מטריצות

[Galver]

היי חברה ,שאלה קטנה
נתונה לי מטריצה משולשת עליונה A
האם Aֶ^2 משולשית עליונה ?
האם Pׂ(x( פולינום כלשהו שמקיים את זה שהיא תהיה משולשת עליונה p(A)

[Yes]

כן, מטריצה משולשית עליונה כפול משולשית עליונה היא תמיד משולשית עליונה. אפשר להוכיח את זה על פי ההגדרה של כפל מטריצות.
מזה גם נובע שאם $A$ משולשית עליונה, אז לכל פולינום $P$ מתקיים ש-$P(A)$ משולשית עליונה, כי הקבוצה של משולשיות עליונות גם סגורה לחיבור וכפל בסקלר.

[Galver]

כן, מטריצה משולשית עליונה כפול משולשית עליונה היא תמיד משולשית עליונה. אפשר להוכיח את זה על פי ההגדרה של כפל מטריצות.
מזה גם נובע שאם $A$ משולשית עליונה, אז לכל פולינום $P$ מתקיים ש-$P(A)$ משולשית עליונה, כי הקבוצה של משולשיות עליונות גם סגורה לחיבור וכפל בסקלר.

היי ,תודה רבה .
תועל להסביר לי טיפה יותר לעמוק את הקטע עם הפולינום ? פשוט לא ככ הבנתי .

[am12348]

שלום רב,

פולינום של מטריצות נראה כמו פולינום רגיל, כך שבמקום x תציב מטריצה
$p(A)=a_n \cdot A^n + a_{n-1} \cdot A^{n-1}+...+a_3 \cdot A^3 + a_2 \cdot A^2 + a_1 \cdot A +a_0 \cdot I_k$

כאשר
$a_0,a_1,a_2,a_3,..., a_{n-1},a_n$

הם סקלרים מעל שדה כלשהוא

ו-Ik היא מטריצת היחידה עם אותו הסדר של A


כאשר ההעלאה בחזקה של מטריצות ומכפלת התוצאה בסקלר נעשה לפי חוק כפל המטריצות ומכפלה בסקלר שאתה מכיר

כמו שהוסבר בתגובה הקודמת מכפלת שתי מטריצות משולשות עליונות(תחתונות) נותן מטריצה משולשת עליונה - סגירות תחת פעולת הכפל, בפרט העלאת מטריצה משולשת עליונה(תחתונה) בריבוע . מכאן אפשר להוכיח באינדוקציה שהעלאת מטריצה משולשת בחזקה כלשהיא נותן מטריצה משולשת עליונה(תחתונה).

מכפלת מטריצה משולשת עליונה(תחתונה) בסקלר נותנת מטריצה משולשת עליונה (תחתונה) - כמו שכתוב בתגובה הקודמת סגירות תחת כפל בסקלר

סכום שתי מטריצות משולשות עליונות(תחתונות) נותן מטריצה משולשת עליונה(תחתונה) - כמו שכתוב בתגובה הקודמת סגירות תחת פעולת חיבור

מכאן אפשר להוכיח באינדוקציה שסכום מספר כלשהוא של מטריצות משולשות עליונות(תחתונות) נותן מטריצה משולשת עליונה(תחתונה).

מטריצת היחידה היא מקרה פרטי של מטריצה משולשת עליונה וגם תחתונה

מה יש בפולינום המטריצות?

סכום של חזקות המטריצות מוכפלות בסקלרים.

כל חזקה של מטריצה היא משולשת עליונה(תחתונה) ולכן החזקה המוכפלת בסקלר היא גם מטריצה משולשת עליונה (תחתונה)

כנ"ל לגבי
$a_0 \cdot I_k$


שהיא מטריצה משולשת עליונה וגם תחתונה

מכאן שכל אחד מאברי הפולינום הוא מטריצה משולשת עליונה(תחתונה)

בפולינום מחברים n+1 מטריצות משולשות עליונות(תחתונות) ולכן מטריצת הסכום היא משולשת עליונה(תחתונה)

אם משהו אינו עדיין לא ברור או יש לך הערות תוכל להעלות לאשכול

בברכה,
עמוס