מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: אינדיקטורים

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל אינדיקטורים

    היי, אשמח לעזרה בתרגיל הבא
    Capture.PNG
    בפתרון התרגיל הגדירו אינדיקטור Ui אשר מסמל שהכדור בהוצאה הi צהוב. (כמובן שi מקבל ערכים מ1 ועד m).
    בנוסף, הם ציינו כי ההסתברות שהמאורע הנ"ל יתרחש הוא מספר הכדורים הצהובים (j) חלקיי מספר כל הכדורים בסל (n), סה"כ j/n.

    אני לא כל כך מבין את הקביעה הזאת, שכן מספר הכדורים הצהובים והכולל בסל משתנה בכל הוצאה (כיוון שאין החזרה).
    אני כן מבין שההסתברות בהוצאה ראשונה של כדור צהוב שווה להסתברות בהוצאה שנייה של כדור צהוב, אך האם ניתן להמשיך ולהכליל עבור הוצאה שלישית ומעלה?
    תודה מראש !

    תשובה סופית : mj/n

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מספר כל האפשרויות להוצאת $m$ כדורים כלשהם מתוך כד של $n$ כדורים הוא $\binom n m$. מספר האפשרויות לבחור $k$ כדורים צהובים מתוך $j$ כדורים ו- $m-k$ כדורים סגולים מתוך $n-j$ כדורים הוא $\binom j k \binom {n-j} {m-k}$. לכן ההסתברות $p(k)$ ש- $k$ כדורים יהיו צהובים היא:
    $
    p(k)=\frac{\binom j k \binom {n-j} {m-k}}{\binom n m}
    $
    התוחלת של הכדורים הצהובים:
    $
    E=\sum_{k=0}^mkp(k)= \binom n m ^{-1}\sum_{k=0}^mk\binom j k \binom {n-j} {m-k}=\binom n m ^{-1}\sum_{k=1}^mk\binom j k \binom {n-j} {m-k}\\=\binom n m ^{-1}\sum_{k=1}^mj\binom {j-1} {k-1} \binom {n-j} {m-1-(k-1)}

    =j \binom n m ^{-1}\sum_{k=0}^{m-1} \binom {j-1} {k } \binom {n-j} {m-1- k }
    $
    כאשר בצעד האחרון ביצענו החלפת משתנה סכימה: $k\to k-1$
    את הסכום האחרון ניתן לפשט מתוך השיקול הבא: הסכום הוא מספר כל האפשרויות לבחור $m-1$ כדורים כלשהם מתוך קבוצה של $n-1$ כדורים אשר $j-1$ מתכום צהובים והשאר סגולים. מכאן:
    $
    \sum_{k=0}^{m-1} \binom {j-1} {k } \binom {n-j} {m-1- k} =\binom { n-1}{m-1}
    $
    לכן:
    $
    E=j \binom n m ^{-1}\binom { n-1}{m-1}=jm/n
    $
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 04-03-2020 בשעה 18:45
    אהבתי galelbaz1 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    הוכחה על סמך לינאריות של התוחלת:
    זוהי הוכחה פשוטה יותר מבחינה טכנית, אבל פחות פשוטה מבחינה קוסנפטואלית.
    לצורך כך אנחנו מגדירים משתנה רנדומלי $X$ שהוא סכום של משתנים רנדומליים $\{X_i\}_{i=1}^n$ המתייחסים לכל הכדורים בכד. המשתנה $X_i$ מקבל את הערך 1 אם הכדור ה- $i$ שנבחר הוא צהוב ו- 0 אם הוא סגול . נשים לב שהמשתנים מתייחסים לכל הכדורים. הסיכוי לבחור את הכדור $i$ מתוך $n$ ב- $m$ נסיונות, ללא קשר לכדורים האחרים, הוא $m/n$. לכן התוחלת של כל הכדורים לאחר $m$ נסיונות היא:
    $
    E(X)=E(\sum_{i=1}^nX_i)=\sum_{i=1}^nE(X_i)=\sum_{i =1}^j1\cdot (m/n)+\sum_{i=1}^{n-j}0\cdot (m/n)=j(m/n)
    $
    כפי שקיבלנו קודם.
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 05-03-2020 בשעה 06:20
    אהבתי galelbaz1 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 6

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו