מציג תוצאות 1 עד 7 מתוך 7

אשכול: הוכחת גבול של סדרה

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל הוכחת גבול של סדרה

    שלום,
    נתונה לי השאלה:
    ללא שם.png

    אז מה שעשיתי היה:
    לפי הגדרת הגבול.


    לפי הגדרת הגבול ל אני יודעת שמתקיים:


    אבל איך אני יכולה להמשיך מכאן?
    תודה רבה לעוזרים.

  2. #
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל

    כל הכבוד על הפתרון. רק שים לב שצריך להתייחס בנפרד למקרה שבו $a_n+L=0$ (הכפלת בביטוי הזה באחד השלבים). זה עלול לקרות מספר לא סופי של פעמים כאשר L=0 ולכן צריך להתייחס למקרה הזה בנפרד.

    ברשותך, רק אבהיר את ההכוונה שלי: אמרתי שנשתמש בכך ש-$a_n$ חסומה (נובע מההתכנסות שלה) כדי לחסום את $|a_n^2-L^2|$ ע"י אפסילון (כלומר נראה התכנסות לפי הגדרה).


    הפתרון אליו ניסיתי לכוון: נתון כי $a_n$ מתכנסת ולכן היא חסומה, נסמן את החסם ב-M>0.
    נשים לב כי:
    $$
    |a_n^2-L^2|=|a_n-L||a_n+L|\leq |a_n-L|(|a_n|+|L|)\leq |a_n-L|(M+|L|)
    $$

    מהתכנסות $a_n$ אנחנו יודעים כי קיים N כך שלכל n>N מתקיים:
    $$
    |a_n-L|<\frac{\epsilon}{M+|L|}
    $$

    ומכאן שלכל n>N מתקיים:
    $$
    |a_n^2-L^2|\leq |a_n-L|(M+|L|)<\frac{\epsilon}{M+|L|}(M+|L|)=\epsilon
    $$

    כנדרש.
    נערך לאחרונה על ידי avishay12456, 06-12-2018 בשעה 19:32
    אהבתי הוכחת גבול של סדרהYes, אריאל, ThePrince אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #2
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    הדרכה: הסדרה $a_n$ מתכנסת לגבול סופי ולכן חסומה (יש משפט כזה).
    תנסי להשתמש בזה כדי לחסום את הביטוי $|a_n+L|$ ואז לחסום את כל הביטוי $|a_n^2-L^2|$ ע"י אפסילון.
    בהצלחה!

  4. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי avishay12456 צפה בהודעה
    הדרכה: הסדרה $a_n$ מתכנסת לגבול סופי ולכן חסומה (יש משפט כזה).
    תנסי להשתמש בזה כדי לחסום את הביטוי $|a_n+L|$ ואז לחסום את כל הביטוי $|a_n^2-L^2|$ ע"י אפסילון.
    בהצלחה!
    כלומר אני צריכה להוכיח שהביטוי חסום ע"י אפסילון ורק ככה אני אוכיח את הגבול?

  5. #4
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    בקשר למה שנאמר לעיל: אם סדרה חסומה זה לא אומר שהיא מתכנסת. (למרות שכל סדרה מתכנסת היא חסומה).

    הערה: ישנם אי דיוקים וטעיות בטענה שלי, אני משאיר על מנת שיוכלו ללמוד מהטעויות
    אני הוכיח לפי הגדרת הגבול:
    לכל $n\ge n_{\varepsilon}$
    \begin{align*}
    \left|a_n-L\right|<\varepsilon \Longrightarrow-\varepsilon<a_n-L<\varepsilon \\
    \end{align*}
    אם $a_n+L\neq 0$ נכפיל את שני האגפים ב-$a_n+L$
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    (אחרת נשים לב שלכל $n>n_{\varepsilon}$ עבורו $a_n+L=0$ יתקיים:
    $$a_n+L=0\Longrightarrow a_n=-L\Longrightarrow \left|a_n-L\right|=\left|-2L\right|<\varepsilon \ \ \ \ \forall_{\varepsilon>0}$$
    וזה נכון רק אם $a_n=L=0$, ובמקרה זה הגדרת הגבול מתקיימת שכן $|a_n^2-L^2|=0<\varepsilon$.)
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    \begin{equation}{\color{Blue} -\varepsilon\left(a_n+L\right)<a_n^2-L^2< \varepsilon \left(a^n+L\right)}\end{equation}
    נשים לב שמתקיים:
    $$-\varepsilon<a_n-L<\varepsilon\Longrightarrow- \varepsilon+2L<a_n+L< \varepsilon+2L$$
    נציב חזרה בביטוי:
    $$-\varepsilon \left(a_n+L\right)<a_n^2-L^2< \varepsilon \left(a^n+L\right)$$
    $$-\varepsilon \left(-\varepsilon+2L\right)<a_n^2-L^2< \varepsilon \left( \varepsilon+2L\right)$$

    $$-\left( \varepsilon^2+2L\varepsilon \right)=-\varepsilon^2-2L \varepsilon < \varepsilon^2-2L\varepsilon <a_n^2-L^2<\varepsilon^2+2L \varepsilon $$

    נקבע $\varepsilon '=\varepsilon^2+2L\varepsilon$ ונקבל שלכל $n\ge n_\varepsilon$ מתקיים:
    $$\left|a_n^2-L^2\right|<\varepsilon '$$
    נערך לאחרונה על ידי ThePrince, 09-12-2018 בשעה 21:32 סיבה: ההוכחה לא נכונה, יש מספר טעויות, אני משאיר את התגובה שיכולו ללמוד מהטעויות שלי
    אהבתי Ramonaa01, הוכחת גבול של סדרהavishay12456הוכחת גבול של סדרה, אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  6. #5
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי ThePrince צפה בהודעה
    בקשר למה שנאמר לעיל: אם סדרה חסומה זה לא אומר שהיא מתכנסת. (למרות שכל סדרה מתכנסת היא חסומה).




    אני הוכיח לפי הגדרת הגבול:
    לכל $n\ge n_{\varepsilon}$
    \begin{align*}
    \left|a_n-L\right|<\varepsilon \Longrightarrow-\varepsilon<a_n-L<\varepsilon \\
    \end{align*}
    נכפיל את שני האגפים ב-$a_n+L$:
    \begin{equation}{\color{Blue} -\varepsilon\left(a_n+L\right)<a_n^2+L^2< \varepsilon \left(a^n+L\right)}\end{equation}
    נשים לב שמתקיים:
    $$-\varepsilon<a_n-L<\varepsilon\Longrightarrow- \varepsilon+2L<a_n+L< \varepsilon+2L$$
    נציב חזרה בביטוי:

    $$-\varepsilon \left(a_n+L\right)<a_n^2+L^2< \varepsilon \left(a^n+L\right)$$
    $$-\varepsilon \left(-\varepsilon+2L\right)<a_n^2+L^2< \varepsilon \left( \varepsilon+2L\right)$$

    $$-\left( \varepsilon^2+2L\varepsilon \right)=-\varepsilon^2-2L \varepsilon < \varepsilon^2-2L\varepsilon <a_n^2+L^2<\varepsilon^2+2L \varepsilon $$

    נקבע $\varepsilon '=\varepsilon^2+2L\varepsilon$ ונקבל שלכל $n\ge n_\varepsilon$ מתקיים:
    $$\left|a_n^2+L^2\right|<\varepsilon '$$

    הבנתי, תודה רבה על ההסבר והעזרה.
    אהבתי ThePrince אהב \ אהבו את התגובה
     

  7. #6
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל

    כל הכבוד על הפתרון. רק שים לב שצריך להתייחס בנפרד למקרה שבו $a_n+L=0$ (הכפלת בביטוי הזה באחד השלבים). זה עלול לקרות מספר לא סופי של פעמים כאשר L=0 ולכן צריך להתייחס למקרה הזה בנפרד.

    ברשותך, רק אבהיר את ההכוונה שלי: אמרתי שנשתמש בכך ש-$a_n$ חסומה (נובע מההתכנסות שלה) כדי לחסום את $|a_n^2-L^2|$ ע"י אפסילון (כלומר נראה התכנסות לפי הגדרה).


    הפתרון אליו ניסיתי לכוון: נתון כי $a_n$ מתכנסת ולכן היא חסומה, נסמן את החסם ב-M>0.
    נשים לב כי:
    $$
    |a_n^2-L^2|=|a_n-L||a_n+L|\leq |a_n-L|(|a_n|+|L|)\leq |a_n-L|(M+|L|)
    $$

    מהתכנסות $a_n$ אנחנו יודעים כי קיים N כך שלכל n>N מתקיים:
    $$
    |a_n-L|<\frac{\epsilon}{M+|L|}
    $$

    ומכאן שלכל n>N מתקיים:
    $$
    |a_n^2-L^2|\leq |a_n-L|(M+|L|)<\frac{\epsilon}{M+|L|}(M+|L|)=\epsilon
    $$

    כנדרש.
    נערך לאחרונה על ידי avishay12456, 06-12-2018 בשעה 19:32
    אהבתי הוכחת גבול של סדרהYes, אריאל, ThePrince אהב \ אהבו את התגובה
     

  8. #7
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ברצוני להודות ל-avishay על הערות והתיקונים שהובילו אותי לדרך הבאה: נשים לב שמתקיים:
    $$\left|a_n^2-L^2\right| =\left|\left(a_n-L\right) \left(a_n+L\right) \right|=\left|a_n-L\right| \left|a_n+L\right|<\left|a_n+L\right| \varepsilon$$
    $$\left|a_n+L\right| =\left|a_n-L+2L\right| \overset{(*)}{\le}\left|a_n-L\right| +\left|2L\right|<\varepsilon+\left|2L\right|$$

    כאשר $ (*) $ מתקיים לפי אי שוויון המשולש, סה"כ נקבל:
    $$ \left|a_n^2-L^2\right| < \left( \varepsilon+\left|2L\right|\right) \varepsilon\ $$
    ועבור $ n $ מספיק גדול, הטענה מתקיימת

    (מוזמים לחשוב כמה $n$ צריך להיות גדול)
    נערך לאחרונה על ידי ThePrince, אתמול בשעה 12:35

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 9

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו