מציג תוצאות 1 עד 6 מתוך 6

אשכול: בעיה מאתגרת בהסתברות עם קומבינטוריקה

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל בעיה מאתגרת בהסתברות עם קומבינטוריקה

    שלום לכולם,

    מצ"ב בעיה מאתגרת בהסתברות:

    מחלקים r כדורים באופן אקראי ל - n תאים. הכדורים לא ניתנים להבדלה.
    מהי ההסתברות שבדיוק m תאים יכילו בדיוק k כדורים ?

    אשמח לפתרון....

    למיטב הבנתי במכנה צריך להיות

    $\binom{r+n-1}{r}=\binom{r+n-1}{n-1}$


    אבל אני לא סגור על זה. במונה נראה לי שצריך להשתמש במספר הפירוקים של מספר (weak composition), גם פה, לא סגור על זה בכלל. אשמח לעזרה. מצד שני גם זה הגיוני במידה מסוימת:

    $\frac{\binom{n}{m}\binom{r-km+n-m-1}{r-km}}{\binom{r+n-1}{r}}$

    למרות שבטוח לא נכון

    תודה !
    נערך לאחרונה על ידי Yankel, 26-02-2020 בשעה 21:38

  2. #2
    הסמל האישי שלYes מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אלא אם הבנתי לא נכון, זאת הבעיה הקנונית של חלוקת כדורים (זהים) לתאים (שונים). יש בייקציה מאוד פשוטה של הבעיה לווקטורים בינארים שבהם יש $(n-1)$ אחדות ו-$r$ אפסים. מהבייקציה הזאת די קל לראות שהפתרון לבעיה הוא $\begin{pmatrix}r+n-1\\r\end{pmatrix}$.

    אם אתה רוצה הסבר על הבעיה הזו והפתרון, אני אשמח לעזור.

  3. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני אשמח להסבר ופתרון. הפתרון שציינת הוא המכנה בבעיה שכתבתי. החלק הקשה לדעתי זה המונה.

  4. #4
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נסמן:
    $P(k,m)$ = מספר האפשרויות לחלק $k$ כדורים ב- $m$ תאים
    $Q(m,n)$ =מספר האפשרויות לבחור $m$ תאים מתוך $n$ תאים
    אזי ההסתברות המבוקשת $p$ היא:
    $p=Q(m,n)\frac{P(k,m)}{P(r,n)}$
    ברור ש:
    $Q(m,n)=\binom n m
    $
    כדי למצוא את ה- $P$-ים, נשתמש בשיטה שהציע Yes: נסמן את "דפנות" התאים ב- I (ה"דפנות" הפנימיות משותפות) ואת הכדורים ב O. כך למשל חלוקה של 3 כדורים ב- 5 תאים תראה כך:
    |OO| |O|||
    בסכמה זו בתא הראשון מימין יש כדור אחד, בשני 0, בשלישי 2 כדורים וברביעי ובחמישי אין כדורים. בסכמה זו עבור $m$ תאים יש $m+1$ קוים ועבור $k$ כדורים יש $k$ עיגולים. לכן כל בחירה של מיקום הכדורים מתאימה לבחירה של $k$ עצמים מתוך $k+m-1$ עצמים (את 2 הקווים החיצוניים לא מחליפים בעיגולים) . מכאן:
    $
    p=\binom n m \frac{ \binom {k+m-1} k}{\binom{ r+n-1} r}
    $
    הערה: המקרה הנדון כאן הוא כאשר מותר להשאיר חלק מ- $m$ התאים - ריקים.
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 28-02-2020 בשעה 16:01
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  5. #5
    הסמל האישי שלYes מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    טוב, אז תחילה אם $mk \neq r$ או $m>n$ ההסתברות היא אפס כמובן.
    נסתכל על המצב ש-$mk=r$. יש לבחור $m$ מתוך $n$ תאים ולשים בכל אחד $k$ כדורים. מכיוון שאין הבדל בין הכדורים התשובה היא פשוט $\binom{n}{m}$ סידורים אפשריים. כלומר, מרגע שנבחרו התאים הסידור הוא יחיד (אם מחליפים בין כדור בתא כלשהו עם כדור בתא אחר זה עדיין אותו סידור).

    לכן בסך הכל מתקבל:
    $$P(m,k)=\begin{cases}\frac{\binom{n}{m}}{\binom{r +n-1}{r}} && mk=r\\ 0 && mk \neq r \begin{matrix}\end{matrix}\end{cases}$$

    עריכה: אוקיי, avi500 ענה כבר...

  6. #6
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    פתרון למקרה בו דורשים שבכל תא מ- $m$ התאים יש כדור אחד לפחות:
    נסמן את מספר האפשרויות לחלק $k$ כדורים ב- $m$ תאים ללא תאים ריקים ב- $T(k,m)$. ברור שכאן יש תנאי ש- $k\ge m$ נתחיל ממצב שבו שמנו בכל תא כדור אחד. אזי נותרו לנו לחלוקה $k-m$ כדורים ב- $m$ תאים ללא אילוצים. לכן:
    $
    T(k,m)=P(k-m,m) $
    מכאן ש- $p$ במקרה הזה הוא:
    $
    p=Q(m,n)\frac{ T(k ,m)} {P(r,n)}=Q(m,n)\frac{ P(k-m,m)} {P(r,n)}=\binom n m \frac{\binom {k-1}{k-m}}{\binom{r+n-1} n} =\binom n m \frac{\binom {k-1}{m-1}}{\binom{r+n-1} n}
    $
    הערה: כאן אנחנו עדיין מרשים ש- $n-m$ התאים שנותרו יכללו גם תאים ריקים.במידה שרוצים שבכולם יהיה לפחות כדור אחד - מופיע במכנה $\binom {r-1}{n-1}=T(r,n)$
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 28-02-2020 בשעה 16:02
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 7

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו