מציג תוצאות 1 עד 5 מתוך 5

אשכול: משהו מאתגר מאולימפיאדה מתמטית

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל משהו מאתגר מאולימפיאדה מתמטית

    שבוע טוב,

    רצ"ב שאלה מאתגרת שהופיעה באחת האולימפיאדות:

    נתון:

    $ax+by=5$
    $a x^2 + b y^2=10$
    $a x^3 + b y^3=50$
    $a x^4 + b y^4=130$

    צריך לחשב את ערך הביטוי:
    $13(x+y-xy)-120(a+b)=?$



    אשמח לקרוא הצעות לפתרון

    עמוס

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נסמן $c_1=5,c_2=10,c_3=50,c_4=130$ ונסמן גם $c_0=a+b$
    ע"י הכפלת 3 המשוואות הראשונות ב $x+y$ ושימוש בכולן, מקבלים 3 משוואות בצורה:
    $
    (x+y)c_n=c_{n+1}+xyc_{n-1}
    $
    עבור $n=1,2,3$
    נסמן $u=x+y$, $v=xy$, אזי 2 המשוואות עבור $n=2,3$ הן (לאחר צמצום):
    $
    2u=10+v,5u=13+v
    $
    שפתרונן $u=1,v=-8$
    ומהמשוואה עבור $n=1$:
    $
    5u=10+vc_0
    $
    אנחנו מקבלים :
    $
    c_0=5/8
    $
    מכאן שערך הביטוי המבוקש הוא:
    $
    13(u-v)-120c_0=42
    $
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 20-01-2020 בשעה 15:26
    אהבתי משהו מאתגר מאולימפיאדה מתמטיתam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל הצעה נוספת לפתרון

    יפה מאד!

    להלן הצעה לפתרון שלי. הוא מעט שונה, אבל הוא מגיע לאותה תוצאה: 42

    אנו נחשב בסעיפים את ערכם של הביטויים הבאים:
    $x+y,xy,a+b$



    1. נכפיל את המשוואה השנייה ב-x+y



    $(ax^2+by^2)(x+y)=10(x+y)$
    $\downarrow$
    $ax^3+ax^2y+bxy^2+by^3=10(x+y)$
    $\downarrow$
    $ax^3+by^3+xy(ax+by)=10(x+y)$
    לפי הנתון
    $ax^3+by^3=50, ax+by=5$
    $\downarrow$
    $50+5xy=10(x+y)$


    2. נכפיל את המשוואה השלישית ב-x+y
    $(ax^3+by^3)(x+y)=50(x+y)$


    $\downarrow$
    $ax^4+ax^3y+bxy^3+by^4=50(x+y)$


    $\downarrow$
    $ax^4+by^4+ax^3y+bxy^3=50(x+y)$


    $\downarrow$


    $ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=50(x+y)$
    לפי הנתון
    $ax^4+by^4=130,ax^2+by^2=10$


    $\downarrow$


    $130+10xy=50(x+y)$


    3. מכל האמור לעיל יש לנו עכשיו שתי משוואות, שבאמצעותן נחשב את המה שאנו צריכים::

    $50+5xy=10(x+y)$
    $130+10xy=50(x+y)$


    נמצא את ערכו של x+y

    נחסיר מהמשוואה השנייה את פעמיים המשוואה הראשונה כדי לבטל את האיבר xy
    $130+10xy-2(50+5xy)=50(x+y)-2 \cdot 10(x+y)$


    $\downarrow$


    $130+10xy-100 -10xy=50x+50y-20x-20y$


    $\downarrow$


    $30=30x+30y=30(x+y)$


    4. נחלק את שני האגפים ב-30 נקבל:
    $x+y=1$

    5. נרצה לדעת את ערכו xy.

    נציב במשוואה הראשונה
    $50+5xy=10(x+y)$
    את ערכו של x+y שחישבנו בסעיף הקודם-ערכו 1, נקבל:
    $50=5xy=10(x+y) \to 50+5xy=10 \cdot 1=10 \to 5xy=10-50=-40 \to xy=-8$



    6. ננסה למצוא את ערך הביטוי: a+b. נכפיל את המשוואה הראשונה ax+by ב-x+y
    $(ax+by)(x+y)=5(x+y)$

    $\downarrow$

    $ax^2+axy+bxy+by^2=5(x+y)=5 \cdot 1=5$

    $\downarrow$

    $ax^2+by^2+axy+bxy=5$

    $\downarrow$

    $ax^2+by^2+xy(a+b)=5$
    נתון כי
    $ax^2+by^2=10$

    $\downarrow$

    $10+xy(a+b)=5$
    אבל מצאנו בסעיף 5 כי ערך הביטוי xy הוא 8-, לכן
    $10+(-8)(a+b)=5\to(-8)(a+b)=5-10=-5 \to a+b=\frac{5}{8}$


    7. נציב בערך הביטוי, אותו אנו צריכים לחשב, את הערכים שחישבנו בסעיפים הקודמים:

    $13(x+y-xy)-120(a+b)$

    $x+y=1, xy=-8, a+b=\frac{5}{8}$


    $\downarrow$
    ונקבל את המבוקש

    $13(1-(-8))-120\cdot \frac{5}{8} = 13\cdot 9-75 =117-75=42$
    בברכה,
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 22-01-2020 בשעה 09:23
    אהבתי avi500 אהב \ אהבו את התגובה
     

  4. #4
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי avi500 צפה בהודעה
    נסמן $c_1=5,c_2=10,c_3=50,c_4=130$ ונסמן גם $c_0=a+b$
    ע"י הכפלת 3 המשוואות הראשונות ב $x+y$ ושימוש בכולן, מקבלים 3 משוואות בצורה:
    $
    (x+y)c_n=c_{n+1}+xyc_{n-1}
    $
    עבור $n=1,2,3$
    נסמן $u=x+y$, $v=xy$, אזי 2 המשוואות עבור $n=2,3$ הן (לאחר צמצום):
    $
    2u=10+v,5u=13+v
    $
    שפתרונן $u=1,v=-8$
    ומהמשוואה עבור $n=1$:
    $
    5u=10+vc_0
    $
    אנחנו מקבלים :
    $
    c_0=5/8
    $
    מכאן שערך הביטוי המבוקש הוא:
    $
    13(u-v)-120c_0=42
    $
    אבי אשמח אם תוכל לפרט על מה שעשית (זה לא קריא). מה הקשר בין $c_n$ למשוואה ה-$i$-ית?

  5. #5
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    המשוואות הן
    $
    ax+by=5\\
    ax^2+by^2=10\\
    ax^3+by^3=50\\
    ax^4+ay^4-130
    $
    נסמן את האיבר בצד ימין ב- $c_n$ כאשר $n$ הוא האינדקס לפי סדר המשוואות המופיע כאן:
    $
    ax+by=c_1\\
    ax^2+by^2=c_2\\
    ax^3+by^3=c_3\\
    ax^4+ay^4-c_4
    $
    נכפיל לדוגמה את המשוואה הראשונה ב (x+y):
    $
    c_1(x+y)=(ax +by )(x+y)=ax^2+by^2+xy(a +b )=c_2+xyc_0
    $
    כאשר השתמשנו בהגדרות של ה- $c_n$ ובמשוואה השנייה בסדר, וכן הגדרנו $a+b=c_0$

    כאשר מפעילים שיטה דומה גם על המשוואה השנייה והשלישית (ובאחרונה משתמשים ברביעית) , מקבלים את 3 המשוואות שציינתי בפוסט הראשון:
    $(x+y)c_n=c_{n+1}+xyc_{n-1}
    $
    עבור $n=1,2,3$
    ההמשך כפי שכתבתי למעלה.
    צורה זו ממחישה שניתן גם לפתור עבור מערכת דומה גם מסדר גבוה יותר.
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 9

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו