מציג תוצאות 1 עד 2 מתוך 2

אשכול: חוגי מנה

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל חוגי מנה

    אפשר בבקשה הסבר פשוט כל חוגי מנה? אם אפשר עם דוגמא לא מסובכת מידיי.


    תודה לעוזרים

  2. #2
    אסיסטנט חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני אסביר בקצרה ואפנה אותך למקור נוסף אם תרצה להעשיר את הקריאה על זה.

    בהינתן חוג $$R$$ ואידאל שלו $$I$$ (כלומר, תת קבוצה $$I\subseteq R$$ המכילה את האפס, סגורה לחיסור ובולעת כפל - כלומר $$\forall r \in R, i \in I:r \cdot i \in I , i \cdot r \in I$$), מגדירים יחס שקילות על איברי $$R$$, כך: $$a,b \in R$$ הם שקולים אם ורק אם מתקיים $$a - b \in I$$. אז מקבלים קבוצת מחלקות שקילות: $$R/I=\{a+I : a \in R\}$$, כאשר כל מחלקה היא קבוצה מהצורה $$a+I = \{a+i : i \in I\}$$. על הקבוצה הזו מגדירים שתי פעולות שנובעות מהפעולות של החוג, והופכות את הקבוצה החדשה שהגדרנו לחוג בפני עצמו - מגדירים את הפעולות על הנציגים של מחלקות השקילות, כלומר $$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$$ , $$(a+I) \cdot (b+I) = ab+I$$. איבר האפס בחוג החדש שלנו הוא $$0+I$$, איבר היחידה הוא $$1+I$$.
    כעת, ההגדרה עלולה להיות לא טובה, כלומר תלויה בנציגים - ולכן יש לבדוק שאם ניקח נציגים שונים, נקבל אותה מחלקה בתוצאה - למשל, נבדוק את המוגדרות היטב של הכפל: יהיו $$a+I,b+I$$ וניקח נציגים אחרים $$a' \in a+I, b' \in b+I$$, ונרצה להראות ש-$$(a+I)(b+I)=(a'+I)(b'+I)$$. לפי ההנחה $$a'-a\in I, b-b' \in I$$, ולכן נרשום $$a=a'+i_1 , b=b'+i_2$$ עבור $$i_1, i_2 \in I$$. לכן, המכפלה שלהם היא:
    $$$(a'+I)(b'+I)=(a'b')+I = (a+i_1)(b+i_2)+I=(ab+I)+((ai_2 + i_1 b +i_1 i_2)+I) = ab+I = (a+I)(b+I)$$$
    כאשר המעבר הלפני אחרון נכון בדיוק כי $$I$$ אידאל, כלומר בולע משמאל ומימין.

    שאר התכונות (אסוציאטיביות, דיסטריביוטיביות וכו') נובעות ישירות מהתכונות האלו על $$R$$ - בדיוק כי הפעולות נעשות על נציגים, שהם בסופו של דבר איברי $$R$$, ועל איברי $$R$$ התכונות מתקיימות.

    לסיכום, הבאתי את המבנה של חוג המנה כקבוצה, הראיתי שיש שתי פעולות עליה (שמוגדרות על נציגי מחלקות ובפועל מוגדרות היטב), ולכן יש לנו חוג. אינטואיטיבית מה שקורה בחוג הזה, הוא שלוקחים אידאל (המייצג בדר"כ תכונה כלשהי), ובחוג המנה 'הופכים אותה לטריוויאלית,, כלומר מסתכלים על חוג אחר, שבו כל איברי האידאל שלנו נחשבים לאפס. זה מה שמתאר המעבר הזה לחוג המנה. אני אסביר את זה גם בדוגמא.

    הדוגמא הקלאסית ביותר היא חוגי מנה של חוג השלמים $$\mathbb{Z}$$ - כאן (ה)אידאלים הם תתי קבוצות מהצורה $$n\mathbb{Z} = \{nz : z \in \mathbb{Z}\}$$ (הם אכן סגורים לחיבור, ובולעים לכפל - כפולה של איבר המתחלק ב-$$n$$ תמשיך להתחלק ב-$$n$$). כעת, המנות שלהם (באופן מאוד דומה למה שקורה בתורת החבורות) הם החוגים: $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ - נכתוב את המבנה הזה מפורשות. כקבוצה, מתקיים $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0],[1],\dots,[n-1]\}$$ - כלומר אוסף מחלקות השקילות של היחס "מתחלק ב-$$n$$". פעולת החיבור היא, כמו בחבורות, על הנציגים - לוקחים שתי מחלקות, בוחרים מבפנים נציגים, מחברים אותם, ולוקחים שוב מחלקה. זו גם בדיוק פעולת הכפל, רק עם כפל. אז מקבלים מבנה, והיות ש-$$n\mathbb{Z}$$ אידאל, המבנה הזה הוא חוג, הנקרא "חוג השלמים מודולו n".
    זה גם מתאר את התפקיד של מנה - מה שעשינו פה הוא לקחת תכונה, התחלקות ב-$$n$$, והתעלמנו ממנה - כל האיברים המתחלקים ב-$$n$$ הפכו כעת לאפס, ומה שחשוב לנו זה לא המספר עצמו, אלא בסופו של דבר שארית החלוקה שלו. היות ועל כל המספרים יש מבנה של חוג, גם על שאריות החלוקה האלה (כמחלקות) יש מבנה של חוג, וזה מבנה מאוד בסיסי ושימושי במתמטיקה.

    אם יש לך שאלות על זה/משהו אחר, אתה מוזמן לשאול. אתה יכול גם לקרוא על זה בויקיפדיה, ומשם ללכת לקישורים נוספים.

  3. אהבתי shlomi4446 אהב \ אהבו את התגובה

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 0

There are no members to list at the moment.

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר כלים שרובם חינמים, ביניהם פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במעמדו או במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו