מציג תוצאות 1 עד 5 מתוך 5

אשכול: אריתמטיקה - מציאת שארית

  1. #1
    הסמל האישי שלTheZohan משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל אריתמטיקה - מציאת שארית

    היי
    הסתבכתי קצת עם השאלה הבאה, אשמח לעזרה:
    מהי שארית החלוקה של 25^25 ל-18?

  2. #2
    אסיסטנט חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    הדרך שאני מכיר היא זאת:
    נגדיר אופרטור n%m=k שמשמועותו שארית החלוקה של n ב- m היא k.

    דוגמאות:

    8%3=2

    100%2=0

    וכו'.

    כמו כן חייב להתקיים \frac{n-k}{m}=Z כך ש- Z הוא מספר שלם, ו-  0 \leq k < m.


    לכן במקרה שלנו נדרוש:

    \frac{25^{25}-k}{18}=Z כך ש- Z יהיה מספר שלם ו- 0 \leq k < 18.


    נבדוק את האפשרויות עבור k ונראה שהערך היחיד שמקיים זאת הוא k=7, לכן 25^{25}%{18}=7
    נערך לאחרונה על ידי DeepSpace, 05-04-2014 בשעה 17:54

  3. #3
    הסמל האישי שלTheZohan משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי DeepSpace צפה בהודעה
    הדרך שאני מכיר היא זאת:
    נגדיר אופרטור n%m=k שמשמועותו שארית החלוקה של n ב- m היא k.

    דוגמאות:

    8%3=2

    100%2=0

    וכו'.

    כמו כן חייב להתקיים \frac{n-k}{m}=Z כך ש- Z הוא מספר שלם, ו-  0 \leq k < m.


    לכן במקרה שלנו נדרוש:

    \frac{25^{25}-k}{18}=Z כך ש- Z יהיה מספר שלם ו- 0 \leq k < 18.


    נבדוק את האפשרויות עבור k ונראה שהערך היחיד שמקיים זאת הוא k=7, לכן 25^{25}%{18}=7
    לא הבנתי איך הגעת ל- k=7

  4. #4
    אסיסטנט חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי TheZohan צפה בהודעה
    לא הבנתי איך הגעת ל- k=7
    ע"י זה שעבור ערכי k בין 0 ל- 18 (כולל 0 לא כולל 18) רק k=7 גורם לביטוי \frac{25^{25}-k}{18} להיות מספר שלם.


    כיוון אחר שעשוי להוביל לפיתרון בדרך אחרת הוא ש- 25^{25} = 5^{50} כלומר אנו יודעים בוודאות שמדובר במספר שספרתו האחרונה היא 5, ושמספר כלשהו מתחלק ב- 18 (ז"א ששארית החלוקה שלו ב 18 היא 0) אם ורק אם הוא מתחלק גם ב- 2 וגם ב- 9, אבל אני לפחות לא רואה לאן זה מתקדם מכאן...
    נערך לאחרונה על ידי DeepSpace, 05-04-2014 בשעה 18:18
    אהבתי TheZohan אהב \ אהבו את התגובה
     

  5. #5
    הסמל האישי שלShoobyD משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מכיוון ש־18 ו־25 זרים זה לזה, נוכל להשתמש במשפט אוילר.

    לפי אוילר: 25^{\phi (18)} \,\equiv\, 1\,\pmod{18}, כאשר \phi היא פונקציית אוילר.


    \phi (18) = 18\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3} = 6
    ולכן: 25^6 \,\equiv\, 1\,\pmod{18}


    נוכל כעת לצמצם את הביטוי המקורי:

    25^{25}\, =\, 25^{24}\cdot 25\, =\, (25^6)^4\cdot25 \,\equiv\, 1^4\cdot 25\,\equiv\, 25\,\equiv\, 7\,\pmod{18}
    אהבתי TheZohan אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 0

There are no members to list at the moment.

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו