
      תומר
      כתבה זו במקור פורסמה באשכול : על הוכחה בשלילה במתמטיקה, ועל שימושיה הספציפיים בגיאומטריה started by Dmot הצג הודעה מקורית
      תגובות 1 תגובה
      1. הסמל האישי שלbrainless
        brainless -
        ‏‎‏‎
        כתיבה מושלמת
        ההפנייה הזו בקישורים לאתרים רלוונטיים ולערכים מויקיפדיה מוסיפים המון ומעשירים המון,
        בניגוד לדעה הרווחת כי הם מהווים מסיח דעת בלתי מוצרך. שלא לדבר על כך
        שהכרתי בזכותך בלוג מתמטי מעניין ביותר שיצא לי לקרוא מתכניו עד שעות הבוקר המוקדמות,
        ובכל זאת להישאר שפוי. מאילו המעטים שבאמת יכולתי להבין, הצלחתי לזהות מן דפוס מסוים אצל
        הכותב, ובאמת ניכרת השפעתו על סגנון הכתיבה הייחודי שלך. אגדיל ואומר שבמידה מסויימת,
        ייתכן ואתה אף עולה עליו ביכולת שלך להסביר לאחרים נושאים שאינם פשוטים ברוב הפעמים.
        זו מחמאה די גדולה בהתבסס על העובדה שממרום שנותייו והשכלתו, אחד שהיה תלמיד בית ספר
        עד לא מזמן מוכתר היורש שלו, הן בכשרונך והן במידת תרומתך אלו שמתעניינים בתחום.
        מעבר לכך עוד אוכל להעיד, כי ממש התבאסתי כשנגמר החלק הראשון של המדריך, משום
        שחשבתי ששם גם הגיע סופו. הרגשתי תחושת החמצה ורצון לעוד מידע, ולאחר מכן כשגללתי
        מעט למטה שמחתי לראות שהמאמר ממשיך (ושרק חילקת אותו ל 2 הודעות). העובדה הזו
        די חסרת חשיבות לכשעצמה, אבל רק שתדע שהיא מגיעה מאדם שהספר האחרון שקרא
        בשלמותו היה אי שם בשלהי כיתה ג', ולא כי אני לא רוצה, אלא פשוט משום שאני מתעייף
        רק מלקרוא את הכותרת... את המאמר הזה לעומת זאת, קראתי יותר מפעמיים.
        היה לי חשוב להגיד את זה כי ראיתי שהטרידה אותך בעבר העובדה שמאמר ארוך מרתיע
        אנשים מלקרוא אותו. הסר דאגך מליבך, אין בכך שום אמת לדעתי, להפך,
        כל מילה נוספת ממך, הרי זה משובח (:

        לתוכן המאמר עצמו - מרתק! חבל לי מאוד ששיטת הוכחה מרכזית שכזו לא נלמדת בבית הספר,
        ואני אפילו לא יודע אם מותר להוכיח באמצעותה בבחינות הבגרות. אני די מתקשה בתחום
        הלוגיקה, כנראה חלק מהפרעות הלימוד שלי ונקודת פתיחה גנטית לא משהו, אבל הנושא דווקא
        כן עיניין אותי ואני די רואה את עצמי משתמש בכלים שהצגת בפנינו, לפתרון בעיות בעתיד.
        את ההוכחה להנחה כי שורש 2 הינו אי רציונלי כבר הכרתי (בזכות הפורום, יש לציין),
        אך ההוכחה עם הפרבולה ו 3 הנקודות וכמו גם בגאומטריה כל הנושא של קטע האמצעים,
        והזוויות בין מקבילים, היו חדשים לי לגמרי וממש הוקסמתי מהעובדה שבהינתן תכונה של
        קטע שעלינו להוכיח, ניתן לכפות את אותה התכונה על קטע אחר, ולאחר מכן להוכיח התלכדות
        וחפיפת הקטעים. בהקשר זה דווקא לא הצלחתי להבין את החלק האחרון בהוכחת המשפט
        עם התיכון ליתר . ציטוט מתוך המאמר -

        "נניח בשלילה כי הנקודה .
        אם כך, ישנה נקודה E על AC כך שמתקיים ׁ(כיוון ש). "

        נתון שיש משפט שעלינו להוכיחו, ולכן נניח כי הוא אינו מתקיים. לאחר מכן הנחת הנחה נוספת,
        ובסופו של דבר הגעת לסתירה, ומכאן שההנחה כי המשפט אינו מתקיים, אינה נכונה.
        מדוע אין זה אומר כי ההנחה הנוספת ההיא, היא זו שאינה מתקיימת?
        במילים אחרות, אני לא מבין מדוע תמיד מתקיים במשולש (או במשולש ישר זוית)
        כי קיים קטע שיורד מאחד הקודקודים לצלע שממול ושווה למחציתה, גם אם ידוע
        שהצלע שאליה יורד הקטע, גדולה מהקטע עצמו. האין זה משפט שיש צורך להוכיחו בנפרד?
        באם הוא אינו מתקיים תמיד אז כאשר מגיעים לסתירה בסוף אולי הנחה זו היא השגויה
        ולא הנחת המוצא שלנו. מקווה שהסברתי את עצמי היטב.
        אממ וזהו פחות או יותר. זכור לי שבקריאה ראשונה היו מספר דברים שלא התסדרו לי בסוף המאמר,
        כנראה בכלל חוסר ריכוז שלי, משום שכעת כשקראתי שוב, הכל היה לי מובן וברור והגיוני.

        סביר ששוב פיספסתי אותך בחופש, כמה שעות לפני חזרה לבסיס.
        לא נורא, סתם היה חשוב לי לומר תודה רבה על כל ההשקעה בנו לאחרונה.
        אתה המורה שתמיד רציתי שיהיה לי, ואף פעם לא היה...
        תודה רבה על מאמר מדהים,
        ושבוע טוב
    אודות Emath
    האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
    מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
    אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
    כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

    לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
    הצטרפו אלינו