מציג תוצאות 1 עד 2 מתוך 2

אשכול: חישוב תוחלת מינימלית של הוצאת כדורים

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל חישוב תוחלת מינימלית של הוצאת כדורים

    שלום, יש לי את השאלה הבאה:
    מול שחקן ניצב כד ובו N כדורים: 1 שחור והשאר לבנים. השחקן יקבל פרס כשיוציא את הכדור השחור ולשם כך הוא יכול לבחור בין שתי שיטות:
    שיטה I - מוציא באקראי כדורים ללא החזרה. מחיר כל הוצאת כדור הוא 12 ש"ח.
    שיט II - מוציא באקראי כדורים עם החזרה. מחיר כל הוצאת כדור הוא 8 ש"ח.
    בהנחה שרוצוננו בתוחלת מחיר נמוכה, איזו שיטה עדיפה? (שימו לב שתיתכן תלות ב- N ).

    אני חישבתי את הפה״מ של שיטה I :


    כאשר n זה מספר הניסויים. לכן לפי הגדרה התוחלת היא:


    בשיטה השניה יש התפלגות גאומטרית כאשר הצלחה זה הוצאת כדור שחור ולכן התוחלת היא :


    הבעיה היא שאני לא יודעת איך להשוות בין התוחלות ואיך העניין של המחיר נכנס לתוך התוחלת. אפשר עזרה בבקשה?
    תודה רבה על כל העזרה מראש.
    נערך לאחרונה על ידי Ramonaa01, 24-12-2019 בשעה 21:01

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נגדיר את הבעיה קודם כל כמציאת ההסתברות להצלחה ב- $n$ נסיונות לאחר שהיו $n-1$ כשלונות רצופים
    בשיטה הראשונה ההסתברות להצלחה בנסיון הראשון:
    $
    \frac{1}{N}
    $
    ההסתברות להצלחה בנסיון השני לאחר כשלון בראשון היא :
    $
    \frac{N-1}{N}\cdot\frac{1}{N-1}=\frac{1}{N}
    $
    ההסתברות להצלחה בנסיון ה$n$-י לאחר כשלונות רצופים ב $n-1$ נסיונות היא :
    $
    \frac{N-1}{N}\cdot\frac{N-2}{N-1}\cdot\frac{N-3}{N-2}\cdot\cdot\cdot\frac{N-n}{N-n+1}\cdot\frac{1}{N-n}=\frac{1}{N}
    $
    מכאן שבשיטה הראשונה ההסתברות להצלחה בכל נסיון (לאחר כשלון בכל הקודמים) היא זהה.

    בשיטה השנייה השיקול פשוט יותר: כאן אין תלות בין המאורעות של הצלחה\כשלון בכל נסיון ולכן הסיכוי להצלחה בנסיון ה$n$-י , ללא קשר לקודמים, הוא פשוט $1/N$ כי לא הוצאנו כדורים בכשלונות קודמים. אבל כדי להגיע לנסיון ה$n$-י אנחנו צריכים להכשל ב- $n-1$ נסיונות קודמים. הסיכוי להכשל בכל אחד מהם הוא המשלים ל-1 של הסיכוי להצלחה כלומר $1-1/N$ ולכן הסיכוי לכשלון ב $n-1$ נסיונות הוא $ (1-1/N)^{n-1}$. מכאן אנו מסיקים שהסיכוי להצלחה בנסיון ה$n$-י לאחר שנכשלנו בקודמים הוא:
    $
    (1-\frac{1}{N})^{n-1}\frac{1}{N}
    $
    כדי להחליט מה עדיף עלינו למצוא את תוחלת המחיר לנסיונות הללו בשני המקרים, כלומר להכפיל בתשלום שהוא $12n$ בשיטה הראשונה ו- $8n$ בשיטה השנייה. כלומר עלינו להשוות את:
    $
    \frac{1}{N}\cdot12n
    $
    ל-
    $
    (1-\frac{1}{N})^{n-1}\frac{1}{N}\cdot8n
    $
    נחלק את שני הביטויים ב $8n/N$, נקבל שעלינו להשוות את:
    $
    \frac{4}{3}
    $
    ל-
    $
    (1-\frac{1}{N})^{n-1}\
    $
    המספר הראשון תמיד גדול מ-$1$ ולכן גדול יותר מהמספר השני שהוא קטן מ-1. מכאן שהשיטה השנייה כרוכה בתוחלת מחיר נמוכה יותר ולכן נראית כמשתלמת יותר. למרות זאת יש לשים לב שבשיטה הראשונה קיימת הצלחה בכל מקרה כאשר $n=N$ , מה שאי אפשר להבטיח בשיטה השנייה. כלומר בשיטה הראשונה נוציא לכל היותר $12N$ עד שנצליח (בנסיון האחרון) ואילו בשיטה השנייה ניתן להמשיך לנסות גם עבור $n>N$ ללא הצלחה. לכן השיקול שתואר לעיל תופס רק כל עוד
    $
    8n\le12N
    $
    או
    $
    n\le\frac{4}{3}N
    $
    עבור מספרים גדולים מ- $n$ זה לבטח נוציא יותר כסף ולכן השיטה השנייה לא תהיה משתלמת אם יתברר שהצלחנו רק ב- $n$ שגדול ממספר זה. כמובן שאת זה יודעים רק בדיעבד.
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 28-12-2019 בשעה 18:42
    אהבתי מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 6

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו