מציג תוצאות 1 עד 2 מתוך 2

אשכול: דוגמא לחשוב גאומטרי של צלע שלישית במשולש ע"ס שתי צלעות וזווית ביניהן לזוויות מיוחדות

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל דוגמא לחשוב גאומטרי של צלע שלישית במשולש ע"ס שתי צלעות וזווית ביניהן לזוויות מיוחדות

    שם הספר במתמטיקה:
    -----
    תשובות סופיות : אין בידי תשובות סופיות

    שבוע טוב,


    כאשר נתון משולש עם שתי צלעות a,b וזווית ביניהן $$ \gamma $$ ורוצים למצוא את הצלע השלישית משתמשים בד"כ במשפט הקוסינוסים


    $$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\gamma $$$


    במקרה והזווית גאמא היא "מיוחדת" לדוגמא: $$ 30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ } $$


    אפשר להשתמש גם בשיקולים גאומטריים כדי למצוא את הצלע השלישית. לפעמים החישוב יכול להיות ארוך ומורכב יותר יחסית לשימוש בטריגונומטריה


    במקרה של זווית בת 90 מעלות זה יחסית פשוט - שימוש במשפט פיתגורס


    אדגים כאן חישוב צלע שלישית תוך שימוש בגאומטריה כאשר הזווית הנה 60 מעלות עבור יתר הזוויות השיטה דומה, רק שבמקרה הזה החישוב
    באמצעות גאומטריה פשוט יחסית


    $$$ BC=a,AC=b, AB=c, ACB=60^\circ $$$


    צריך לחשב את הצלע AB=c כפונקציה של הצלעות AC,BC והזווית והזווית ACB ששווה ל-60 מעלות


    נחשב תחילה תוך שימוש בטריגונומטריה:
    $$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos60^{\circ }=a^2+b^2-2ab\cdot 0.5=a^2+b^2-ab \rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2-ab} $$$


    ננסה להגיע לאותה תוצאה תוך שימוש בגאומטריה:




    נוריד גובה AH מהקדקוד A לכוון BC. יתכנו שני מקרים:
    הגובה פוגש את BC בנקודה H בין B לבין C - הזווית ABC חדה


    הגובה פוגש את BC בנקודה H בהמשך BC - הזווית ABC כהה




    מקרה ראשון: יש לנו משולש ישר זווית $$$ \Delta ACH $$$
    $$$ ACH=60^\circ ,CAH=30^\circ ,AHC=90^\circ $$$

    1.PNG


    מכאן לפי משפט על משולש ישר זווית שזוויותיו הן 30,60,90 מעלות


    $$$ CH=\frac{AC}{2}=\frac{b}{2}\rightarrow AH^2=AC^2-CH^2=b^2-(\frac{b}{2})^2=\frac{3b^2}{4} $$$


    מכאן


    $$$ BH=BC-CH=a-\frac{b}{2} $$$


    יש לנו עכשיו משולש ישר זווית $$ \Delta ABH $$ שצלעותיו הן כדלקמן:


    $$$ BH=a-\frac{b}{2},AH=\frac{b\cdot \sqrt{3}}{2},AHB=90^\circ $$$


    עכשיו זה יחסית קל ניתן לחשב את הצלע AB באמצעות משפט פיתגורס:


    $$$ AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}= $$$
    $$$ \frac{3\cdot b^2}{4}+(a-\frac{b}{2})^2=\frac{3\cdot b^2}{4}+a^2-2\cdot a\cdot \frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}=\frac{3\cdot b^2}{4}+\frac{b^2}{4}+a^2-ab=b^2+a^2-ab=a^2+b^2-ab $$$




    ומכאן $$ AB=\sqrt{a^2+b^2-ab} $$


    אם במשולש $$ \Delta ABH $$ הנקודה Hמחוץ ל-BC

    2.PNG

    המשולש $$$ \Delta ACH $$$ הוא ישר זווית עם זוויות 30,60,90 מעלות. נקבל:


    $$$ CH=\frac{AC}{2}=\frac{b}{2} $$$




    $$$ AH=\frac{b\sqrt{3}}{2},BH=CH-BC=\frac{b}{2}-a $$$


    $$$ BH=CH-BC=\frac{b}{2}-a \rightarrow AB^2=(\frac{b}{2}-a)^2+\frac{3b^2}{4} $$$
    הפיתוח של הביטוי יוצא כמו במקרה הקודם.


    בשני המקרים נקבל את אותה התוצאה כמו בחישוב עם שימוש בטריגונומטריה


    בברכה,
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 15-04-2018 בשעה 01:06
    אהבתי אריאל, Chompalamantza אהב \ אהבו את התגובה
     

  2. #2
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נראה מעולה עמוס, גם סידרתי לך את ההודעה, במקום שימשו ב tex אנחנו משתמשים היום בדולרים

    https://www.emath.co.il/forums/%D7%94%D7%9B%D7%A8%D7%96%D7%95%D7%AA/87834.htm

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 7

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במעמדו או במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו