מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: שורשים של פולינום מסדר n

  1. #1
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל שורשים של פולינום מסדר n

    שלום,
    אני מתקשה בלפתור שאלה מהש"ב:
    http://i.cubeupload.com/S6nLHx.png

    אם P(x) פולינום ממעלה n אשר יש לו שורשים ממשיים בלבד אזי גם לפולינומים :

    $$$ P'(x), P''(x), ........ ,P^{n-1}(x) $$$

    יש שורשים ממשיים בלבד.


    אין לי ממש כיוון.
    אני יכול להוכיח שיש לפחות פיתרון אחד ממשי(ניקח גבול באינסוף נקבל פלוס אינסוף וגבול במינוס אינסוף ונקבל מינוס אינסוף. לפי ערך הביניים קיימת לפחות נק' אחת כך שהיא 0).
    זה תחת החומר של משפט רול, לגראנג' ותכונת ערך הביניים.

    אשמח אם מישהו יוכל לכוון אותי.
    תודה.
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 16-05-2018 בשעה 09:26

  2. #2
    הסמל האישי שלYes משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מה שציינת נכון עבור פולינום ממעלה אי-זוגית. לא לכל פולינום יש שורש ממשי. במקרה הזה, נתון שיש ל-$$P$$ רק שורש ממשיים.

    רמז: משפט רול (והמשפט היסודי של של האלגברה).
    שאולי כבר ידעת את זה, אבל תחשוב איך אתה יכול ליישם אותו כאן. אני ממליץ להתחיל עם קצת ציורים, זה יתן קצת אינטואיציה.
    אהבתי שורשים של פולינום מסדר nam12348, orshaul אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שלום רב,

    תחילה נוכיח שאם P(x) פולינום ממעלה n עם שורשים ממשיים בלבד, אזי לפולינום P'(x)
    יש שורשים ממשיים בלבד

    הוכחה:

    אנחנו עוסקים כאן בפולינומים מעל שדה המשפרים הממשיים, כלומר מקדמי חזקות הפולינום הם מספרים ממשיים

    p(x)=(a1x+b1)^{j1}\cdot (a2x+b2)^{j2}\cdot ...(a_{k}x+b_{k})^{j_{k}}

    כאשר j1,j2,...j_{k} הם הריבויים של השורשים. (עבור פולינום שורש יכול לחזור על עצמו כמה פעמים)
    a1,b2,a2,b2,...a_{k},b_{k}\in \mathbb{R}
    (נתון כי שורשי הפולינום ממשיים)

    היות והפולינום ממעלה n מתקיים j1+j2+...+j_{k}=n

    אם כ"א מהריבויים שווה ל01 אז לפולינום יש n שורשים שונים
    מאלגברה ידוע שאם שורש בפולינום הוא בריבוי j אז בנגזרת שלו הוא בריבוי j-1. לא קשה להוכיח זאת

    לכן לנגזרת הפולינום הנתון השורשים הם מרבוי j1-1,j2-1,...,j_{k}-1


    אם שורש הופיע בפולינום פעם אחת אז בנגזרתו הוא לא יופיע כלל

    מספר השורשים השונים הוא לכל היותר n-1 ומתקיים j1-1+j2-1,...+j_{k}-1\leq n
    ויש לנו n-1-(j1-1+j2-1,...+j_{k}-1)=k-1 שורשים נוספים



    יש לפולינום אם כן k שורשים שונים x1,x2,...,x_{k} k\leq n


    מכאן יש לנו k-1 קטעים על הישר מהצורה [x_{l},x_{l+1}];l\leq k-1

    בכל אחד מהקצוות של קטע כזה הפונקציה - פולינום מתאפס(שורשים)
    הפולינום הינה פונקציה רציפה בקטע הסגור [x_{l},x_{l+1}]

    לפי משפט וירשטרס הפונקציה-פולינום מקבלת בקטע הזה את המינימום והמקסימום שלה(מספרים ממשיים). היות והקצוות הם שורשים
    אז המינימום/מקסימום שונה מ-0. לפי משפט פרמה היא מקבלת בו 0

    כלומר בכל קטע כזה פולינום הנגזרת מתאפסת בלפחות בנקודה אחת "ממשית" השייכת אליו.
    היא מתאפסת בבדיוק בנקודה אחת, אחרת מספר השורשים כולל הריבויים היה גדול מ-n-1
    מאותה סיבה הנגזרת אינה מתאפסת בנקודות נוספות מעבר לקטעים האלו

    מכאן שנגזרת יש לכל היותר n-1 שורשים שונים שהם כולם ממשיים

    כדי שזה יובן אולי טוב יותר, נניח שלפולינום יש n שורשים ממשיים שונים. מכאן שיש לנו n-1 קטעים סגורים שבקצוות שלהם
    הוא מתאפס. בפנים כל אחד מהקטעים הוא לא מתאפס, כי אז מספר השורשים היה עובר את n.לפי משפט פרמה בפנים כל
    קטע כזה הנגזרת מתאפסת בלפחות בנקודה אחת. יש לנו לפחות n-1 נקודות בהן הנגזרת מאפסת. היות והנגזרת היא
    פולינום ממעלה n-1 אז יש לנגזרת בדיוק n-1 שורשים ופרט לאלה אין יותר כי אז שוב מספר השורשים היה גדול מ-n-1.

    היות והשורשים של הפולינום הם כולם ממשיים, אזי השורשים של הנגזרת כולם ממשיים


    עכשיו להוכחת הטענה

    באינדוקציה על מעלת הפולינום
    עבור פולינום ממעלה שנייה עם מקדמים ממשיים שיש לו רק שורשים ממשיים - משוואה ריבועית יש שני שורשים ממשיים
    ייתכן שהם שווים P(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c a שונה מ-0

    הנגזרת P'(x)=2ax+b היא פולינום ממעלה 1 - משוואה ממעלה ראשונה יש לה רק שורש אחד ממשי -\frac{b}{2a}
    שהוא לא במקרה נקודת המינימום/המקסימום של הפרבולה

    נניח נכונות על פולינום מדרגה n ונוכיח עבור פולינום מדרגה n+1 שכל שורשיו ממשיים

    כלומר נניח שאם לפולינום ממעלה n יש רק שורשים ממשיים, אזי לפולינומים P'(x),P"(x),...,P^{(n-1)}(x)
    יש רק שורשים ממשיים
    ונוכיח שעבור פולינום ממעלה n+1 הפולינומים P'(x),P"(x),...,P^{(n-1)}(x),P^{(n)}(x) עם שורשים ממשיים בלבד

    לפי מה שהוכחנו בהתחלה לפולינום P'(x) ממעלה n יש n שורשים ממשיים. לפי הנחת האינדוקציה
    גם הפולינומים P'(x),P"(x),...,P^{(n-1)}(x) עם שורשים ממשיים בלבד

    לכן הפולינומים P'(x),P"(x),...,P^{(n-1)}(x),P^{(n)}(x) עם שורשים ממשיים בלבד

    בברכה
    עמוס
    אהבתי orshaul אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 12

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במעמדו או במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו