מציג תוצאות 1 עד 6 מתוך 6

אשכול: קומבינטוריקה\הסתברות

  1. #1
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל קומבינטוריקה\הסתברות

    אהלן, התחלתי לאחרונה קורס במבוא להסתברות.. ואני כבר די תקוע .

    הייתי שמח להבין את הדרך חשיבה, ואיך אני צריך לגשת.

    וכמובן אשמח לפיתרון ומי שיכול לנסות להסביר אשמח גם

    (התרגילים מצורפים להודעה )
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: jpg תרגילים.jpg‏ (150.7 ק"ב , 36 צפיות) 3. בכד יש 20 כדורים. 8 שחורים, 7 אדומים ו-5 לבנים. מוציאים באופן מקרי 8 כדורים. את מס' האפשרויות שבכל אחד מהמאורעות הבאים: א. מרחב המדגם ב. הוצאו 6 שחורים ו-2 לבנים ג. הוצאו 3 שחורים, 2 אדומים ו-3 לבנים ד. הוצא לפחות כדור לבן אחד4. בחפיסת קלפים יש 52 קלפים: 4 צורות (לב, תלתן, יהלום, ועלה), מכל צורה יש 13 מספרים. בוחרים 5 קלפים מתוך החפיסה. א. כמה אפשרויות יש במרחב המדגם? ב. כמה אפשרויות יש לפול-האוס? (זוג ושלישייה) ג. כמה אפשרויות יש לזוגיים? (2 זוגות של מספרים שונים + קלף עם מס' שונה מהם)
    אהבתי מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל תשובה לשאלה 3

    שלום רב


    סעיף א:

    מרחב המדגם הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי מסוים

    בניסוי הנתון מוציאים בלי החזרה מכד 8 כדורים כל פעם כדור אחד

    מרחב המדגם הוא קבוצת השמיניות הנ"ל

    בפעם הראשונה יש לנו 20 אפשרויות(כדורים) להוצאה. מוציאים 1 מתוך 20 נשארים 19

    בפעם השנייה יש לנו 19 אפשרויות(כדורים) להוצאה. מוציאים 1 מתוך 19 נשארים 18

    בפעם השלישית יש לנו 18 אפשרויות(כדורים) להוצאה. מוציאים 1 מתוך 18 נשארים 17

    וכך הלאה עד הפעם השמינית

    יש לנו 13 אפשרויות(כדורים) להוצאה. מוציאים 1 מתוך 13 נשארים 12

    סה"כ מספר האפשרויות במרחב המדגם


    $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \approx 5 \cdot 10^9$
    היות ויש להניח שכדורים באותו צבע זהים,קבוצות אפשריות של שמיניות חוזרות על עצמן

    סעיף ב:

    הפעם אנו מתמקדים ב"שמיניות מסוימות" הכוללות 6 כדורים שחורים ו-2 כדורים לבנים.

    מספר השמיניות הנ"ל הוא שקול למספר האפשרויות לסדר בשורה 6 כדורים שחורים ו-2 כדורים לבנים
    $\frac{8!}{6!\cdot 2!}=28$
    עבור כל שמיניה כזאת:
    מוציאים כדור אחד שחור - 8 אפשרויות(כדורים) נשארים 7

    מוציאים עוד כדור אחד שחור - 7 אפשרויות(כדורים) נשארים 6

    מוציאים עוד כדור אחד שחור - 6 אפשרויות(כדורים) נשארים 5
    מוציאים עוד כדור אחד שחור - 5 אפשרויות(כדורים) נשארים 4

    מוציאים עוד כדור אחד שחור - 4 אפשרויות(כדורים) נשארים 3

    מוציאים עוד כדור אחד שחור - 3 אפשרויות(כדורים) נשארים 2

    מוציאים כדור אחד לבן - 5 אפשרויות(כדורים) נשארים 4

    מוציאים עוד כדור אחד לבן - 4 אפשרויות(כדורים) נשארים 3

    מספר האפשרויות:
    $28 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4=11289600$

    סעיף ג:

    גם כאן יש לנו "שמיניות מיוחדות" הכוללות 3 שחורים 2 אדומים ו-3 לבנים

    מספר השמיניות הנ"ל:(כמו בסעיף ב)
    $\frac{8!}{3! \cdot 2! \cdot 3!}=560$

    עבור כל שמיניה כזאת:
    מוציאים כדור אחד שחור - 8 אפשרויות(כדורים) נשארים 7

    מוציאים עוד כדור אחד שחור - 7 אפשרויות(כדורים) נשארים 6

    מוציאים עוד כדור אחד שחור - 6 אפשרויות(כדורים) נשארים 5

    מוציאים כדור אחד לבן - 5 אפשרויות(כדורים) נשארים 4

    מוציאים עוד כדור אחד לבן - 4 אפשרויות(כדורים) נשארים 3

    מוציאים עוד כדור אחד לבן - 3 אפשרויות(כדורים) נשארים 2

    מוציאים כדור אחד אדום - 7 אפשרויות(כדורים) נשארים 6

    מוציאים כדור אחד אדום - 6 אפשרויות(כדורים) נשארים 5

    מספר האפשרויות:
    $560 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 6=47416320$

    סעיף ד:

    פתרון הבעיה באופן ישיר כמו שחישבנו קודם יכול להיות די ארוך

    אפשר להסתכל על הבעיה בצורה כזאת: מספר האפשרויות שיצא לפחות כדור לבן אחד שקול למספר האפשרויות
    הכללי ( מרחב המדגם חושב בסעיף א)
    פחות מספר האפשרויות שבשמיניות לא מופיעים כלל כדורים לבנים(רק שחורים/אדומים)


    צריך לחשב את מספר האפשרויות הבאות:
    (החישוב באותה דרך כמו בסעיpפים ב ו-ג)

    הוצאת 8 שחורים
    $\frac{8!}{8!} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

    הוצאת 7 שחורים ואדום אחד
    $\frac{8!}{7! \cdot 1!} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7$

    הוצאת 6 שחורים ו-2 אדומים
    $\frac{8!}{6! \cdot 2!} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 6$

    הוצאת 5 שחורים ו3 אדומים
    $\frac{8!}{5! \cdot 3!} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5$

    הוצאת 4 שחורים ו4 אדומים
    $\frac{8!}{4! \cdot 4!} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$

    הוצאת 3 שחורים ו-5 אדומים
    $\frac{8!}{3! \cdot 5!} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$

    הוצאת 2 שחורים ו-6 אדומים
    $\frac{8!}{2! \cdot 6!} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2$

    הוצאת שחור אחד ו-7 אדומים
    $\frac{8!}{1! \cdot 7!} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2 \cdot 1$

    מחברים את 8 התוצאות הנ"ל ומחסירים ממספר האפשרויות הכללי שחושב בסעיף א

    אם משהו אינו ברור/ישנן הערות, אפשר להעלות לאשכול

    בברכה,
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 14-11-2019 בשעה 09:14

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל תשובה לשאלה 4

    סעיף א:

    מרחב המדגם הוא קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי מסוים

    בניסוי הנתון בוחרים 5 קלפים מתוך 52 . מרחב המדגם הוא קבוצות של 5 קלפים שנבחרו מתוך 52 אפשריים

    בבחירה בכל קבוצה כל הקלפים שונים ואין חשיבות לסדר. מספר הצירופים(קבוצות) נתון בנוסחא:
    ${52 \choose 5} = \frac{52!}{47! \cdot 5!}=2598960$

    סעיף ב:

    מספר האפשרויות לפול האוס: שלושה קלפים בעלי אותו ערך מספרי, ושניים נוספים בעלי ערך מספרי זהה אחר

    יש לנו 4 קבוצות(צורות) עם 13 קלפים בכל אחת
    נרכיב קודם שלישיות
    ${4 \choose 3} = 4$

    יש 13 מספרים אפשריים, לכן מספר השלישיות האפשריות



    $13 \cdot 4 =52$


    עבור כל שלישיה כזאת, עם מספר כלשהו עבורו יש להתאים זוג עם מספר אחר - 12 מספרים(13-1)
    נשאר עכשיו לבנות זוגות. עבור מספר מסויים(מתוך 12 אפשריים) זוג מ-4 קבוצות אפשריות(צורות). מספר הזוגות הינו מספר האפשרויות לבחירת קבוצות
    בנות שני איברים מקבוצה בת 4 איברים, דהיינו
    ${4 \choose 2} = 6$
    יש 12 מספרים אפשריים, לכן מספר הזוגות האפשריים
    $12 \cdot 6 =72$
    ומספר האפשרויות לפול האוסים: מספר השלישיות כפול מספר הזוגות
    $52 \cdot 72 =3744$

    סעיף ג:

    מספר האפשרויות לזוגיים:(שני זוגות של מספרים שונים+קלף של מספר שונה)

    אותה דרך חישוב כמו בסעיף ב

    מספר הזוגות הראשונים של 13 מספרים אפשריים:

    ${4 \choose 2} \cdot 13=6 \cdot 13=78$
    הזוג בא חייב להיות של מספרים שונים - נשארו 12 מספרים אפשריים(13-1)

    מספר הזוגות השניים של 12 מספרים אפשריים
    ${4 \choose 2} \cdot 12=6 \cdot 12 = 72$

    הקלף הבודד חייב להיות עם מספר שונה מכל אחד מהמספרים של הזוגות שנבחרו
    נשארו 11(12-1) מספרים אפשריים. עבור כל מספר כזה ניתן לבחור קלף אחד מתוך 4 קלפים אפשריים (4 קבוצות אפשריות-צורות בנות 13 קלפים בכל אחת)

    מספר האפשרויות לקלפים בודדים של 12 מספרים אפשריים
    ${4 \choose 1} \cdot 11=4 \cdot 11 = 44$


    מספר האפשרויות לזוגיים: קומבינציה של 2 זוגות מספרים שונים וקלף בודד עם מספר שונה מהם:
    $ 78 \cdot 72 \cdot 44=247104$
    אהבתי מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  4. #4
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    רציתי להעיר שהתוצאה תלויה מאוד בצורת הדגימה (צורת הבחירה של הקבוצה החלקית מתוך כלל הפריטים).
    אני אדגים זאת במקרה הבא: נניח שיש לפנינו מגש ועליו קבוצה של 4 כדורים מתוכם אנחנו צריכים לבחור שניים.
    אם אנו מוציאים כדור אחד אחד, כלומר מוציאים ביד אחת קודם כדור אחד ואחריו את השני, אזי מספר האפשרויות הוא:
    $4!/2!=4\cdot3=12$
    לעומת זאת אם אנו בוחרים 2 כדורים במקביל (תופשים בשתי ידיים שני כדורים, כדור בכל יד ומוציאים אותם) אזי מספר האפשרויות הוא:
    $4!/(2!2!)=6$
    לכן חשוב בסוג השאלות הללו להבין את צורת הדגימה. מן הסתם, כאשר מוציאם כדורים מתוך כד (ולא ממגש) הבחירה נעשית אחד אחד. אבל בקלפים זה לא בהכרח כך....
    אהבתי קומבינטוריקה\הסתברותam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  5. #5
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי avi500 צפה בהודעה
    רציתי להעיר שהתוצאה תלויה מאוד בצורת הדגימה (צורת הבחירה של הקבוצה החלקית מתוך כלל הפריטים).
    אני אדגים זאת במקרה הבא: נניח שיש לפנינו מגש ועליו קבוצה של 4 כדורים מתוכם אנחנו צריכים לבחור שניים.
    אם אנו מוציאים כדור אחד אחד, כלומר מוציאים ביד אחת קודם כדור אחד ואחריו את השני, אזי מספר האפשרויות הוא:
    $4!/2!=4\cdot3=12$
    לעומת זאת אם אנו בוחרים 2 כדורים במקביל (תופשים בשתי ידיים שני כדורים, כדור בכל יד ומוציאים אותם) אזי מספר האפשרויות הוא:
    $4!/(2!2!)=6$
    לכן חשוב בסוג השאלות הללו להבין את צורת הדגימה. מן הסתם, כאשר מוציאם כדורים מתוך כד (ולא ממגש) הבחירה נעשית אחד אחד. אבל בקלפים זה לא בהכרח כך....
    לא בדיוק תפסתי את זה.. מדוע זה בדיוק שונה?

    ותודה על ההערה.. חשוב מאוד להבין את זה.

  6. #6
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    כדי לעשות את זה פשוט, נניח שיש 4 כדורים בצבעים שונים על המגש ואנחנו שואלים מה ההסתברות להוציא 2 כדורים ב-2 צבעים נתונים. במקרה הראשון מדובר בצירוף של שני אירועים שבכל אחד מהם אנחנו מוציאים כדור אחד. בכל אירוע יש לנו מספר אפשרויות שונה. באירוע הראשון יש 4 כדורים ולכן מספר האפשרויות הוא 4 והסיכוי להוציא כדור בצבע מסויים הוא 1/4. באירוע השני יש רק 3 כדורים והסיכוי להוציא כדור שני בצבע הנתון הוא 1/3. לכן הסיכוי להוציא 2 כדורים בצבעים הנתונים הוא המכפלה של הסיכויים: 1/12
    אם מוציאים 2 כדורים במקביל, אזי את הסיכוי שלנו להוציא זוג מסויים צריך לחשב לפי מס' האפשרויות להוצאת זוג מתוך ה- 4 (שים לב שכאן מדובר באירוע בחירה אחד ולא שניים). מספר כל הזוגות האפשריים מתוך 4 הוא 6 כפי שחושב למעלה והסיכוי להוציא זוג בצבעים הנתונים באופן שצויין הוא 1/6.
    אהבתי Matan1ninio אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 12

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו