מערכת משוואות לינאריות

[Galver]

היי, שתי שאלות
מצא פולינום P)x) (מעלה שלוש לכל היותר )

p(2)=10
p(-1(=10

ב.
נתון AX=B מערכת לא הומוגנית ידוע כי (-3,-8,-12), (3,12,-1) פתרונות המשוואה ,מצא פתרון נוסף .

[אריאל]

שאלה ראשונה

מגדירים $ P(x) =a+bx+cx^2+dx^3 $

נקבל את המשוואות :

$$ I. \ a+2b+4c+8d=10 \\ II. \ a-b+c-d=10 $$

בעיקרון ניתן לעבור כעת למטריצה, אך מכיוון שיש רק 2 משוואות, אני פשוט אחסר בין המשוואות ואקבל :

$$ 3b+3c+9d=0 \\ b=-c-3d $$

נחזיר את זה למשוואה השנייה :

$$ a+c+3d+c-d=10 \\ a=10-2c-2d $$

ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה : $ (10-2c-2d, -c-3d,c,d) $

יש 4 משתנים ו 2 משוואות ולכן 2 משתנים חופשיים, נבחר $ c=d=0 $ נקבל : $ (10,0,0,0) $

ולכן : $ P(x)=10 $ אפשר גם לבחור c=1 , d=0 ולקבל פולינום אחר מתאים.

[אריאל]

שאלה שניה,

יש 2 פתרונות $ v_1, v_2 $ המקיימים את המערכת :

$$

Av_1= b \\

Av_2=b

$$

נחבר את המשוואות :

$$
A(v_1+v_2)=2b\\

A \frac{v1+v2}{2} = b
$$

כלומר $ \frac{v1+v2}{2}$ הוא פתרון

[Galver]

שאלה ראשונה

מגדירים $ P(x) =a+bx+cx^2+dx^3 $

נקבל את המשוואות :

$$ I. \ a+2b+4c+8d=10 \\ II. \ a-b+c-d=10 $$

בעיקרון ניתן לעבור כעת למטריצה, אך מכיוון שיש רק 2 משוואות, אני פשוט אחסר בין המשוואות ואקבל :

$$ 3b+3c+9d=0 \\ b=-c-3d $$

נחזיר את זה למשוואה השנייה :

$$ a+c+3d+c-d=10 \\ a=10-2c-2d $$

ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה : $ (10-2c-2d, -c-3d,c,d) $

יש 4 משתנים ו 2 משוואות ולכן 2 משתנים חופשיים, נבחר $ c=d=0 $ נקבל : $ (10,0,0,0) $

ולכן : $ P(x)=10 $ אפשר גם לבחור c=1 , d=0 ולקבל פולינום אחר מתאים.

תודה רבה . התשובה לשאלה השניייה היא (0,10,11/2(
הבנתי את זה נכון ?

[אריאל]

להלן :

$$ \frac{ v_1 +v_2}{2} = \frac{ (-3,-8,-12) + (3,12,-1)}{2} = \frac{(0,4,-13)}{2}=(0,2,-6.5)$$