Emath - בגרות במתמטיקה - משפטים שלא נלמדים בתוכנית הלימודים - נוסחת הרון, משפט ברהמגופטה ומשפט ברטשניידר

היי לכולם

אני ממש לא מרגיש טוב ולכן, כמו שאני מניח ששמתם לב, אני לא בצבא כרגע.
אני אעדיף אולי לכתוב כאן עוד כמה דברים, מאשר לא לעשות כלום. אז, הנה עוד כתבה (קטנה יותר מהכתבות הקודמות). תהנו.
-
את הכתבה הבאה אתחיל דווקא במשהו מוכר הרבה הרבה יותר, מאשר הוכחה בשלילה, או לפחות מוכר יותר עבור תלמידי תיכון - רשימת המשפטים שניתן לצטט בגיאומטריה ללא הוכחה. הרשימה מונה 108 משפטים על תלמיד הניגש לבגרות לזכור בע"פ, ולדעת את השימושים בהם. בכמה משפטים (מיתרים הנחתכים במעגל, חותך ומשיק היוצאים מאותה נקודה, שני משיקים, משפט חוצה זווית....) ישנו אף הצורך ללמוד הוכחה בע"פ ולצטט ([מעטים גם יכולים להוכיח בדרך אחרת

הראיתי למשפט בכתבה הראשונה כיצד ניתן להוכיח את משפט תאלס באמצעות גיאומטריה וכן באמצעות טריגונומטריה, כנ"ל למשפט חוצה זווית. לאחרונה נחשפתי לעוד 2 הוכחות שונות למשפט חוצה זווית

]. את המשפטים הללו נשים בתוך "קטגוריה א'" - משפטים בסיסיים שישנו הצורך לדעת בע"פ אם רוצים לשלוט בגיאומטריה (חלוקה שנעשית אך ורק לשם המאמר). אוסיף למשפטים הללו גם את משפט הסינוסים ואת משפט הקוסינוסים. חלק מהאנשים שכבר הספיקו להכיר אותי הכיר גם רשימה נוספת של משפטים שאני "נושא עמי", ומבקש מאנשים ללמוד אותה בע"פ. חלקם מופיעים בקובץ שהעליתי פעם ונמצא ב-Emathwiki (ממליץ אגב להיכנס לשם - מעט מאוד מודעים לקיומה של הוויקי הזאת, וישנם שם סיכומים מפורטים על שלל דברים): משפטים שאין להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה. ישנם עוד משפטים שאני ממליץ לזכור את ההוכחה שלהם (למשל, שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות הנמצאות בזווית ראייה שווה מקצוות קטע נתון הוא מעגל, עליה הסברתי בכתבה הקודמת) - אך אלו הנפוצים ביותר. למשפטים אלה נקרא "קטגוריה ב" - משפטים שאין להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה, אך הם נובעים בצורה יחסית ישירה מהמשפטים מקטגוריה א'.

בכתבה הבאה (או ברצף הכתבות הבאות) אנסה לדבר על משפטים מקטגוריה ג', משפטים שהוכחתם קצת יותר ארוכה ממשפטים מקטגוריה א' או ב', אך הם מעניינים לא פחות, ואולי קצת יותר. בעוד משפטים מקטגוריה ב' הם לרוב משפטים שמורים ספציפיים מלמדים או תכונות יפות (למשל, קטע היורד מקודקוד של משולש ומחלק אותו ביחס של m:n מחלק את המשולש לשני משולשים שהיחס בין שטחיהם הוא m:n), משפטים מקטגוריה ג' הם משפטים שלא מלמדים בתוכנית הלימודים כלל. מלבד נוסחת הרון, שישנם עוד מעט מורים שמלמדים אותה (ובכל מקרה היא מופיעה בספרים), ברוב המשפטים שאביא כאן נתקלתי בניסיון ללמוד מספרים ישנים או מהאינטרנט, או לחלופין, נתקלתי בהם במסגרת תרגיל שהופיע בספר לימוד, בתור תרגיל אתגר. הפעם, בחרתי בשלושה משפטים חמודים, ואולי כדי להתחיל לצעוד בכיוון מוכר - נוסחת הרון

.צלעות רבותיי, צלעות!
עם הכבוד הרב שאני רוכש לטריגונומטריה, כמו שציינתי כבר פעם, שימוש בנוסחאות טריגונומטריות בחיים המציאותיים הינו קשה. בהינתן משולש נתון בעל קנה מידה אמיתי (כלומר, צלע שאורכה 3 ס"מ אכן שווה בשרטוט ל-3 ס"מ) עדיף להוריד גובה מקודקוד אל הצלע שמולו, לחשב את גובהו באמצעות סרגל וכן את הצלע שאליה הוא יורד, ואז לחשב את השטח. הטריגונומטריה מציעה לנו שפע נוסחאות לחישוב שטח משולש, אם נסתכל רק על הנוסחאות הבסיסיות נקבל:
$S=\frac{absin(\gamma)}{2} \ \ \ S=\frac{a^2sin(\beta)sin(\gamma)}{2sin(\alpha)} \ \ \ S=2R^2sin(\alpha)sin(\beta)sin(\gamma)$
אפשר גם להוכיח, לדוגמא, ששטח משולש שווה לרבע סכום ריבועי צלעות משולש, אשר כל אחד מהם מוכפל בסינוס פעמיים הזווית של הצלע השנייה (לכתוב מתמטיקה בשפה יכול להיות דבר מסובך - וכמו שאומרים - תמונה אחת שווה אלף מילים. בהינתן משולש שבו שתי צלעות הן $a$ ו- $b$ ושתי הזוויות המונחות מולן הן $\alpha$ ו- $\beta$ בהתאמה, אז שטח המשולש, $S$ , יקיים $S=\frac{1}{4}[a^2sin(2\beta)+b^2sin(2\alpha)]$ . ממליץ לנסות להוכיח זאת.
אבל, מדידת זווית היא עבודה קשה, ודורשת מד זווית (נפוץ הרבה פחות מסרגל רגיל). מלבד זאת, מעטים מדי הזווית המדוייקים מאוד, ולא פעם הזוויות יפות (10 מעלות, 25 מעלות וכן הלאה). אם עברנו את המכשול הנ"ל, עלינו לדעת לחשב סינוסים - שזוהי עבודה קשה למדיי. אולי מי שמכיר את טורי טיילור יוכל לחשוב שניתן להיפטר מהסינוס, אבל זה דורש חישובים אינסופיים ומחשבון נחמד. כמובן שאם יש בידינו מחשבון, ניתן לחשב ישירות את הסינוס, בתנאי שאנו יודעים איך למדוד זוויות.

הגיאומטריה, אגב, לא נשארת מאחור, ומציעה שלוש נוסחאות לחישוב שטח משולש פשוט:
$S=\frac{h_a a}{2} \ \ \ S=\frac{abc}{4R} \ \ \ S=pr$
הנוסחא הראשונה היא הנוסחא המוכרת לנו, מחצית מכפלת גובה בצלע אליה הוא יורד או להמשכה.
הנוסחא השנייה היא נוסחא שעליה הסברתי מעט בכתבה הראשונה (מצורף כאן קישור).
הנוסחא השלישית היא נוסחא מקטגוריה ב' (על ה-p נדבר בהמשך).

אבל, גם כאן יש לנו קושי בשתי הנוסחאות האחרונות - הן דורשות לחשב רדיוסים של מעגלים. מציאת מרכז מעגל חוסם משולש יכולה להיות דבר קצת מעצבן, ודורש מאיתנו בניות בעזרת סרגל ומחוגה - מוצאים את אמצע הקטע ומורידים גובה ממנו - שהרי מרכז המעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים. ממשיכים כך פעם אחת נוספת לפחות (שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת, וכל שני אנכים אמצעיים במשולש נחתכים). מציאת רדיוס מעגל חסום במשולש הוא עבודה קשה אפילו יותר - ודורש למצוא נקודה שתהיה במרחק שווה מצלעות המשולש, או לחלופין, לשרטט בעזרת סרגל ומחוגה שני חוצי זוויות, שהרי כל שני חוצי זוויות במשולש נחתכים, שלושתם נחתכים בנקודה אחת ונקודת המפגש שלהם היא מרכז המעגל החסום במשולש. כלומר, נשארנו עם נוסחא אחת בלבד - הדורשת לחשב גובה.
עד כאן הכל טוב ויפה - ואפקטיבי מאוד אם יש מולינו משולש, למשל, ואנו רוצים לחשב את שטחו. ברם, מה קורה כאשר אנו מדברים על גדלים מפלצתיים? אם נתון לנו משולש שצלעותיו הן $a=10^5 m \ \ \ b=20^5 m \ \ \ c=35^5 m$ ? איך נחשב את שטחו? לא נוכל להוריד גובה! מקרה כזה יכול בהחלט לקרות באדריכלות, למשל - עם בניינים עצומים. כאן הטרגיונומטריה בהחלט יכולה לעזור לנו - אך הדבר קצת בעייתי - כיוון שהמחשבון נוהג "לעגל" ספרות בסינוסים ובקוסינוסים - אשר רובם מספרים שאינם רציונאליים בכלל. על כן, עלינו לנסות לפתח דרך חדשה.

נוסחת הרון
מי מכם שעלעל קצת בספר הלימוד שלו, בוודאי נחשף לנוסחא הנקראת נוסחת הרון. מעטים המורים שמלמדים אותה (המורה שלי דילג על הנוסחא, וכשבאתי לשאול אותו עליה, יאמר לזכותו שהוא צילם לי מספר עמודים מספר שהיה ברשותו ונתן לי), וחבל שכך. נוסחת הרון היא נוסחא שימושית מאוד, בייחוד שאנו כבולים לגיאומטריה - ומאפשרת מציאת שטח משולש על סמך שלושת צלעותיו בלבד - איננו זקוקים לרדיוס המעגל החוסם את המשולש, איננו זקוקים לרדיוס המעגל החסום במשולש או לגובה במשולש - ובמקרה שלנו, זוהי הנוסחא שעלינו להשתמש בה כדי למצוא בקלות את שטח המשולש.

לפנינו משולש ABC שבו $AB=a, \ AC=b, \ BC=c$ . צריך למצוא את שטח המשולש.
כאשר מדברים איתנו על שטח משולש, ברוב המקרים עלינו להשתמש בנוסחא המוכרת לנו - מחצית מכפלת גובה בצלע אליה הוא יורד, או להמשכה.
לשם כך, הורדנו גובה AD אל הצלע BC. נסמן: $BD=x, \ AD=h$ . מחיסור צלעות, נקבל $DC=c-x$ .

כאשר נתון לנו משולש ישר זווית, אנו צריכים לחשוב מייד על פיתגורס, בייחוד בתרגילים חישוביים. ניעזר בפיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית שנוצרו: BAD ו-DAC.
נקבל:
$(1) \ x^2+h^2=a^2 \\ (2) \ h^2+(c-x)^2=b^2$
נחסר בין שתי התוצאות, ונקבל:
$h^2+(c-x)^2-x^2-h^2=b^2-a^2 \\ (c-x)^2-x^2=b^2-a^2$
פותחים סוגריים ומקבלים:
$c^2-2cx+x^2-x^2=b^2-a^2 \\ c^2-2cx=b^2-a^2 \\ \frac{c^2+a^2-b^2}{2c}=x$
(התוצאה מוכרת למישהו?

, אולי רמז קטן יהיה משפט פיתגורס המורחב)

כעת, נחבר בין המשוואות. נקבל:
$x^2+h^2+(c-x)^2+h^2=b^2+a^2$
נפתח סוגריים, מכאן:
$x^2+h^2+c^2-2cx+x^2+h^2=b^2+a^2 \\ 2h^2=b^2+a^2-c^2-2x^2+2cx \\ h^2=\frac{b^2+a^2-c^2}{2}-x^2+cx$
נציב את x שמצאנו, ונקבל:
$h^2=\frac{b^2+a^2-c^2}{2}-(\frac{(c^2+a^2-b^2)}{2c})^2+\frac{c(c^2+a^2-b^2)}{2c}$

$h^2=\frac{b^2+a^2-c^2}{2}-(\frac{(c^2+a^2-b^2)}{2c})^2+\frac{c^2+a^2-b^2}{2}$
האיברים הקיצוניים בעלי מכנה זהה, ולכן ניתן לחבר בינם. נקבל:

$h^2=\frac{b^2+a^2-c^2+c^2+a^2-b^2}{2}-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2c})^2$

$h^2=\frac{2a^2}{2}-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2c})^2$

ניעזר בכלל החזקות $(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}=(\frac{a}{b})^m$ , ונקבל:

$h^2=a^2-\frac{(c^2+a^2-b^2)^2}{(2c)^2}$

$h^2=a^2-\frac{(c^2+a^2-b^2)}{4c^2}$
מכנה משותף מניב:
$h^2=\frac{4a^2c^2-(c^2+a^2-b^2)^2}{4c^2}$
ניעזר בנוסחא להפרש ריבועים: $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$ , ונקבל:
$h^2=\frac{[2ac+c^2+a^2-b^2][2ac-c^2-a^2+b^2]}{4c^2}$

$h^2=\frac{[a^2+2ac+c^2-b^2][b^2-a^2+2ac-c^2]}{4c^2}$
ניעזר בזהויות: $(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2 \ \ \ m-n=-(n-m)$ , מקבלים:
$h^2=\frac{[a^2+2ac+c^2-b^2][b^2-(a^2-2ac+c^2)]}{4c^2}$

$h^2=\frac{[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]}{4c^2}$

ניעזר כעת בנוסחא לשטח משולש ע"פ גובה וצלע. נקבל:
$S=\frac{1}{2}h\cdot c$
נעלה בריבוע את שני האגפים,
$S^2=\frac{1}{4}h^2c^2$
ונציב את $h^2$ :
$S^2=\frac{c^2}{4}\cdot\frac{[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]}{4c^2}$

$S^2=\frac{1}{16}[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]$
ואם נוציא שורש משני האגפים (מדוע אין צורך להתחשב בשורש השלילי?) ונשתמש בקשר $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ , נקבל:
$(1) \ S=\frac{1}{4}\sqrt{[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]}$

זאת דרך ראשונה להציג את נוסחת הרון. דרך נוספת היא להשתמש שוב בנוסחא להפרש ריבועים $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$ , ולקבל:

$(2) \ S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)}$
וזאת נוסחא כבר יותר סטנדרטית. כל פעם אנו בוחרים צלע ושמים אותה במינוס. לאחר מכן, מחברים את שתי הצלעות האחרות.

ישנה דרך נוספת לפשט את הנוסחא, והיא הדרך היותר יפה מבחינתי, אך כדי לעשות זאת, נחזור לנוסחא:
$S^2=\frac{1}{16}[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]$
כלומר, לפני הוצאת השורש.
נעזר בנוסחא להפרש ריבועים ונקבל (בדומה לנוסחא 2).
$S^2=\frac{1}{16}(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b+c-a)$
כעת, נגדיר פרמטר חדש, $p$ . זהו פרמטר המוכר בגיאומטריה, ולרוב משתמשים בו כדי לביע את מחצית היקף המשולש, כלומר, $p=\frac{a+b+c}{2}$ . אם כך, היקף המשולש, $P$ , יהיה $2p$ .
מדוע אנו עושים זאת? מה יצא לנו מכך? נבודד את היקף המשולש מהנוסחא הראשונה. נקבל:
$2p=a+b+c$
וכעת, נוכל להגיד כי סכום שתי צלעות במשולש שווה לפעמיים p פחות הצלע המבוקשת. אם נרצה למשל להביע את סכום הצלע $a,b$ , נקבל:
$a+b=2p-c$
נציב זאת בנוסחא אם כך. נקבל:
$S^2=\frac{1}{16}(2p-b+b)(2p-b-b)(2p-c-c)(2p-a-a)$
או,
$S^2=\frac{1}{16}\cdot 2p(2p-2b)(2p-2c)(2p-2c)$
נוציא גורם משותף 2 מכל הסוגריים. נקבל,
$S^2=\frac{1}{16}\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot p(p-a)(p-b)(p-c)$
ומכאן,
$S^2=\frac{1}{16}\cdot 16\cdot p(p-a)(p-b)(p-c)$

$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$
ואם נוציא שורש, נקבל:
$(3) \ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
וזוהי הגירסא המוכרת ביותר לנוסחת הרון
.
אותו p חמקמק מאפשר לנו להתחמק מהמספר מחוץ לשורש (שלרוב שוכחים אותו, אם לא שמים לב), ולחשב באופן יחסית קל יותר את שטח המשולש. אותו ה-p מופיע לא פעם בנוסחאות בטריגונומטריה ובגיאומטריה

מי שלא התרשם מכוחה של הנוסחא ("אז מה? חישבת שטח משולש בעזרת שלש צלעות, יכולתי להשתמש בטריגונומטריה ולמצוא זאת בקלות יתרה!!!), אראה כמה שימושית יפים שלה

א. מציאת רדיוס מעגל חסום משולש באמצעות שלוש הצלעות המשולש
ניעזר בשתי הנוסחאות לחישוב שטח משולש:
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ S=pr$
נשווה בינן ונקבל:
$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr$
נעלה בריבוע ונקבל:
$p(p-a)(p-b)(p-c)=p^2r^2$
מצמצמים ומקבלים:
$(p-a)(p-b)(p-c)=pr^2$
מכאן,
$r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$
למי שרוצה להשוות עם הנוסחאות הטריגונומטריות, רדיוס מעגל חסום במשולש ניתן בין היתר למציאה ע"י הנוסחא (שמומלץ לזכור ולנסות להוכיח):
$r=4Rsin(\frac{\alpha}{2})sin(\frac{\beta}{2})sin(\frac{\gamma}{2})$

ב. מציאת רדיוס מעגל חוסם משולש באמצעות שלוש הצלעות המשולש
ניעזר בשתי הנוסחאות לחישוב שטח משולש:
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ S=\frac{abc}{4R}$
משווים ומבצעים מספר פעולות אלגבריות. מוצאים:
$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{abc}{4R} \\ R=\frac{abc}{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$
ולשם השוואה, הנוסחא הבסיסית המאפשרת למצוא רדיוס מעגל חוסם משולש היא משפט הסינוסים,
$R=\frac{a}{2sin(\alpha)}=\frac{b}{2sin(\beta)}=\frac{c}{2sin(\gamma)}$

ג. היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש לבין רדיוס המעגל החסום במשולש
לא פעם אנו נשאלים לכך בשאלות בגיאומטריה, והרי בהסתמך על סעיפים א' וב', קל מאוד למצוא זאת:
$\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}{\frac{abc}{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$
קצת אלגברה מניבה:
$\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}{abc}$
ניעזרים בכלל $\sqrt{m}\sqrt{n}=\sqrt{mn}$ , מאחדים שורשים ומצמצמים. מקבלים:
$\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)\cdot \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}{abc}$

$\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{(p-a)^2(p-b)^2(p-c)^2}}{abc}$
ומכאן, ניתן לבטל את השורש לפי הנוסחא למעלה. נשאר:
$\frac{r}{R}=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{abc}$
אפשר להמשיך, אך באמת יש צורך ביותר מכך?

בכתבה הראשונה שכתבתי דיברתי על העובדה שלעיתים הטריגונומטריה מקלה על פתרון בעיות גיאומטריות, בעוד הסינוסים והקוסינוסים נעלמים בפתרון. ברוח הכתבה, אדגים זאת גם כאן

נחזור לשרטוט המקורי שלנו. נסמן: $\angle BAC=\gamma$ .
ממשפט הקוסינוסים:
$c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)$
ומכאן,
$a^2-b^2-c^2=2abcos(\gamma) \\ \frac{a^2-b^2-c^2}{2ab}=cos(\gamma)$
נעלה בריבוע ונקבל:
$\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}=cos^2(\gamma)$
נעזרים בזהות: $cos^2(\varphi)=1-sin^2(\varphi)$
מכאן,
$\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}=1-sin^2(\gamma)$

$sin^2(\gamma)=1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}$

$sin^2(\gamma)=\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}$

ניעזר בשטח משולש ע"פ שתי צלעות והזווית בינן. נקבל:
$S=\frac{1}{2}absin(\gamma)$
מעלים בריבוע, מציבים ומקבלים:
$S^2=\frac{1}{4}a^2b^2sin^2(\gamma)$

$S^2=\frac{1}{4}a^2b^2\cdot \frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}$

$S^2=\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{16}$

$S^2=\frac{(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)}{16}$

$S^2=\frac{(c^2-(a^2-2ab+b^2))(a^2+2ab+b^2-c^2)}{16}$

$S^2=\frac{(c^2-(a-b)^2)((a+b)^2-c^2)}{16}$

$S^2=\frac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b-c)}{16}$
וזו בדיוק הנוסחא שקיבלנו בדרך הגיאומטרית.

משפט ברהמגופטה ומשפט ברטשניידר
בהתבוננות בנוסחת הרון, עולה השאלה החדשה: האם ניתן לחשב שטח מרובע, בהסתמך על צלעותיו בלבד? התשובה, לצערינו, היא לא. מדוע?
שני משולשים בעלי אותם צלעות, הם אותו המשולש = משולשים חופפים. ברם, נשאלת השאלה - האם שני מרובעים בעלי אותם אורכי צלעות, חופפים?
התשובה הנכונה היא לא .דוגמא נגדית פשוטה היא ריבוע שצלעותיו הן $a$ , ומעויין, בעל זווית של $60$ מעלות, שאורך צלעותיו גם הוא $a$ .
קל להראות ששטח הריבוע הוא $S_1=a^2$ , ומאידך, שטח המעויין הוא $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ (הוכיחו!). כלומר, בהסתמך על צלעות בלבד אין אפשרות לחשב שטח מרובע כלשהו (הראינו שעבור זוג מרובעים בעלי אותו אורך צלעות מקבלים שטחים שונים). אם כן, כיצד נוכל לחשב שטח מרובע כלשהו?
לפני שניגש לעשות זאת, אתן תרגיל חמוד. בהסתמך על הדוגמאות שהראיתי מעלה, אין משפט חפיפה צ-צ-צ-צ למרובעים (אם נגדיר משפטי חפיפה למרובעים). אתם מוזמנים לנסות למצוא כמה שיותר משפטי חפיפה למרובעים

[תזכורת: מצולעים חופפים הם מצולעים שכל צלעותיהם שוות וכל זוויותיהם שוות].
הדצ.png

נצייר מרובע כלשהו ABCD, ונסמן את הצלעות בצורה הבאה:
$AB=a \ \ AD=b \ \ DC=c \ \ BC=d$
קל לראות שאי אפשר להתקדם יותר מדיי בעזרת הציור שלנו. הדגשנו שאי אפשר למצוא שטח מרובע ע"ס צלעותיו בלבד, ולכן, נסמן: $\angle BAD=\alpha$ . נעביר גם את האלכסון BD.
הסימונים הללו מקדמים אותנו מאוד, ולכן, נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש BAD:
$BD^2=a^2+b^2-2ab cos(\alpha)$
נסמן גם $\angle BCD=\beta$ . עם הסימון הנ"ל, נביע את BD בצורה נוספת, הפעם באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש BCD:
$BD^2=c^2+d^2-2cd cos(\beta)$
נשווה בין זוג המשוואות, ונקבל:
$(1) \ a^2+b^2-2abcos(\alpha)=c^2+d^2-2cd cos(\beta)$
נבודד את ריבועי הצלעות ונקבל:
$(1) \ a^2+b^2-c^2-d^2=2abcos(\alpha)-2cdcos(\beta)$
נעלה בריבוע ונקבל:

$(1) \ (a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2cos^2(\alpha)-8abcdcos(\alpha)cos(\beta)+4c^2d^2cos^2(\beta)$

שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י סכום שטחי המשולשים שיוצר אלכסון שמועבר. אם כך, מתקיים:
$(2) \ S=S_{BCD}+S_{BAD} \\ (2) \ S=\frac{cdsin(\beta)}{2}+\frac{absin(\alpha)}{2}$
נכפיל את המשוואה ב-4 ונעלה בריבוע. נקבל:
$(2) \ 4S=2cdsin(\beta)+2absin(\alpha) \\ (2) \ 16S^2=4c^2d^2sin^2(\beta)+8abcdsin(\beta)sin(\alpha)+4a^2b^2sin^2(\alpha)$
נחבר את משוואות (1) ו-(2). נשיםב לב לאיברים $4a^2b^2cos^2(\alpha)$ ו- $4a^2b^2sin^2(\alpha)$ , אם נחבר בינם ונוציא גורם משותף $4a^2b^2$ , נקבל $4a^2b^2[cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha)]$ , אבל לפי הזהות הפיתגוראית, $cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)=1$ , ולכן $4a^2b^2sin^2(\alpha)+4a^2b^2cos^2(\alpha)=4a^2b^2$ . בצורה דומה, גם האיברים $4c^2d^2cos^2(\beta)$ ו- $4c^2d^2sin^2(\beta)$ מתנהגים בצורה דומה, וסכומם הוא $4c^2d^2$ . מכאן, שבחיבור המשוואות מקבלים:
$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2+4c^2d^2-8abcdcos(\beta)cos(\alpha)+8abcdsin(\alpha)sin(\beta)$
מוציאים גורם משותף משני האיברים הימניים, מקבלים:
$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2+4c^2d^2-8abcd[cos(\beta)cos(\alpha)-sin(\alpha)sin(\beta)]$
נעזר בזהות: $cos(\varphi)cos(\omega)+sin(\omega)cos(\omega)=cos(\varphi-\omega)$ , מכאן:
$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2+4c^2d^2-8abcdcos(\alpha-\beta)$
מזווית כפולה של קוסינוס מקבלים: $2cos^2(\varphi)-1=cos(2\varphi)$ , ולכן $2cos(\frac{\varphi}{2})-1=cos(\varphi)$ . מכאן,
$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2+4c^2d^2-8abcd[2cos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})-1]$

$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2+4c^2d^2-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})+8abcd$
נסדר בצורה הבאה:
$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4a^2b^2+8abcd+4c^2d^2-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
נוציא גורם משותף, נסדר וניעזר בנוסחאת הכפל המקוצר $(m-n)^2=m^2+2mn+n^2$ . נקבל:
$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$

$16S^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=4(ab+cd)^2-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
ומכאן, באמצעות העברת אגפים מקבלים:
$16S^2=4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
ניעזר בנוסחא להפרש ריבועים, $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$ , נקבל:
$16S^2=(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
נסדר ונקבל:
$16S^2=(a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2)(-a^2+2ab-b^2+c^2+2cd+d^2)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
נעזרים בקשר: $(m-n)=-(n-m)$ , נקבל:
$16S^2=(a^2+2ab+b^2-(c^2-2cd+d^2))(c^2+2cd+d^2-(a^2-2ab+b^2))-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
ומנוסחאות הכפל המקוצר,
$16S^2=[(a+b)^2-(c-d)^2]((c+d)^2-(a-b)^2)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
ניעזר שוב בנוסחא להפרש ריבועים, ונקבל:
$16S^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d-a+b)(c+d+a-b)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
ניעזר שוב בפרמטר p, אך הפעם מדובר במרובע. מכאן, $p=\frac{a+b+c+d}{2}$ , ולכן $2p=a+b+c+d$ .
מכאן,
$16S^2=(-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$

$16S^2=(2p-d-d)(2p-c-c)(2p-a-a)(2p-b-b)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
נמשיך בדרך של נוסחת הרון, ונקבל:
$16S^2=(2p-d-d)(2p-c-c)(2p-a-a)(2p-b-b)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$

$16S^2=(2p-2d)(2p-2c)(2p-2a)(2p-2b)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
כינוס איברים,
$16S^2=2^4(p-d)(p-c)(p-a)(p-b)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
מוליאים גורמים משותפים,
$16S^2=16(p-d)(p-c)(p-a)(p-b)-16abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
מצמצמים,
$S^2=(p-d)(p-c)(p-a)(p-b)-abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})$
מוציאים שורש,
$S=\sqrt{(p-d)(p-c)(p-a)(p-b)-abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})}$
ולשם הסדר, נסדר בצורה הבאה:
$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})}$
לנוסחא הנ"ל קוראים נוסחת ברטשניידר, והיא מעין "נוסחת הרון" לחישוב שטח מרובע.
מדוע הנוסחא הזו שימושית? ראשית היא מראה לנו ששטח מרובע תלוי לא רק בזווית אחת שלו, אלא בשתי זוויות שלו, בניגוד למשולש. שנית, אפשר לנתח אותה קצת יותר

א. כאשר המרובע הוא בר חסימה במעגל, כלומר, מרובע ציקלואידי. במקרה הזה, סכום זוג הזוויות הנגדיות הוא 180, ולכן $cos(\frac{\alpha+\beta}{2})=0$ (כיוון ש- $\frac{\alpha+\beta}{2}=90$ ). למקרה הפרטי של הנוסחא הזו קוראים משפט ברהמגופטה (שם קצת מצחיק

- Brahmagupta). אתם מוזמנים להוכיח את הנוסחא עברו המקרה הפרטי הזה. במקרה הזה הנוסחא שלנו מצטמצמת ל-
$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$
קרי, נוסחה הדומה הרבה יותר לנוסחת הרון.

ב. כאשר המרובע הוא מרובע שניתן לחסום בו מעגל, כלומר, מרובע משיקים: במקרה הזה, סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום הצלעות הנגדיות השני. מכאן, אם נסתכל על ההגדרה של p, $p=\frac{a+b+c+d}{2}$ , מקבלים ש $a+c=b+d$ , ולכן, אם נבחר "להעלים" את הגורם $a+c$ , נקבל $2p=2(b+d)=2b+2d$ , כלומר, $p=b+d$ . אם נבחר "להעלים" את הגורם $b+d$ , נקבל $2p=2(a+c)=a+c$ . נציא את התוצאה הראשונה עבור p בסוגריים המכילים את הגורמים $b.d$ . את התוצאה השנייה נציב עבור p בסוגריים המכילים את הגורמים $a,c$ . נקבל:

$S=\sqrt{a+c-a)(b+d-b)(a+c-c)(b+d-d)-abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})}$

$S=\sqrt{cdab-abcdcos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})}$
נוציא גורם משותף $abcd$ ונקבל:
$S=\sqrt{abcd(1-cos^2(\frac{\alpha+\beta}{2})}$
נעזר בזהות הפיתגוראית, $sin^2(\varphi)=1-cos^2(\varphi)$ , ומכאן:
$S=\sqrt{abcdsin^2(\frac{\alpha+\beta}{2})}$
ואם נעזר בזהות $\sqrt{m}\sqrt{n}=\sqrt{mn}$ , נקבל:
$S=\sqrt{abcd}sin(\frac{\alpha+\beta}{2})$

ג. כאשר המרובע הוא גם מרובע משיקים וגם מרובע ציקלואידי, כלומר בר חסימה במעגל וכן ניתן לחסום בו מעגל:
לא אוכיח זאת (מאוד קל להוכיח זאת בעצמכם בהסתמך על הנוסחא המקורית או על הנוסחאות עבור המקרים הפרטיים) הקודמים. מקבלים:
$S=\sqrt{abcd}$ .

ולסיום - ממקרה כללי למקרה פרטי
כבר הראינו כיצד נוסחת ברהמגופטה מתקבלת מנוסחת ברטשניידר (ומהווה מקרה פרטי שלו). אבל, כיצד מתקבלת נוסחת הרון?
לא פעם המורים מלמדים אותנו בתיכון שאין דבר כזה צלע שהיא אפס, ואין דבר כזה זווית שהיא אפס - אין דבר כזה זווית שלילית ואין דבר כזה שטח שהוא אפס. זה נכון, חלקית.
ההגדרות הנ"ל נכונות מאוד, אבל נחרוג מעט ונציין שהכל תלוי בהגדרה, ובדרך ההסתכלות. לא פעם בשאלות בטריגונומטריה, מרובעים הופכים להיות קווים ישרים בתור שטח מינימאלי, למשל. מקרים כאלה נקראים מקרים מנוונים, ועליהם קצת פרטתי באשכול הנ"ל:
https://www.emath.co.il/forums/%D7%A9...-806/71176.htm
הדוגמא הקלה ביותר להסביר מהו מקרה מנוון הוא בטרפז. בטרפז שבו הבסיסים הם $a$ ו-b וקטע האמצעים הוא $l$ , מתקיים $l=\frac{a+b}{2}$ . אם אחד הבסיסים הוא אפס, נניח, הבסיס הקטן, $a$ , מתקבל $l=\frac{a}{2}$ . מבחינה גיאומטרית, הטרפז הופך להיות משולש - כלומר, שני קודקודים של הטרפז מתחברים

ואם נבחן זאת מבחינה גיאומטרית, מתקבל לנו קטע אמצעים במשולש, והוא אכן שווה למחצית הצלע אותה הוא לא חוצה.
לא תמיד אפשר "לשבור את המוסכמות" (זמן הוא תמיד גודל חיובי), אבל לעיתים אפשר - כך למשל, זווית שלילית במעגל היחידה היא זווית הנוצרת כאשר רדיוס המעגל זז עם כיוון השעון במקום נגד כיוון השעון. הכל עניין של הגדרה.

אם נסתכל על הפרמטר $p$ עבור המקרה של מרובע, נקבל $p=\frac{a+b+c+d}{2}$ , ונניח כי הצלע $b=0$ , נקבל $p=\frac{a+c+d}$ . במקרה כזה, אנו מקבלים משולש חסום במעגל (אם אנו מסתכלים על נוסחת ברהמגופטה).
מע.png

אם נתבונן בנוסחא, נקבל:
$S=\sqrt{(p-a)(p-0)(p-c)(p-d)}$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-c)(p-d)}$
וזוהי בדיוק הרון לחישוב שטח משולש.

לפני שאסכם, אגיד גם שעל שמו של הרון שלנו קרוי "משולש הרוני", כלומר, משולש שבו כל הצלעות הם מספרים שלמים, וכן השטח שלו הוא מספר שלם. אתם מוזמנים לקרוא על כך כאן:
Heronian triangle - Wikipedia, the free encyclopedia
-
בפוסט הנ"ל למעשה הנחתי שני יסודות לשתי כתבות המשך (כלומר, יסודות שאתבסס עליהם בכתבות הבאות, ואלו תקושרנה להן), אך איני יודע אם הן תצאנה לפועל (שכן אני דיי עסוק, ואני לא רואה התעניינות רבה במה שאני כותב, למען האמת). אז, נהנה ממה שיש

.
אם למישהו יש שאלות, הערות, הארות או תגובות כלשהן, אשמח לשמוע.
לילה טוב ומבורך, תומר.

תפריט

Emath בגרות במתמטיקה

משתמשים אומרים תודה

שלום רב !!!

משפטים שלא נלמדים בתוכנית הלימודים - נוסחת הרון, משפט ברהמגופטה ומשפט ברטשניידר

הודעת מערכת

אודות Emath

קפיצה מהירה

הצטרפו אלינו