מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: חישוב שונות

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל חישוב שונות

    שלום, אשמח לעזרה בתרגיל הבא
    Capture.PNG
    תודה מראש

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    קל לראות שיש בסך הכל 3 מצבים אפשריים:
    2 כדורים לבנים ו-2 שחורים. נסמן מצב זה ב WWBB
    3 כדורים לבנים ואחד שחור. נסמן מצב זה ב WWBW
    4 כדורים לבנים (מצב סופי) נסמנו ב - WWWW
    התרשים הבא מתאר את ההסתברויות במעברים בין המצבים האפשריים, בשני השלבים הראשונים אם מתחילים מהמצב WWBB וההסתברויות למעבר (כתובות מעל החצים).
    Presentation11.jpg
    נסמן משתנה אקראי $Y$ שמציין את שני המצבים הראשונים: $Y_1=WWBB$, $Y_2=WWBW$. נסמן במשתנה אקראי $X$ את מספר השלבים.
    תוך שימוש בכללי ההסתברות המותנה ובמשפט התוחלת השלמה. ניתן לכתוב את 2 המשוואות הבאות לתוחלות:
    $$
    E(X|Y_1)=0.5E(X+1|Y_1)+0.5E(X+1|Y_2 )
    $$
    $$
    E(X|Y_2)=0.25+0.75E(X+1|Y_2 )
    $$
    שימוש בלינאריות של התוחלת $E(X+1|Y_i)=E(X|Y_i)+1$ מוביל לפתרונות:
    $E(X|Y_2)=4$,$E(X|Y_1)=6$
    והתוחלת הכללית של השלבים היא (שימוש במשפט התוחלת השלמה):
    $$E(X)=0.5E(X|Y_1)+0.5E(X|Y_2)=5
    $$
    כדי לחשב את השונות נכתוב משוואות דומות לתוחלות של $X^2$ :
    $$
    E(X^2|Y_1)=0.5E((X+1)^2|Y_1)+0.5E((X+1)^2|Y_2 )
    $$
    $$
    E(X^2|Y_2)=0.25+0.75E((X+1)^2|Y_2 )
    $$
    שמובילות למשוואות:
    $$
    E(X^2|Y_1)=0.5[E(X^2|Y_1)+2E(X |Y_1)+1]+0.5[E(X^2|Y_2)+2E(X |Y_2)+1]
    $$
    $$
    E(X^2|Y_2)=0.25+0.75[E(X^2|Y_2)+2E(X |Y_2)+1]
    $$
    שפתרונן , תוך שימוש בתוצאות הקודמות של התוחלות $ E(X|Y_1) ,E(X|Y_2) $ , הוא:
    $
    E(X^2|Y_1)=50
    $
    $
    E(X^2|Y_2)=28
    $
    ומכאן מקבלים שהשונות הכוללת היא:
    $$
    VAR(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=0.5E(X^2|Y_1)+0.5 E(X^2|Y_2)-[E(X)]^2 \\=0.5*50+0.5*28-5^2=14
    $$
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 12-03-2020 בשעה 07:12
    אהבתי חישוב שונותam12348, galelbaz1 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל חישוב שונות - הצעה לפתרון קצר יותר (שיקולי אי תלות בין שני השלבים)

    שלום רב,

    אפשר להסתכל על הבעיה כהרכבה של שתי התפלגויות גאומטריות.

    בהתפלגות גאומטרית מבצעים את הניסוי עד שהוא יצליח. אנו מגדירים מה היא הצלחה

    במקרה הזה בפעם הראשונה(התפלגות גאומטרית ראשונה) אנו מוציאים ומחזירים כדורים עד שיוצא כדור לא לבן ואז אנו מחליפים אותו ללבן
    המשתנה הראשון כאן זה מספר ההוצאות וההחזרות שמבצעים עד שיוצא כדור לא לבן. נסמנו ב-x

    ההסתברות להוצאת כדור בצבע אחר היא חצי. יש לנו בהתחלה בכד שני שחרים ושני לבנים.
    מבחינתנו הצלחה זה להוציא כדור בצבע אחר, אז אנו מחליפים אותו ללבן ויש לנו אז בכד שלושה לבנים.

    השונות של התפלגות גאומטרית נתונה בנוסחא:
    $\frac{1-p}{p^2}$

    במקרה שלנו השונות בהתפלגות הראשונה:

    $S(x)=\frac{1-\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{\frac{1}{2}}{ \frac{1}{4}}=2$



    עכשיו מתחילה הפעם השנייה(התפלגות גאומטרית שנייה) - יש לנו בכד שלושה לבנים. אנו מוציאים ומחזירים כדורים לכד עד שמקבלים כדור לא לבן שאנו
    מחליפים אותו ללבן ואז בכד יהיו 4 לבנים ובזה הושגה המטרה שלנו.
    המשתנה השני כאן זה מספר ההוצאות וההחזרות שמבצעים עד שיוצא כדור לא לבן. נסמנו ב-y

    הצלחה מבחינתנו היא הוצאת כדור לא לבן. ההסתברות הנה רבע. יש לנו שלושה לבנים בכד.

    במקרה שלנו השונות בהתפלגות השנייה:

    $S(y)=\frac{1-\frac{1}{4}}{(\frac{1}{4})^2}=\frac{\frac{3}{4}}{ \frac{1}{16}}=12$



    עכשיו צריך לשים לב לעובדה ששני המשתנים x ו-y בלתי תלויים. כמות ההוצאותוההחזרות בפעם השנייה אינה תלויה בכמות ההוצאות וההחזרות בפעם השנייה
    במקרה זה, השונות המבוקשת היא סכום השונויות



    נקבל:

    $S(x+y)=S(x)+S(y)=2+12=14$

    בברכה,
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 12-03-2020 בשעה 09:44
    אהבתי avi500, galelbaz1 אהב \ אהבו את התגובה
     

  4. #4
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תודה רבה לשניכם !

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 6

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו