מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: משוואת אתגר לפתרון מעל השלמים

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל משוואת אתגר לפתרון מעל השלמים

    שלום לכולם,

    רצ"ב משוואה לפתרון מעל השלמים. אין להשתמש במחשב או במחשבון


    $615+x^2=2^y$

    אשמח לשמוע הצעות. פתרון אעלה מאוחר יותר

    עמוס

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    1. כיוון ש $x^2$ והחזקות של 2 חיוביים ניתן לנסות את החזקות של 2 החל מ- y=9$ $ כך שהחזקה פחות 615 תיתן לנו ריבוע של מספר שלם (לא חכם אבל מגיעים די מהר לתוצאה)
    2. מבחינים ש $x$ חייב להיות אי זוגי (כי אגף ימין זוגי). ו- 615 מתפרק לגורמים כ $3\cdot5\cdot41$. נניח לרגע שהחזקה היא זוגית (זה יעבוד רק במקרה הזה) ונסמן $z=2^{y/2}$ ($z$ הוא שלם)
    אזי $615=z^2-x^2=(z-x)(z+x)$ ואנחנו צריכים לפתור את צמד המשוואות
    $
    z-x=n
    $
    $
    z+x=m
    $
    עבור כל הצירופים $(m,n)$ כך ש $m\cdot n=615$. לאור הפירוק לגורמים, הצמדים האפשריים הם $ (41,15), (205,3) , (123,5)$. כמובן ש $n$ צריך להיות הקטן מבין השניים. מסתבר שהפתרון הוא $(123,5)$ ומכאן $y=12 , x=\pm 59$
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 10-12-2019 בשעה 11:57
    אהבתי משוואת אתגר לפתרון מעל השלמיםam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שבוע טוב,

    יישר כוח לאבי על התשובה

    הסבר מדוע y - החזקה של 2 חייבת להיות זוגית

    אפשר לראות בחזקה של 2 כמפתח לפתרון המשוואה

    היות ו-x בריבוע גדול/שווה ל-0 חייב להתקיים
    $2^y \geq 15$
    היות ו-2 בחזקת 9 נותן 512 אז y חייב להיות גדול מ-9

    אם
    $615+x^2=2^y$
    לשני הצדדים צריכה להיות ספרה ימנית זהה

    $ x: 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$
    $x^2: 0 , 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1$
    $615+x^2 : 5, 6, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 6$


    עבור
    $y=1,2,3,4,5,6,7,8,....$

    ל-2 בחזקת y יש ספרות ימניות החוזרות מחזורית

    $2,4,8,6$

    אנו צריכים אם כן לבדוק מתי הספרה הימנית של
    $615+x^2$
    יכולה להיות שווה לאחד הערכים 2,4,8,6





    התוצאה של 2 בחזקת מספר טבעי הגדול ב-9 צריכה להיות כזאת שאם נחסיר ממנה 615 נקבל ריבוע שלם. חזקה שספרתה הימנית 2 או 8 מינוס 615 נותנת מספר שספרתו הימנית 7 או 3 שהוא אינו יכול להיות ריבוע שלם

    לעומת זאת חזקה שספרתה הימנית 4 או 6 שנחסיר ממנה 615 נותנת מספר שספרתו הימנית 1 או 9 ולכן הוא יכול להיות ריבוע שלם.

    מתי הספרה הימנית של חזקה עם ספרה ימנית 4 או 6? כאשר y זוגי.

    ההמשך כמו שאבי כתב

    גם בשיטת הפתרון הראשונה,שמגיעים די מהר לתשובה, אנו דוגמים מספרים זוגיים להעלאת 2 בחזקתם

    בברכה,
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 14-12-2019 בשעה 22:05
    אהבתי avi500 אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 8

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו