מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: אינדוקציה מתמטית

  1. #1
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל אינדוקציה מתמטית

    שם הספר במתמטיקה:
    אלגברה - 4/5 יחידות
    מספר עמוד : 358
    מספר תרגיל : 20
    קישור אל השאלה: http://i.cubeupload.com/nULFW2.jpg
    תשובות סופיות : אין בידי תשובות סופיות

    שלום נתקלתי בתרגיל קשה מאוד באינדוקציה
    עם איבר משתנה אשמח אם מישו יוכל לתת לי הסבר
    תודה.

  2. אהבתי מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
  3. #2
    הסמל האישי שלYes משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל

    בסיס: עבור $$n=1$$ מתקבל פסוק אמת.
    צעד: נניח נכונות עבור $$n$$ ונראה על $$n+1$$. נעבוד עם אגף שמאל ונשתמש בהנחת האינדוקציה:
    $$$1 \cdot (n+1) + 2n + 3 (n-1) + ...+ n \cdot 2 + (n+1) \cdot 1 =\\= 1 \cdot n + 1 +2(n - 1) + 2 + 3(n-2)+3+...+ n \cdot 1 + n + (n+1)\cdot 1=\\= 1 \cdot n + 2(n-1)+3(n-2) + ... + n \cdot 1 + (1+2+3+...+n + (n+1)) =\\= \frac{n}{6}(n+1)(n+2)+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=(n+1)(n +2)(\frac{n}{6}+\frac{1}{2})=\frac{n+1}{6}(n+2)(n+ 3)$$$
    וזה מוכיח את הטענה. באמצע השתמשתי בהנחת האינדוקציה ובסכום של סדרה חשבונית.

    אם משהו לא ברור, אתה מוזמן לשאול.

  4. #3
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תודה רבה על העזרה
    בחיים לא הייתי חושב על הדרך הזאת חח
    נערך לאחרונה על ידי izhak200, 14-02-2018 בשעה 01:44

  5. #4
    הסמל האישי שלChompalamantza משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    $$\require{cancel}$$
    דרך נוספת, ללא אינדוקציה:
    נרשום את הסכום באופן הבא: $$$1\cdot \left (n-\left ( 1-1 \right ) \right )+2\cdot (n-\left (2-1 \right ))+3\cdot (n-\left (3-1 \right ))+...+n\cdot \left ( n-\left ( n-1 \right ) \right )$$$ נפתח סוגריים ונשים לב שניתן להפריד לשלושה סכומים באופן הבא: $$$n(1+2+3+...+n)-\left ( 1^2+2^2+3^2+...+n^2 \right )+1+2+3+...+n$$$ הסכומים שמשמאל ומימין קלים לחישוב, נחשב את הסכום האמצעי. לשם כך נביט בביטוי הבא: $$$\left ( \left ( 1^3 \right )-\left ( 0^3 \right ) \right )+\left ( \left ( 2^3 \right )-\left ( 1^3 \right ) \right )+\left ( \left ( 3^3 \right )-\left ( 2^3 \right ) \right )+...+\left ( \left ( n^3 \right )-\left ( (n-1)^3 \right ) \right )$$$ מצד אחד הרבה איברים מצטמצמים ונשארים בסוף עם: $$$\left ( \cancel{\left ( 1^3 \right )}-\left ( 0^3 \right ) \right )+\left ( \cancel{\left ( 2^3 \right )}-\cancel{\left ( 1^3 \right )} \right )+\left ( \cancel{\left ( 3^3 \right )}-\cancel{\left ( 2^3 \right )} \right )+...+\left ( \left ( n^3 \right )-\cancel{\left ( (n-1)^3 \right )} \right )=n^3$$$ מצד שני, גם סכום זה ניתן להפריד לשלושה סכומים, נסתכל למשל על האיבר האחרון ונראה למה הוא שווה: $$$n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1$$$ ולכן כל זוג כזה של מספרים נוכל לפרק באופן זה ולקבל לבסוף שלושה סכומים: $$$\left ( \left ( 1^3 \right )-\left ( 0^3 \right ) \right )+\left ( \left ( 2^3 \right )-\left ( 1^3 \right ) \right )+\left ( \left ( 3^3 \right )-\left ( 2^3 \right ) \right )+...+\left ( \left ( n^3 \right )-\left ( (n-1)^3 \right ) \right )=$$$ $$$=3\cdot \left ( 1^2+2^2+3^2+...+n^2 \right )-3 \cdot (1+2+3+...+n)+\underbrace{1+1+1+...+1}_{n \; times}=$$$
    $$$=3\cdot \left ( 1^2+2^2+3^2+...+n^2 \right )-3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}+n$$$ וכאמור זה שווה ל - $$n^3$$ ולבסוף נבודד את סכום הרבועים שלנו ונקבל: $$$1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{n^3}{3}+\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n}{3}$$$ עכשיו נציב את שקיבלנו בסכום המקורי: $$$1\cdot \left (n-\left ( 1-1 \right ) \right )+2\cdot (n-\left (2-1 \right ))+3\cdot (n-\left (3-1 \right ))+...+n\cdot \left ( n-\left ( n-1 \right ) \right )=$$$ $$$=n(1+2+3+...+n)-\left ( 1^2+2^2+3^2+...+n^2 \right )+1+2+3+...+n=$$$ $$$=(n+1)\cdot \frac{n(n+1)}{2}-\frac{n^3}{3}-\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n}{3}$$$ ניתן כמובן לסדר, להוציא גורמים משותפים ולקבל: $$$\frac{n}{6} (n+1)(n+2)$$$ כנדרש.
    "כל מי שאינו מסוגל להתמודד עם מתמטיקה אינו אנושי במלוא מובן המילה.
    במקרה הטוב הוא תת-אנוש נסבל שלמד לנעול נעליים, להתרחץ ולא לעשות את צרכיו על הרצפה בבית."
    רוברט א' היינליין.

    הלינקייה שלי - Chompalamantza ממתמטיקה ועד לפילוסופיה (או להפך)


מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 7

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במעמדו או במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו