• משפטים שלא נלמדים בתוכנית הלימודים - משפט תלמי ומרובע ציקלי (חלק I)

      בשבוע הבא אסגור בצבא ולא אפרסם כתבה חדשה, אז החלטתי לפרסם אותה עכשיו (וגם המשפט החדש דיי "בער" - בקרוב תבינו למה ). מקווה שעל אף העומס בכתבות האחרונות (שלוש בשבוע, שזה דיי יפה, אך אמנם לא כיוון שהיה לי הרבה זמן חופשי...) עדיין תהיינה תגובות, הערות והארות.
      בהצלחה לנו
      -------------------------------------------------------------------------------------------
      בכתבה על אודות נוסחת הרון, נוסחת ברהמגופטה ונוסחת ברטשניידר, ציינתי שזוהי כתבה שתהווה המשך לשתי הכתבות הבאות. נזכיר שבכתבה הזו הוכחנו את נוסחת הרון והבענו בעזרתה את רדיוס המעגל החוסם את משולש ואת רדיוס המעגל החסום במשולש באמצעות שלוש צלעות המשולש. בכתבה על אודות רדיוס מעגל חוסם במשולש, רדיוס מעגל חסום במשולש ומשפט אויילר, הוכחנו את משפט אויילר בגיאומטריה ונעזרנו בנוסחת הרון על מנת להביע את המרחק בין מרכז המעגל החסום במשולש לבין רדיוס המעגל החוסם משולש באמצעות שלוש צלעות המשולש. בכך, אכן קיימתי את מה שאמרתי, או לפחות חלקית.
      כעת, אתרכז לאו דווקא בנוסחת הרון, התקפה עבור משולשים, אלא דווקא בנוסחת ברטשניידר ובנוסחת ברהמגופטה כדי להוכיח דברים דווקא במרובע . מפאת עומס חומר מחד וחוסר זמן מאידך, הכתבה תחולק לשתי כתבות קטנות יותר. החלק הראשון, החלק הנוכחי, יוקדש בעיקרו למשפט תלמי ולמשפטים שימושיים הנובעים ממנו, והחלק השני, החלק הבא, יוקדש בעיקרו לשימושים של המשפטים שהובאו ושל משפט תלמי.

      מקרה כללי, מקרה פרטי ומקרה מנוון- יתרונות מול חסרונות
      לַרוב, המתמטיקאים מנסים למצוא טענות כללית כמה שאפשר. לדוגמא, שטח משולש שווה צלעות שצלעו a הוא S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, אך שטח משולש כלשהו, שבו הצלעות הן a,b,c הוא S=\sqrt{\frac{(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b+c)}{16}} (נוסחת הרון) [הראה כיצד הנוסחא למשולש שווה צלעות מתקבלת מנוסחת הרון). דוגמא נוספת: נגזרתה של הפונקציה y=x^2 היא y=2x, אך נגזרתה של פונקציית פולינום פשוט כלשהיא היא (x^n)'=nx^{n-1} (הראה כיצד מתקבלת הנוסחא עבור הפונקציה הריבועית מפונקצית הפולינום הכללית).
      המקרה הכללי מכיל יותר פרמטרים מהמקרה הראשון - אך תמיד ישנה שאיפה לצמצם את כמות הפרמטרים במידת האפשר. כך למשל, במשולש ישר זווית, הגובה ליתר יכול להינתן באמצעות היטלי הצלעות a,b - שהם c,d בהתאמה - ע"י הנוסחא: h=\sqrt{\frac{(a+d)(a-d)+(c+b)(c-b)}{2}}, אך ממש אין בכך צורך - ואפשר להביע את אורך הגובה ליתר באמצעות היתר, e, ובאמצעות שני הניצבים, באמצעות הנוסחא: h=\frac{ab}{c} (מדוע?). כל המקרים הפרטיים הם מקרים שבהם ידוע לנו קשר בין כמה פרמטרים, או קשר מסויים שיכול לפשט את הנוסחא עבור המקרה הכללי, ולכן, בהכרח מקיימים את המקרה הפרטי, ולכן, לא פעם, מומלץ למצוא את המקרה הכללי במידת הניתן.
      מאידך, לא תמיד המקרה הכללי טוב יותר מהמקרה הפרטי, כיוון שלא תמיד ניתן למצוא נוסחא כללית למדיי שתספק אותנו. אין נוסחא למציאת רדיוס מעגל חוסם משולש באמצעות שתי צלעות במשולש בלבד - אך באמצעות שלוש צלעות המשולש ניתן למצוא נוסחא כזו. לבסוף, לפעמים המקרה הפרטי מרתק לא פחות מהמקרה הפרטי , ומציג תכונות שיש למקרה פרטי מסויים, ולא למקרה הכללי- משולשים חופפים הם מקרה פרטי של משולשים דומים, שבו יחס הדימיון הוא 1:1. שני משולש שבהם שווים זוג זוויות בהתאמה והצלע הכלואה בינהם הם משולשים חופפים - ואין משפט דימיון מקביל לכך (אין משפט דימיון ז-צ-ז)!.

      ע"ס הפסקה הזו, נבצע "הקרבה" כדי להגיע למשפטים הללו. כמו שהוכחנו את משפט ברהמגופטה דרך משפט ברייטשניידר ע"י כך שהנחנו שהמרובע המדובר הוא מרובע בר חסימה במעגל, או בשפה אחרת, מרובע ציקלי, נעשה את אותה "ההקרבה". ברגע שנעשה אותה, נוכל לפתוח צוהר חדש של משפטים מדהימים

      משפט תלמי (Ptolmey's Theorem):
      תלמי היה האסטרונום המפורסם ביותר בעת העתיקה, וחי במצרים. על אף היותו אסטרונום, הוא תרם את אחד מהמשפטים החשובים ביותר בגיאומטריה, הנלמד בכל העולם - לעיתים נדירות מורים בארץ בוחרים ללמד אותו, וחבל שכך - כיוון שהוא מהווה כלי חזק ועצמתי לכל אדם שמתעסק בגיאומטריה. על אף שהאשכול הנ"ל אינו ארוך מספיק בשביל למצות את הידע המלא על משפט תלמי, ולכן הדבר עוד תמוה שבכתבה הזאת עוד ארחיב על עוד משפטים הנובעים ממנו, אך אני מעדיף להסביר קצת פחות על משפט תלמי על מנת לחשוף את הקוראים (שמכירים את המשפט ושאינם מכירים אותו) למשפטים נוספים, ולהשאיר את מלאכת החקר להם
      היופי במשפט תלמי הוא העובדה שהוא ניתן להוכחה בצורה יחסית פשוטה - עם בניית עזר "ייחודית". בעלון על"ה של משרד החינוך, כינה אותה אחד המורים בתוך בניית עזר מדהימה, ותהה כיצד תלמי חשב עליה.
      תלמי.png
      נתון מרובע ABCD החסום במעגל. נסמן: \angle ADB=\beta, \angle BAC=\alpha. הזווית BAC ו-BDC הן היקפיות הנשענות על הקשת BC, ולכן הן שוות זו לזו, וכל אחת שווה לאלפא. בצורה דומה, ACB ו-ADB הן זוויות היקפיות שוות הנשענות על הקשת AB, ולכן הן שוות זו לזו, וכל אחת שווה לבטא.
      כאן, מגיע החידוש: תלמי בחר נקודה E על הקטע BD,כך שמתקיים \angle EAD=\alpha - ומכאן, המשיך וחקר מה קורה.
      המשולש ABE שנוצר והמשולש ABC דומים (לפי ז-ז), ומצלעות פרופרציוניות במשולשים דומים מקבלים:
      \frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}.
      נכפיל בהצלבה ונקבל (משוואה (1) )
      (1) \ BC \cdot AD=ED\cdot AC

      מאידך, הזווית AEB חיצונית למשולש ADE, ולכן שווה לסכום הזוויות שאינן צמודות לה, דהיינו \alpha+\beta. נשים לב ש\angle ADC=\alpha+\beta ולכן \angle ADC=\angle AEB.
      בנוסף, הזוויות ABD ו-ACD הן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת AD, ולכן שוות זו לזו (בשרטוט הן מסומנו כ-\gamma).
      משתי הסיבות הללו, המשולשים EBA ו-DCA דומים לפי ז-ז. שימוש בצלעות פרופרציוניות במשולשים דומים מניב:
      \frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}
      כפל בהצלבה מניב (משוואה (2) ):
      (2) \ AB\cdot CD=BE\cdot AC
      נחבר בין משוואות (1) ו-(2) ונקבל:
      BC\cdot AD+AB\cdot CD=ED\cdot AC+BE\cdot AC
      מוציאים גורם משותף AC, וניעזר בחיבור הקטעים ED+BE=BD. מכאן,
      BC\cdot AD+AB\cdot CD=AC(ED+BE) \\ BC\cdot AD+AB\cdot CD=AC\cdot BD
      וזהו משפט תלמי, דהיינו, בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלות הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים. כדאי לשים לב כיצד הנקודה E "נעלמה" בתוצאה הסופית

      ברוח הכתבה על השילוב בין גיאומטריה וטריגונומטריה אנו נזכור שכאשר אנו רואים תוצאה שנראית גיאומטרית למהדרין, אין זה אומר שלא נוכל להשתמש בטריגונומטריה, והפונקציות הטריגונומטריות "תעלמנה" כאילו לא היו מעולם
      ישנן שתי הוכחות טריגונומטריות מפורסמות - אחת המשתמשת במשפט הקוסינוסים ואחת המשתמשת במשפט הסינוסים. בהוכחה דרך משפט הקוסינוסים נוכל להתוודע לתוצאה נוספצ מעניינת הנובעת ממרובע ציקלי, ונגלה אותה במהלך ההוכחה
      ההוכחה מתבססת - איך לא - על העובדה שברובע ציקלי סכום הזוויות הנגדיות הוא 180 (אותה תכונה יחידה שלמדנו בתיכון על מרובע חסום במעגל).
      להלן השרטוט החדש
      תלמיטריגו.png
      בשרטוט סימנו \angle A=\alpha \ \ \angle B=\beta. מהתכונה על אודות מרובע חסום במעגל, מקבלים \angle D=180-\beta \ \ \angle C=180-\alpha. לשם הפישוט של התוצאות שאנו הולכים לקבל, נסמן: AB=a \ \ BC=b \ \  CD=c \ \ DA=d.
      נזכור את הזהות cos(180-\varphi)=-cos(\varphi), ונסתכל על המשולשים BAD ו-BCD בהתאמה ונשתמש בשניהם במשפט הקוסינוסים. נקבל:
      *BD^2=a^2+d^2-2adcos(\alpha) \\ **BD^2=b^2+c^2+2bccos(\alpha)
      נשווה בין זוג התוצאות ונקבל:
      a^2+d^2-2adcos(\alpha)=b^2+c^2+2bccos(\alpha) \\ a^2+d^2-b^2-c^2=2adcos(\alpha)+2bccos(\alpha) \\ (1) \ cos(\alpha)=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2ad+2bc}
      נזכור את התוצאה הזאת, ונסמנה ב-(1). כעת, נסתכל על המשולשים ABC ו-ADC ונפעל באותה שיטה בדיוק:
      *AC^2=a^2+b^2-2abcos(\beta) \\ **AC^2=c^2+d^2+2cdcos(\beta) \\ a^2+b^2-2abcos(\beta)=c^2+d^2+2cdcos(\beta) \\ a^2+b^2-c^2-d^2=2cdcos(\beta)+2abcos(\beta) \\ (2) \ cos(\beta)=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2cd+2ab}
      את שתי התוצאות נציב במשוואת ה(+) המתאימה (כלומר, במשוואות המסומנות בשתי כוכביות). נסמן את המשוואות החדשות שנוצרו ב(3) וב-(4).
      מכאן,
      (3) \ BD^2=b^2+c^2+2bc\cdot \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2ad+2bc}

      (4) \ AC^2=c^2+d^2+2cd\cdot \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2cd+2ab}
      נפשט את שתי המשוואות ונקבל:
      (3) \ BD^2=b^2+c^2+\frac{bc(a^2+d^2-b^2-c^2)}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=c^2+d^2+\frac{cd(a^2+b^2-c^2-d^2)}{cd+ab}
      מכנה משותף מניב:
      (3) \ BD^2=\frac{(b^2+c^2)(ad+bc)+bc(a^2+d^2-b^2-c^2)}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=\frac{(c^2+d^2)(cd+ab)+cd(a^2+b^2-c^2-d^2)}{cd+ab}
      נפתח בצורה הבאה:
      (3) \ BD^2=\frac{ad(b^2+c^2)+bc(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2-b^2-c^2)}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=\frac{ab(c^2+d^2)+cd(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2-c^2-d^2)}{cd+ab}
      גורם משותף מניב:
      (3) \ BD^2=\frac{ad(b^2+c^2)+bc[b^2+c^2+a^2+d^2-b^2-c^2]}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=\frac{ab(c^2+d^2)+cd[c^2+d^2+a^2+b^2-c^2-d^2]}{cd+ab}
      ומכאן,
      (3) \ BD^2=\frac{ad(b^2+c^2)+bc[a^2+d^2]}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=\frac{ab(c^2+d^2)+cd[a^2+b^2]}{cd+ab}
      על אף שקיבלנו תוצאה דיי נחמדה (שימו לב שהמכפלות במכנה הן כמות המכפלות במונה!), נפתח את הסוגריים, נקבל:
      (3) \ BD^2=\frac{ab^2d+adc^2+bca^2+bcd^2}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=\frac{abc^2+abd^2+cda^2+cdb^2}{cd+ab}
      נחבר בצורה הבאה:
      (3) \ BD^2=\frac{ab^2d+bcd^2+adc^2+bca^2}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=\frac{abc^2+cda^2+abd^2+cdb^2}{cd+ab}
      מוציאים גורמים משותפים ומקבלים:
      (3) \ BD^2=\frac{bd(ab+cd)+ac(dc+ab)}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=\frac{ac(bc+ad)+bd(ad+bc)}{cd+ab}
      והפלא ופלא, הגורמים שיקבלנו בסוגריים שווים זה לזה, ולכן ניתן להוציא אותם בסוגריים כגורמים משותפים. בסה"כ מקבלים:
      (3) \ BD^2=\frac{(bd+ac)(ab+cd)}{ad+bc}

      (4) \ AC^2=\frac{(ac+bd)(bc+ad)}{cd+ab}
      כלומר, הצלחנו להביע את אלכסוני המרובע באמצעות צלעות המרובע. קצת קשה לזכור את הנוסחאות הללו, אך אפשר לנסות.
      במכנה, מופיע סכום המכפלות של הצלעות החוסמות את האלכסון. במונה, סכום מכפלות הצלעות הנגדיות וסכום המכפלות החוסמות את האלכסון השני.
      לשתי הנוסחאות האחרונות מקובל לקרוא משפט מהאבירה, Mahavira's Theorem.

      נכפיל כעת בין האלכסונים:
      BD^2\cdot AC^2=\frac{(bd+ac)(ab+cd)}{ad+bc}\cdot \frac{(ac+bd)(bc+ad)}{cd+ab}
      נצמצם במידת האפשר ונקבל:
      BD^2\cdot AC^2=(bd+ac)^2
      ניעזר בכלל החזקות (ab)^m=a^m\cdot b^m נוציא שורש (כמובן שנתעלם מהתוצאה השלילית - למה?). מכאן:
      (BD\cdot AC)^2=(bd+ac)^2 \\ BD\cdot AC=bd+ac
      וזהו שוב משפט תלמי.

      ישנן עוד הוכחות יפות ורבות (וחלקן יופיעו כתרגילים בסוף הכתבה . הוכחה יפה נוספת הראו בארץ רחל מוגילבסקי ומשה סטופל במאמר הבא: כאן), אך כרגע, נתרכז בעוד משפטון קטנטן, הנקרא משפט תלמי השני.
      ישנן הוכחות רבות לו, אך נבחר בקצרה ביותר. נעזר במשפט מהאבירה, ונחלק בין התוצאות שקיבלנו. הפעם, נעזר בזהות (\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m} ונחסוך שלב נוסף. נקבל:
      (\frac{BD}{AC})^2=\frac{\frac{(bd+ac)(ab+cd)}{ad+bc}}{\frac{(ac+bd)(bc+ad)}{cd+ab}}
      ניעזר בכלל האלגברי \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc} (הוכיחו אותו!) ונקבל:
      (\frac{BD}{AC})^2=\frac{(bd+ac)(ab+cd)(cd+ab)}{(ac+bd)(bc+ad)(ad+bc)}
      נצמצם במידת האפשר ונקבל:
      (\frac{BD}{AC})^2=\frac{(ab+cd)^2}{(bc+ad)^2}
      שימוש בקשר החזקות שוב מניב:
      (\frac{BD}{AC})^2=(\frac{ab+cd}{bc+ad})^2
      מוציאים שורש (שוב, נוותר על השורש השלילי, למה?) ונקבל:
      \frac{BD}{AC}=\frac{ab+cd}{bc+ad}
      מה אומר המשפט? בכל מרובע ציקלי, היחס בין אלכסון אחד לאחר מתייחס זה לזה כיחס ההופכי לסכום המכפלות הכולאות את האלכסון.

      אי שוויונים, אחיי! אי שוויונים!
      כדאי שנשים לב שלעיתים לא רק חשוב להסתכל שוויונים, אלא גם על אי-שוויונים.- אי שוויונים מראים לנו תכונות חזקות יותר ואפשרויות רבות יותר.
      נסתכל כעת על מרובע כלשהו ABCD, מצורף שרטוט.
      תלמילאתלמי.png
      נבחר נקודה E, כך ש-\angle ACD=\angle BCE=\alpha \ \ \angle CDA=\angle EBC=\beta. מסיבה זאת, המשולשים CAD ו-CEB דומים לפי ז-ז.
      מצלעות פרופרציוניות, מקבלים \frac{BE}{AD}=\frac{BC}{CD} \\ (1) \ BE\cdot CD=AD\cdot BC.
      בנוסף, אם נשתמש שוב בצלעות פרופרציוניות נוכל לקבל \frac{CE}{AC}=\frac{BC}{CD}

      מצד שני, הזוויות ACE ו-ECA שוות זו לזו (מורכבות מזווית שגוודלה אלפא ומהזווית BCA). בצירוף של הפרופרציה השנייה נוכל להסיק שהמשולשים ACE ו-DCB דומים לפי ז-צ-ז (משפט דימיון ראשון, אסור לשכוח אותו!).
      מצלעות פרופרציוניות במשולשים דומים, נוכל לקבל \ \frac{AE}{BD}=\frac{AC}{DC} \\ (2) \ AE\cdot DC=AC\cdot BD.
      נסתכל כעת על משולש ABE ונעזר באי שוויון המשולש (סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית).
      מקבלים,
      AB+BE>AE
      נכפיל את שני הצדדים ב-DC>0 ונקבל:
      AB\cdot DC+BE\cdot DC>AE\cdot DC
      ואם נציב את משוואות (1) ו-(2) נקבל:
      AB\cdot DC+AD\cdot BC>AC\cdot BD
      לאי השוויון מולינו קוראים "אי שוויון תלמי", על אף שהוא מיוחס, איך לא, לאויילר, ולכן לעיתים נקרא "אי שוויון אויילר", וזהו אי שוויון שמתקיים בכל מרובע שאינו ציקלי. אם המרובע ציקלי, נוכל להוסיף סימן של אי שוויון ולקבל:
      AB\cdot DC+AD\cdot BC\geq AC\cdot BD
      אי שוויון נוסף תוכלו לראות בתרגילים בהמשך.

      ורגע אחרון לפני סיום - האם קיים משפט הפוך למשפט תלמי?

      משפט תלמי אומרשבכל מרובע ציקלי, סכום מכפלות הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים.
      במשפט הפוך, אנו הופכים בין הנתון לבין "החידוש" - כלומר התוצאה. אם נעשה זאת נקבל:
      אם סכום מכפלות הצלעות הנגדיות במרובע שווה למכפלת האלכסונים, אזי המרובע הוא מרובע ציקלי
      האם המשפט נכון? ננסה להוכיח זאת.
      נתון לנו מרובע ABCD שבו AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC, עלינו להוכיח שהוא מרובע ציקלי.
      דרך ראשונה להראות זאת היא באמצעות אי שוויון תלמי, הראו זאת! דרך שניה מצורפת בתרגילים.

      וכאן תם לו החלק הראשון בכתבה. הכתבה הבאה תתפרסם, ככה"נ, עוד שבועיים.
      משפטים שהוכחנו עד כה:
      א) משפט תלמי
      ב) משפט מהאבירה.
      ג) משפט תלמי השני.
      ד) אי שוויון תלמי.
      ה) המשפט ההפוך למשפט תלמי.
      לילה טוב ומבורך! תומר.

      תרגילים:
      א) הוכח את משפט תלמי באמצעות משפט הסינוסים. היעזר במידת הצורך בזוויות היקפיות, ובזהות sin(\varphi)=sin(180-\varphi).
      ב) הוכח את משפט תלמי באמצעות שטחים. רמז: בחר נקודה E על המעגל וחבר אותה עם קודקודי המעגל. כעת נבחר נקודה E שכזו כך שמרחקה מאחד הקודקודים הסמוכים אליה מקביל לאלכסון שאינו עובר דרכו. הוכח כעת שהנקודה E יצרה עם שלושה מהקודקודים טרפז, והסבר מדוע הטרפז הוא שווה שוקיים. היעזר במידת הצורך בזהות sin(\varphi)=sin(180-\varphi).
      ג) הוכח את משפט תלמי באמצעות מספרים מרוכבים (הוכחה שראיתי ממש לא מזמן בכמה אתרים ), ע"י כך שתפעל ע"פ השלבים הבאים:
      א. הוכח כי המרחק עבור שני מספרים מרוכבים במישור של גאוס, z_1 ו-z_2, מקיים d=|z_1-z_2|.
      ב. הוכח כי עבור ארבעה מספרים מרוכבים, מתקיים הקשר (A-B)(C-D)+(A-D)(B-C)=(A-C)(B-D).
      ג. הוכח כי עבור שני מספרים מרוכבים, מתקיים |z_1||z_2|=|z_1z_2|
      ד. הוכח את אי שוויון המשולש עבור מספרים מרוכבים, |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|. במידת הצורך היעזר בהוכחה של אי שוויון המשולש עבור מספרים טבעיים בEmathwiki: כאן.
      ה. הוכח כי בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלות הצלעות הנגדיות שווה לסכום מכפלת האלכסונים.

      ד) היעזר בכתבה https://www.emath.co.il/forums/%D7%9B...7%9D/71160.htm, והוכח בעזרתה את המשפט ההפוך למשפט תלמי באמצעות הוכחה בשלילה.
      ה) א. הוכח שטח מרובע שאלכסוניו הם k_1 ו-k_2 והזווית בינם היא \alpha, שטח המרובע ניתן ע"י הנוסחא
      S=\frac{k_1k_2sin(\alpha)}{2} (פתרון לשאלה תוכלו לראות בקובץ המשפטים שאינם להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה שנמצא
      ב-Emathwiki בקישור הזה.
      ב. הראו ששטח מרובע שאלכסוניו מאונכים ניתן ע"י מחצית מכפלת האלכסונים.
      ג. היעזר במשפט ברהמגופטה ובמשפט תלמי על מנת להביע את סינוס הזווית הכלואה בין האלכסונים באמצעות ארבעת צלעות המשולש.

      ו) א. היעזר במשפט תלמי השני כדי להראות שאם במרובע ציקלי האלכסונים שווים זה לזה, אזי במרובע יש לפחות זוג אחד של צלעות נגדיות השוות זו
      לזו.
      ב. הוכח את אותה הטענה באמצעות משפט מהאבירה.

      ז) היעזר במשפט ברטשניידר כדי להוכיח שבכל מרובע מתקיים אי השוויון S\leq \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}.

      ח) ולסיום,נפתח צוהר לכתבה הבאה , הסבר מה קורה במקרה המיוחד שבו המרובע ABCD הוא מלבן, והסבר את התוצאה שקיבלת.
      כתבה זו במקור פורסמה באשכול : משפטים שלא נלמדים בתוכנית הלימודים - משפט תלמי ומרובע ציקלי (חלק I) started by Dmot הצג הודעה מקורית
    אודות Emath
    האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
    מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
    אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
    כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

    לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
    הצטרפו אלינו