מציג תוצאות 1 עד 10 מתוך 10

אשכול: [סיכום] כפל מטריצות

  1. #1
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל [מדריך] כפל מטריצות

    התחלתי ללמוד קצת כפל מטריצות, כי אני צריך ללמוד אלגברה לינארית לתוכנית שאני כותב.
    בכל אופן, קראתי באינטרנט מדריכים על אלגברה לינארית, ולא הבנתי כלום על כפל מטריצות. גם לא מצאתי סיכומים טובים.
    החלטתי להוריד את הספר Linear Algebra for dummies (מצחיק שלכל הנושאים הקיימים בעולם יש for dummies), ששם יש הסבר מפורט מאוד על כפל מטריצות.
    אתרגם את ההסבר ואביא דוגמאות משלי.

    המדריך:

    ידע בסיסי נדרש: מטריצה [איך מייצגים מטריצה].

    כפל מטריצות כולל בתוכו שני שלבים - כפל וחיבור. יש לכפול, לחבר ואז לסכום את התוצאות בהתאם ולהכניסו במטריצה החדשה (שהיא בעצם המטריצה שנקבל מכפל המטריצות).
    ניתן לעשות כפל בין מטריצות רק בתנאים ספציפיים. אי אפשר סתם לכפול את המטריצות איך ומתי שרוצים.
    לעיתים קרובות, אפילו לא ניתן לכפול מטריצה במטריצה!

    קביעת המטריצות והסדר:
    כדי לכפול מטריצה במטריצה, מספר העמודות של המטריצה הראשונה חייב להיות שווה למספר השורות שבמטריצה השנייה.
    כלומר, כדי לכפול מטריצה בגודל mXn במטריצה בגודל pXq, יש לדרוש ש- n=p.
    יותר מזה, המטריצה החדשה שנקבל כתוצאה מכפל המטריצות תהיה בגודל mXq.

    לדוגמא, אם מטריצה A היא בגודל 3X4 ומטריצה B היא בגודל 4X7, אזי המכפלה A*B תהיה בגודל 3X7.
    מצד שני, לא ניתן לבצע את המכפלה B*A, בגלל שלמטריצה B יש 7 עמודות בעוד שלמטריצה A יש 3 שורות.

    כפל בין שתי מטריצות:
    התהליך שבו נשתמש בכפל מטריצות יהיה לסכום מכפלות.
    כל איבר במטריצה החדשה נוצר ע"י סכום כל המכפלות של האיברים בשורה במטריצה הראשונה בעמודה שבמטריצה השנייה.

    לדוגמא, נניח שנרצה למצוא את האיבר במקום 2X3 במטריצה החדשה. על מנת להשיג את האיבר, נצטרך להכפיל את כל האיברים בשורה השנייה במטריצה הראשונה בכל האיברים בעמודה השלישית במטריצה השנייה, ואז לסכום אותם.

    נסתכל על דוגמא אחת לפני שנציג את המקרה הכללי.
    נניח שיש לנו מטריצה K בגודל 2X3 ומטריצה L בגודל 3X4. נרצה למצוא את מטריצת הכפל של שתי המטריצות, K ו- L.
    K=\left[{2 \ -3 \ 0 \\ 1 \ 4 \ -4}\right]
    L=\left[{1 \ 2 \ 3 \ 4 \\ 5 \ 6 \ 7 \ 6 \\ 5 \ 4 \ 3 \ 2}\right]

    מספר העמודות במטריצה K הוא 3, בדיוק כמו מספר השורות במטריצה L, ולכן נוכל לבצע את הכפל.
    מטריצת הכפל תהיה בגודל 2X4, כך:
    K*L=\left[{a_{1,1} \ a_{1, 2} \ a_{1, 3} \ a_{1, 4} \\ a_{2, 1} \  a_{2, 2} \ a_{2, 3} \ a_{2, 4}}\right]=A

    עכשיו, כדי למצוא איבר במטריצה A, פשוט מכפילים את האיברים בשורות במטריצה K באיברים בעמודות במטריצה L, וסוכמים את המכפלות.

    a_{1,1} מתקבל על ידי הכפלת האיברים בשורה הראשונה במטריצה K באיברים בעמודה הראשונה במטריצה L. כך: a_{1,1}=2*1+(-3)*5+0*5=-13.
    a_{1,2} מתקבל על ידי הכפלת האיברים בשורה הראשונה במטריצה K באיברים בעמודה השנייה במטריצה L. כך: a_{1,1}=2*2+(-3)*6+0*4=-14.
    a_{1,3} מתקבל על ידי הכפלת האיברים בשורה הראשונה במטריצה K באיברים בעמודה השלישית במטריצה L. כך: a_{1,1}=2*3+(-3)*7+0*3=-15.
    a_{1,4} מתקבל על ידי הכפלת האיברים בשורה הראשונה במטריצה K באיברים בעמודה הרביעית במטריצה L. כך: a_{1,1}=2*4+(-3)*6+0*2=-10.
    a_{2,1} מתקבל על ידי הכפלת האיברים בשורה השנייה במטריצה K באיברים בעמודה הראשונה במטריצה L. כך: a_{1,1}=1*1+4*5+(-4)*5=1.
    a_{2,2} מתקבל על ידי הכפלת האיברים בשורה השנייה במטריצה K באיברים בעמודה השנייה במטריצה L. כך: a_{1,1}=1*2+4*6+(-4)*4=10.
    a_{2,3} מתקבל על ידי הכפלת האיברים בשורה השנייה במטריצה K באיברים בעמודה השלישית במטריצה L. כך: a_{1,1}=1*3+4*7+(-4)*3=19.
    a_{2,4} מתקבל על ידי הכפלת האיברים בשורה השנייה במטריצה K באיברים בעמודה הרביעית במטריצה L. כך: a_{1,1}=1*4+4*6+(-4)*2=20.

    נמקם את האיברים במקומות המתאים ונקבל את המטריצה:
    K*L=\left[{-13 \ -14 \ -15 \ -10 \\ 1 \ 10 \ 19 \ 20}\right]

    כדי לבצע את הכפל של המטריצות A*B כאשר A זו מטריצה שגודלה הוא mXn ו- B זו מטריצה שגודלה nXp, האיברים במטריצה יהיו:
    A*B=\left[{a_{1,1}*b_{1,1} + a_{1,2}* b_{2,1} +...+a_{1,m} *b_{m,1} \ \ \ a_{1,1}*b_{1,2} + a_{1,2}*b_{2,2} +...+a_{1,m} *b_{m,2} \ \ \ ... \\ a_{2,1}*b_{1,1} + a_{2,2}* b_{2,1} +...+a_{2,m} *b_{m,1} \ \ \  a_{2,1}*b_{1,2} + a_{2,2}*b_{2,2} +...+a_{2,m} *b_{m,2} \ \ \ ...}\right]
    *יש עוד שורות, המטריצה ממשיכה עד שמספר השורות יהיה n.

    בכלליות, כפל מטריצות זאת לא פעולה קומוטטיבית.
    אפילו אם מבצעים כפל למטריצות ריבועיות (מטריצה שבה מספר השורות שווה למספר העמודות), המכפלה לא תמיד שווה אם הכפל הפוך.
    לדוגמא ניקח מטריצות C ו- D בגודל 3x3. נבצע את הכפל C*D ואת הכפל D*C, ונראה האם המכפלות שוות (האם נקבל את אותה המטריצה).

    C=\left[{4 \ -3 \ 2 \\ 0 \ 1 \ -1 \\ 5 \ 4 \ 0}\right]
    D=\left[{2 \ 2 \ -5 \\ 3 \ 1 \ 0 \\ -1 \ 1 \ 4}\right]

    C*D=\left[{4*2-3*3+2*(-1) \ 4*2-3*1+2*1 \ 4*(-5)-3*0+2*4 \\ 0*2+1*3-1*1 \ 0*2+1*1-1*1 \ 0*(-5)+1*0-1*4 \\ 5*2+4*3+0*(-1) \ 5*2+4*1+0*1 \ 5*(-5)+4*0+0*4}\right]= \ \left[{-3 \ 7 \ -12 \\ 4 \ 0 \ -4 \\ 22 \ 14 \ -25}\right]

    D*C=\left[{2*4+2*0 -5*5 \ 2*(-3)+2*1-5*4 \ 2*2+2*(-1)-5*0 \\ 3*4+1*0+0*5 \ 3*(-3)+1*1+0*4 \ 3*2+1+(-1)+0*0 \\ -1*4+1*0+4*5 \ -1*(-3) + 1*1 + 4*4 \ -1*2+1*(-1)+4*0}\right] = \\ \left[{-17 \ -24 \ 2 \\ 12 \ -8 \ 5 \\ 16 \ 20 \ -3}\right]

    מהדוגמא הזאת רואים שאולי באריתמטיקה הכפל היא פעולה קומוטטיבית, כפל מטריצות היא לא פעולה קומוטטיבית.

    עד כאן המדריך! מקווה שנהניתם והשכלתם! :]

    מחר אם יתאפשר לי אוסיף דוגמאות בכתב, פשוט לוקח לי הרבה זמן להשתמש ב- latex בשביל לכתוב מטריצות בפורום, והן גם לא מסודרות יפה בטבלה.
    נערך לאחרונה על ידי Hurricane, 05-05-2010 בשעה 00:07
    אהבתי [סיכום] כפל מטריצותasherm01, nadavba55, lifeOfPai אהב \ אהבו את התגובה
     
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  2. #2
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אחלה מדריך , רואים שהבנת את החומר . - ננעץ

  3. #3
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מצורפים מספר דוגמאות בכפל מטריצות.

    יש לשם לב לתרגיל 4 שבו בעצם הראנו מהו וקטור (מטריצה בגודל nx1) כפול וקטור (כלומר, מצאנו את המכפלה הסקלרית).
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    נערך לאחרונה על ידי Hurricane, 06-05-2010 בשעה 10:33
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  4. #4
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    חן חן!
    הוריקן, אתה סטודנט?

  5. #5
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    לא. אני בכיתה יב'.
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  6. #6
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יפה שאתם כבר לומדים דברים כאלה...
    זה חומר שלומדים רק באוני', לפחות זה מה שידעתי עד היום(:

  7. #7
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אנחנו לא לומדים את זה בבית הספר. אני לומד לבד. ם_o
    אהבתי nadavba55 אהב \ אהבו את התגובה
     
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  8. #8
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל משמעות של כפל מטריצות...

    למעוניינים להבין מהי המשמעות של כפל מטריצות (ז"א, למה לבחור בהגדרה כל-כך מוזרה לכפל?):

    כפל מטריצות נועד על-מנת לייצג העתקות לינאריות (בקיצור ה"ל, באנגלית: linear function, map, linear trasformation)

    אני אצרף, ראשית, את ההגדרה של העתקה-לינארית:

    הגדרה: העתקה-לינארית (ה"ל), זו הינה פונקציה T: V \rightarrow W,
    היכן ש-V ו-W הינם מרחבים וקטורים. הפעולה צריכה לקיים שתי תכונות, כדלהלן:

    (1) T(v+w) = T(v) + T(w)

    (2) T(\alpha v) = \alpha T(v)

    וזאת, לכל v,w וקטורים, ו-\alpha סקלר.

    לצורך הדוגמא, ניתן להראות שסיבובים, שיקופים, מתיחות, קיבוצים,...ועוד הינם ה"ל.

    עתה, נניח שברשותינו שתי ה"ל T ו-S. ראשית, אם נגדיר את הכפל בין מטריצות להיות כפל איבר איבר.
    אזי, נוכל להכפיל רק מטריצות שמאותו הגודל. בכך, נפסיד את היכולות לעבור בין ממדים שונים.
    (לדוגמא, לעבור מבין המישור למרחב (ז"א לבצע התאמה לכל וקטור מהמישור וקטור מהמרחב))

    ולכן, מגדירים את כפל המטריצות כך שיקיים שהמטריצה המייצגת של הרכבת העתקות, T \circ S, תהיה מכפלת המטריצות המייצגות של העתקות.

    וכפי שניתן לראות, תנאי זה דורש שמטריצה מגודל n \times m תהיה ניתנת להכפלה עם מטריצה מגודל m \times k.

    ולפיכך, לא פעם במקום לסמן פעולה של העתקה לינארית כך:

    T(v)

    מסמנים כך, בדיוק כמו הכפלה במטריצה: (שזו בעצם ה"ל - כפל במטריצה)

    Tv

    אך, חשוב להעיר שאין זה תמיד מדוייק לומר שכל ה"ל שקולה להכפלה במטריצה, אלא זה נכון
    אך ורק לאחר נתינת קורדינאנטות לפי בסיס... אבל אין לי כוח להיכנס עכשיו להגדרת הבסיס...

    _________________
    !I hope you enjoyed
    אהבתי lifeOfPai אהב \ אהבו את התגובה
     

  9. #9
    הסמל האישי שלasherm01 צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    כל הכבוד!!!!
    יישר כח.
    מתי כבר יגיע היום שנלך יד ביד ולא ראש בראש (?)!
    תן חיוך ה: טובה.
    אולי אני אפס ואת/ה האחד---> אבל ביחד אנחנו עשר
    גרוש בלי גרוש, מחפש גרושה עם ירושה" (מתוך מודעה אמיתית בעיתון)
    אני פוחד פחד מוות- מהמוות

  10. #10
    הסמל האישי שלlifeOfPai משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מצויין, תודה רבה!

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

אשכולות דומים

  1. משוואות של מטריצות
    ע"י liorclub בפורום : אלגברה לינארית
    תגובות: 4
    הודעה אחרונה: 31-01-2010, 00:41
  2. מטריצות
    ע"י ssss בפורום : אלגברה לינארית
    תגובות: 3
    הודעה אחרונה: 23-12-2009, 17:00
  3. מטריצות
    ע"י ssss בפורום : אלגברה לינארית
    תגובות: 1
    הודעה אחרונה: 23-12-2009, 15:58
  4. מטריצות
    ע"י ssss בפורום : אלגברה לינארית
    תגובות: 1
    הודעה אחרונה: 10-11-2009, 19:38
  5. מטריצות
    ע"י ssss בפורום : אלגברה לינארית
    תגובות: 1
    הודעה אחרונה: 10-11-2009, 17:07

ביקרו באשכול זה : 5

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו