מציג תוצאות 1 עד 2 מתוך 2

אשכול: הצבעה חישוב תוחלת בעזרת משפט תוחלת השלמה

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל הצבעה חישוב תוחלת בעזרת משפט תוחלת השלמה

    שלום נתונה לי השאלה הבאה:
    12.png

    הניסיון שלי לפתור:
    סימנתי ב(מ"מ) שמציין את מספר הדלת שנבחרה ומכאן:


    השתמשתי במשפט התוחלת השלמה:



    התשובה שלי לא יוצאת נכונה כי התוחלת יוצאת שלילית.


    התשובה הנכונה היא :


    אפשר בבקשה עזרה, אני לא מבינה איך הם הגיעו לתשובה הזו.
    נערך לאחרונה על ידי Ramonaa01, 18-01-2020 בשעה 19:51

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל

    נפתור קודם את הבעיה שבה אין "זיכרון" לאסיר. כלומר בכל צעד לכל דלת אותה הסתברות. לצורך כך נדון במשתנה המקרי $X$ שמציין את רצף כל הימים בהם שהה האסיר בכלא.
    ע"פ משפט התוחלת השלמה אנחנו יכולים להסתכל על התוחלת כסכום התוחלות של המצבים בהם ידוע שהדלת $i$ נפתחת מוכפל בהסתברות של כל מצב. שניתן לכתוב כך:
    $E(X)=\frac{1}{n}a_1+\frac{1}{n}\sum_{i=2}^nE(X+a_ i)
    $
    משמעות כל איבר בצד ימין הוא שפתיחת דלת (חוץ מהראשונה) מוסיפה $a_i$ לשהות ותורמת באופן שווה בהסתברות $1/n$ לתוחלת. הדלת הראשונה אינה תורמת לתוחלת כי מייד לאחר פתיחתה האסיר יוצא לחופשי, ואומנם $a_1=0$. בשימוש בלינאריות של התוחלת, מקבלים:
    $
    E(X)=0+\frac{1}{n}\sum_{i=2}^nE(X )+\frac{1}{n}\sum_{i=2}^n a_i =\frac{(n-1)}{n}E(X)+\frac{1}{n}\sum_{i=2}^n a_i
    $
    ולאחר העברת אגפים מקבלים:
    $
    E(X)=\sum_{i=2}^n a_i
    $
    במקרה שבו יש "זכרון" של הדלתות שנפתחו. אנחנו מגדירים את המשתנה המקרי בצד ימין כסכום של כל הערכים $X_j$ המתקבלים מפתיחת הדלתות, חוץ מזו שנפתחה כלומר:
    $
    E(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=2}^nE(\sum_{j\ne i}X_j)+\frac{1}{n}\sum_{i=2}^n a_i
    $
    ובשימוש בלינאריות של התוחלת:
    $
    E(X)=E(\sum_{j=2}^nX_j)=\sum_{j=2}^nE(X_j)=\sum_{j \ne i,1}^nE(X_j)+E(X_i)
    $
    לכן:
    $
    \sum_{i=2}^n \sum_{j\ne i,1}^nE(X_j)=\sum_{i=2}^nE(X)-\sum_{i=2}^nE(X_i)=(n-1)E(X)-E(X)=(n-2)E(X)
    $
    (השתמשנו ב- $E(X_1)=0$)
    אנחנו מקבלים:
    $
    E(X)=\frac{(n-2)}{n}E(X)+\frac{1}{n}\sum_{i=2}^n a_i
    $
    ומכאן:
    $
    E(X)=\frac{1}{2}\sum_{i=2}^n a_i
    $
    שזה תואם את התשובה שנתנה בשאלה אם שמים לב שסכום המספרים השלמים $\sum_{k=1}^n(k-1)$ הוא $(n-1)n/2$
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 27-01-2020 בשעה 15:45
    אהבתי Ramonaa01, אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 8

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו