הוכחת תרגיל תוך שימוש בגיאומטריה

[am12348]

שלום רב,

רצ״ב תרגיל הוכחה. הוכחתי את הנדרש תוך שימוש
בטריגונומטריה

למישהו יש רעיון איך מוכיחים זאת תוך שימוש בגיאומטריה?

נתון ABC משולש שו״ש AB=AC
BD הוא תיכון היוצא מ-B ל-AC
AD=CD

נתון CBD=30

צ״ל המשולש ABC הוא שווה צלעות

בברכה
עמוס

[-רון-]

אולי זו דרך אפשרית-

אפשר להוריד גובה מA לנקודה F המסמנת את אמצע BC.
אם מפגש התיכונים מסומן בO,
אזי BO כפול באורכו מFO, לפי משולש זהב.
כמו כן לפי מפגש התיכונים מקבלים AO כפול מFO.
לכן BAO שווה לABO.
כמו כן AF הוא חוצה זווית לכן ABO=BAO=CAF=beta.
ערך זווית C הוא beta+30.
סה"כ סך הזוויות במשולש 4beta+30+30=180
כלומר beta=30
ובמילים אחרות כל זוויות במשולש BAC היא 60.
לכן משולש ABC שווה צלעות.

[am12348]

תודה.
יפה מחשבה מחוץ לקופסה

אני פתרתי בדרך טריגונומטרית והגעתי
למסקנה לפי זהויות טריגונומטריות שזווית הבסיס
שווה 60 מעלות ואז מתקבל מה שצריך להוכיח.
בבעיות בגיאומטריה רצוי לנסות קודם שיטות גיאומטריות,

ממה שכתבת אולי אפשר אולי טיפה לקצר :
הגעת למסקנה שהמשולש AIB שווה שוקיים
לכן זוויות הבסיס ABO=BAO שוות
הזווית BOF=60 כמשלימה ל-90 מעלות של
זווית חדה FBO=30 במשולש ישר זווית BOF

הזווית BOF היא זווית חיצונית למשולש ABO
ובתור שכזאת היא שווה לסכום שתי הזוויות השוות
ABO ו-BAO שאינן צמודות לה. נקבל שכל אחת
מהן שווה ל-30 מעלות. בפרט נקבל ABO=30
ולכן
ABC=CBD+ABD=30+30=60
וההמשך ברור

בברכה
עמוס