תת חבורות

[mati4]

שלום אני צריך עזרה בשאלות הבאות:

---

שאלה 1: אני רוצה לוודא אם עשיתי נכון, סעיף א היא תת חבורה כי יש סגירות, הופכי ואדיש. סעיף ב לא תת חבורה כי אין סגירות ונתתי דוגמא. סעיף ג כן תת חבורה כי N לא ריקה כי A*B^-1 שייך לN , האם אני צודק בכל הסעיפים?

---

שאלה 10: את סעיף א הוכחתי, אבל אני לא יודע לגבי סעיף ב, אני חושב שזה לא אבל לא מצאתי דוגמה.

---

שאלה 20: אני מנסה להוכיח את א אבל אני לא מבין מה זה הופכי של מודלו. תודה רבה!

[avishay12456]

1. נראה נכון.
10.ב. באופן כללי כדאי לזכור את הכלל - חיתוך משמר מבנה, איחוד [בדר"כ] לא. הסיבה לכך היא שאנחנו דורשים סגירות לפעולה, ואם נפעיל אותה על איברים שלא מאותה הקבוצה לא מובטח לנו שהתוצאה תהיה באחת הקבוצות שאיחדנו. בתור דוגמה נגדית אפשר לקחת למשל את 2Z, 3Z שהן תתי חבורות של Z.
20. x הופכי של y מודולו n אם (x*y = 1 (mod n.

[mati4]

תודה , לגבי 20, נגיד נקח את האיבר 5 אז לפי הקבוצה מוגדר ש אז ההופכי הוא 1? האם גם האדיש הוא 1?

[avishay12456]

חשוב לזכור שכשאנחנו מדברים על תת חבורות הפעולה חייבת להיות אותה הפעולה של החבורה הגדולה. פה אנחנו מדברים על mod 4 רק בהגדרת הקבוצה, הפעולה היא עדיין כפל mod 36 (כמו החבורה הגדולה שבה אנחנו נמצאים) ובהתאם לכך גם ההופכי והאדיש.

[mati4]

מה זאת אומרת? אז איך אני אמור לכתוב את זה? נגיד סגירות ?

[avishay12456]

כשאנחנו מדברים על חבורה אנחנו מדברים על קבוצה של איברים (איברי החבורה) ועל פעולה בינארית (הפעולה של החבורה).
את הקבוצה H הגדירו ע"י "כל מחלקות השקילות של x-ים השקולים ל-1 מודולו 4" אבל הפעולה של H זהה לשל G, כלומר כפל מודולו 36. לכן כדי לבדוק סגירות של H אתה לוקח שני איברים השקולים ל-1 מודולו 4 (כלומר הם בתוך H), מכפיל אותם מודולו 36 (כלומר מפעיל את הפעולה של החבורה) ובודק שהתוצאה שקולה ל-1 מודולו 4 (כלומר עדיין בתוך H).

[mati4]

כלומר כך? סגירות- אדיש- הופכי -

[avishay12456]

כמה הערות:
א. לדעתי צריך להוסיף בפתרון הוכחה ש-H אכן מוגדרת היטב. היא מוגדרת להיות "כל מחלקות השקילות של x-ים המקיימים x=1 mod 4". הבעיה שיכולה להיות עם ההגדרה הזאת היא שהיא עלולה להיות תלויה בנציג - אפריאורית יכול להיות שאם ניקח נציג מסוים אז הוא יהיה שקול לאחד מודולו 4 (ואז מחלקת השקילות כולה תהיה בתוך H) אבל אם ניקח נציג אחד הוא לא יהיה שקול לאחד מודולו 4 (ואז מחלקת השקילות כולה לא תהיה בתוך H).
ב. הדרך הנוחה לעשות את א' שתחסוך כאב ראש בהוכחת הסגירות היא להראות שאם x=y mod 36 אז x=y mod 4. ברגע שהוכחת את זה אתה יכול לעבוד עם xy בתוך הנציג של [x]*[y] ואז קל להוכיח את מה שצריך.
ג. כאשר אנחנו מדברים על הופכי הכוונה להופכי ביחס לפעולת החבורה (כלומר מודולו 36) ולכן ההופכי של 5 למשל הוא [29] ולא [5].