אלגברה לינארית. העתקות לינאריות. T^2=0. גרעין ותמונה.

[דיאנה א]

שלום האם מישהו יכול לסייע בשאלה הבאה:⅕
20210209_110932.jpg

[אריאל]

א. לכל $ Tv $ השייך לתמונה של T מתקיים : $ T(Tv) = T^2v=0 $ ולכן $ Tv $ בהכרח שייך גם לגרעין של T ומכאן שהתמונה מוכלת בגרעין.

ב. מסעיף א׳ הרי ש : $ dim(ImT) \leq dim (kerT) $ אבל גם ידוע כי :

$$
dim(ImT)+dim(kerT) = dimV \\

dim(ImT)+dim(kerT) \leq dim(kerT)+dim(kerT) \to 2dim (kerT) \geq dimV \to dim(kerT) \geq \frac{dimV}{2}
$$