מציג תוצאות 1 עד 9 מתוך 9

אשכול: תרגיל אינפי 1מ - פונקציית האקספוננט

  1. #1
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל תרגיל אינפי 1מ - פונקציית האקספוננט

    שלום חברים.

    מצורפת בזאת שאלה שהופיעה לי במבחן מועד א' באינפי 1.

    לצערי השאלה בסעיף א' שלה עד כה לא ברורה לי ואיני יודע להתמודד עמה.
    עם סעיף ב' הלכתי והסתבכתי, בפרט ב-ב'2.

    אשמח לעזרה והסבר בתרגיל.

    תודה רבה.
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: png שאלה מאינפי1 מועד א.png‏ (70.0 ק"ב , 23 צפיות) מו (א) עבור R € = נגדיר את הפונקציה (exp (z על ידי "(=+1) exp (z)=lim . ( נתון שהגבול קיים במובן הצר עבור כל R € , אין צורך להוכיח זאת! ). (2) הוכיחו כי exp גזירה ב־ 0. (אין צורך להוכיח את אי־השוויונים עליהם מתבססת ההוכחה, אך יש לצטט אותם במדויק) (2i) הוכיחו כי exp גזירה בכל To €R . (ב) נסמן {A= { { [e N . תהי (en) סדרה כך ש־ am €A עבור כל n טבעי. (:) יהי. L e IR כך ש־ 0>L. הוכיחו ש־ L איננו גבול חלקי של (an). " - - (12) יהי Le IR > 0 כך ש־ LG A. הוכיחו ש־ L איננו גבול חלקי של 1-(an).


  2. #2
    הסמל האישי שלYes מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    לגבי א', אני לא יודע לאיזה אי-שוויונות התכוון המרצה כי אני לא יודע איך למדתם את זה, אבל מן הסתם יש הרבה דרכים להוכיח.

    נתון שהגבול $\text{exp}(x)$ קיים, אז נגדיר $\text{exp}(1):=e$. מכאן נשים לב לתכונה הבאה:
    $$\text{exp}(x) = \lim\limits_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n}= \lim\limits_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{x}} \right)^{n} = \lim\limits_{n\to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{x}} \right)^{\frac{n}{x}} \right)^{x}= \left( \lim\limits_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{x}} \right)^{\frac{n}{x}} \right)^{x} = e^x$$

    לכן בסך הכל קיבלנו $\text{exp}(x)=e^x$. נוכיח גזירות ב-$x\in\mathbb{R}$:
    $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{\text{exp}(x+h)-\text{exp}(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim\limits_{h\to 0} e^x \cdot \frac{e^h-1}{h} = e^x \lim\limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}$$
    לכן כל מה שצריך להראות זה שהגבול $\lim\limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}$ קיים. אני אשאיר את זה לך - רמז: תשתמש בהגדרת הגבול של היינה (אבל לא חייב, אפשר עם קצת אי-שוויונות להגיע לאותה תוצאה).

    זה מוכיח את שני תתי-הסעיפים של א'.


    לגבי ב'-2, אפשר ללכת על דרך השלילה. נניח ש-$L$ כן גבול חלקי של $a_n$. אז קיימת תת-סדרה $a_{n_k}$ כך ש-$\lim\limits_{k\to\infty} a_{n_k}=L$. לפי משפט שבטח למדתם, ואם לא אז קל להוכיח, בכל סביבה של $L$ יש אינסוף מאיברי $a_{n_k}$. אבל $\{a_{n_k}\}\subset \{a_n\} \subset A$ וב-$A$ אין נקודה שבסביבתה אינסוף איברים (כל הנקודות הן נקודות מבודדות). זו סתירה, ולכן לא ייתכן ש-$L$ גבול חלקי של $a_n$.
    נערך לאחרונה על ידי Yes, 19-02-2019 בשעה 20:21
    אהבתי Helpme אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #3
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Yes צפה בהודעה
    לגבי א', אני לא יודע לאיזה אי-שוויונות התכוון המרצה כי אני לא יודע איך למדתם את זה, אבל מן הסתם יש הרבה דרכים להוכיח.

    נתון שהגבול $\text{exp}(x)$ קיים, אז נגדיר $\text{exp}(1):=e$. מכאן נשים לב לתכונה הבאה:
    $$\text{exp}(x) = \lim\limits_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n}= \lim\limits_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{x}} \right)^{n} = \lim\limits_{n\to \infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{x}} \right)^{\frac{n}{x}} \right)^{x}= \left( \lim\limits_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\frac{n}{x}} \right)^{\frac{n}{x}} \right)^{x} = e^x$$

    לכן בסך הכל קיבלנו $\text{exp}(x)=e^x$. נוכיח גזירות ב-$x\in\mathbb{R}$:
    $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{\text{exp}(x+h)-\text{exp}(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim\limits_{h\to 0} e^x \cdot \frac{e^h-1}{h} = e^x \lim\limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}$$
    לכן כל מה שצריך להראות זה שהגבול $\lim\limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}$ קיים. אני אשאיר את זה לך - רמז: תשתמש בהגדרת הגבול של היינה (אבל לא חייב, אפשר עם קצת אי-שוויונות להגיע לאותה תוצאה).

    זה מוכיח את שני תתי-הסעיפים של א'.


    לגבי ב'-2, אפשר ללכת על דרך השלילה. נניח ש-$L$ כן גבול חלקי של $a_n$. אז קיימת תת-סדרה $a_{n_k}$ כך ש-$\lim\limits_{k\to\infty} a_{n_k}=L$. לפי משפט שבטח למדתם, ואם לא אז קל להוכיח, בכל סביבה של $L$ יש אינסוף מאיברי $a_{n_k}$. אבל $\{a_{n_k}\}\subset \{a_n\} \subset A$ וב-$A$ הנקודה היחידה שבסביבתה אינסוף איברים היא $0$ ונתון ש-$L\notin A$ ולכן $L\neq 0$. זו סתירה, ולכן לא ייתכן ש-$L$ גבול חלקי של $a_n$.
    קודם כל, תודה רבה.

    לגבי אקספוננט, ראיתי שלמעשה הגדרת את אקספוננט ב-1 להיות קבוע אוילר, נראה לי שזה מעין הגדרה שלא חוקי לקבוע כך.
    הגבול שהשארת לי להראות שקיים, זה בדיוק מה שנתקעתי בו במבחן, לא ידעתי איך. איך היינה קשור לזה.
    באופן כללי, המיומנות שלי בשימוש בהיינה מאוד לוקה בחסר, ויש לי פחד מאפיון היינה.


    לגבי ב'2., בשתי השורות האחרונות אמרת, בקבוצה A הנקודה היחידה שבסביבתה יש אינסוף איברים היא 0.
    דבר ראשון, התכוונת רק סביבה ימנית של 0, כן?
    דבר שני, 0 לא שייך ל-A. אז עצם היות הגבול L לא שייך ל-A, לא אומר שהוא בהכרח שונה מ-0, כי 0 גם לא שייך ל-A.

    או שלא הבנתי כראוי את הסתירה (?).

    תודה!


  4. #4
    הסמל האישי שלYes מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    לא הגדרתי אותו בתור קבוע אויילר, אלא באות $e$. באותה מידה זה היה יכול להיות $\alpha$ או כל סימן שתבחר. כמו שאמרתי, אתה לא חייב להשתמש בהגדרה של היינה, אבל זה מקל מאוד. תעבור על ההגדרה ותנסה להשתמש בה.

    לגבי ב', אתה צודק. $0$ באמת לא ב-$A$, אבל זה לא משנה מאוד. תיקנתי בהודעה המקורית. בקשר לעניין של סביבה ימנית או אחרת, זה לא משנה. כשאומרים סביבה מתכוונים לכל קבוצה פתוחה שמכילה את הנקודה, בפרט "סביבה ימנית".
    נערך לאחרונה על ידי Yes, 19-02-2019 בשעה 20:22
    אהבתי Helpme אהב \ אהבו את התגובה
     

  5. #5
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Yes צפה בהודעה
    לא הגדרתי אותו בתור קבוע אויילר, אלא באות $e$. באותה מידה זה היה יכול להיות $\alpha$ או כל סימן שתבחר. כמו שאמרתי, אתה לא חייב להשתמש בהגדרה של היינה, אבל זה מקל מאוד. תעבור על ההגדרה ותנסה להשתמש בה.

    לגבי ב', אתה צודק. $0$ באמת לא ב-$A$, אבל זה לא משנה מאוד. תיקנתי בהודעה המקורית. בקשר לעניין של סביבה ימנית או אחרת, זה לא משנה. כשאומרים סביבה מתכוונים לכל קבוצה פתוחה שמכילה את הנקודה, בפרט "סביבה ימנית".
    אני לא יודע מה יכול לעזור לי אם אני אכניס איזו שהיא סדרה לסיפור הזה, כלומר לא יודע איך היינה עוזר בזה.
    אשמח שתראה לי דרך כי תאמין לי שאין לי רעיון.

    מה זה אין נקודה שבסביבתה אינסוף איברים? זה משהו שצריך להוכיח ולהסביר. זה גם נראה מאוד מוזר כי זה גבול חלקי מסוים שמדברים עליו,ולא סתם גבול חלקי.

    כלומר, אתה טוען פה משהו הרבה יותר חזק - לא ייתכן בכלל גבול חלקי מסוים לסדרה הזאת.
    ושוב, נימוק כמו: "
    אין נקודה שבסביבתה אינסוף איברים (כל הנקודות הן נקודות מבודדות)"

    מקבל אצלנו אפס
    נערך לאחרונה על ידי Helpme, 19-02-2019 בשעה 20:34


  6. #6
    הסמל האישי שלYes מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני לא מוכיח במבחן. אני נותן לך את הכיוון. לא טענתי שההוכחה שלי פורמלית לחלוטין. אתה צריך לעבוד ולהשלים את הפרטים.

    בכל אופן, איך מוכיחים ש"אין נקודה שבסביבתה אינסוף איברים", או במילים אחרות שכל נקודה ב-$A$ היא מבודדת? זה לכל היותר שורה אחת או שתיים. רמז: תסתכל על נקודה כלשהי ב-$A$. לכל נקודה ב-$A$ אפשר למצוא סביבה שמכילה מספר סופי של נקודות (כלומר, $A$ היא קבוצה דלילה). זה מאוד פשוט, ואתה צריך לדעת לעשות את זה.
    דבר נוסף, לא טענתי שאין גבול חלקי לסדרה. והאמת שייתכן ש-0 הוא גבול חלקי של $a_n$ כי $0$ היא נקודת הצטברות של $A$. אמנם הוא לא שייך ל-$A$, אבל הוא כן גבול חלקי. כשדבר כזה קורה, אנחנו אומרים שהקבוצה $A$ היא לא סגורה. אני לא בטוח אם הזכרתם את המונחים האלה בקורס, אבל סתם שתדע אם בא לך לבדוק יותר.

    לגבי הגבול $\lim\limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}$, יש לו די הרבה הוכחות. לפי הכתוב בשאלה אני מניח שלמדתם דברים שיאפשרו לך להוכיח את זה בדרך "הקלאסית", כלומר עם הבינום של ניוטון ולהראות שהדבר הזה החל ממקום מסויים קטן מ-$|h|$. אבל יש הרבה הוכחות אחרות.
    הנה למשל דרך שראיתי פעם באיזה ספר (נראה לי...) שלא משתמשת בהיינה ולא בבינום, והיא יפה מאוד לדעתי, ובעיקר פשוטה. מבצעים את החלפת משתנים $(e^h-1)^{-1} \leftrightarrow k$. קל לראות שכאשר $h$ שואף לאפס, $k$ שואף לאינסוף. בנוסף, $e^h=1+\frac{1}{k}$. לכן נוכל לרשום את הגבול שלנו:

    $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}=\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{1}{k}}{\log_{e} (1+\frac{1}{k})}= \lim\limits_{k\to \infty} \frac{1}{k\log_{e} (1+\frac{1}{k})} = \lim\limits_{k\to \infty} \frac{1}{\log_{e} \left((1+\frac{1}{k})^{1/k}\right)} = \\ \frac{1}{\log_{e} \left(\lim\limits_{k\to \infty} (1+\frac{1}{k})^{1/k}\right)} = \frac{1}{\log_{e} e } = 1$$
    וזה סוגר לך את ההוכחה של א'.
    אהבתי Helpme אהב \ אהבו את התגובה
     

  7. #7
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Yes צפה בהודעה
    אני לא מוכיח במבחן. אני נותן לך את הכיוון. לא טענתי שההוכחה שלי פורמלית לחלוטין. אתה צריך לעבוד ולהשלים את הפרטים.

    בכל אופן, איך מוכיחים ש"אין נקודה שבסביבתה אינסוף איברים", או במילים אחרות שכל נקודה ב-$A$ היא מבודדת? זה לכל היותר שורה אחת או שתיים. רמז: תסתכל על נקודה כלשהי ב-$A$. לכל נקודה ב-$A$ אפשר למצוא סביבה שמכילה מספר סופי של נקודות (כלומר, $A$ היא קבוצה דלילה). זה מאוד פשוט, ואתה צריך לדעת לעשות את זה.
    דבר נוסף, לא טענתי שאין גבול חלקי לסדרה. והאמת שייתכן ש-0 הוא גבול חלקי של $a_n$ כי $0$ היא נקודת הצטברות של $A$. אמנם הוא לא שייך ל-$A$, אבל הוא כן גבול חלקי. כשדבר כזה קורה, אנחנו אומרים שהקבוצה $A$ היא לא סגורה. אני לא בטוח אם הזכרתם את המונחים האלה בקורס, אבל סתם שתדע אם בא לך לבדוק יותר.

    לגבי הגבול $\lim\limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}$, יש לו די הרבה הוכחות. לפי הכתוב בשאלה אני מניח שלמדתם דברים שיאפשרו לך להוכיח את זה בדרך "הקלאסית", כלומר עם הבינום של ניוטון ולהראות שהדבר הזה החל ממקום מסויים קטן מ-$|h|$. אבל יש הרבה הוכחות אחרות.
    הנה למשל דרך שראיתי פעם באיזה ספר (נראה לי...) שלא משתמשת בהיינה ולא בבינום, והיא יפה מאוד לדעתי, ובעיקר פשוטה. מבצעים את החלפת משתנים $(e^h-1)^{-1} \leftrightarrow k$. קל לראות שכאשר $h$ שואף לאפס, $k$ שואף לאינסוף. בנוסף, $e^h=1+\frac{1}{k}$. לכן נוכל לרשום את הגבול שלנו:

    $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}=\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{1}{k}}{\log_{e} (1+\frac{1}{k})}= \lim\limits_{k\to \infty} \frac{1}{k\log_{e} (1+\frac{1}{k})} = \lim\limits_{k\to \infty} \frac{1}{\log_{e} \left((1+\frac{1}{k})^{1/k}\right)} = \\ \frac{1}{\log_{e} \left(\lim\limits_{k\to \infty} (1+\frac{1}{k})^{1/k}\right)} = \frac{1}{\log_{e} e } = 1$$
    וזה סוגר לך את ההוכחה של א'.
    לגבי הפסקה הראשונה, הטיעון הזה נראה אינטואיטיבי, לגבי איך אני מראה אותו פורמלית - אין לי ממש רעיון, אולי ארכימדיות או משהו כזה...

    לגבי החלק השני, האמת היא שלא נכנסנו בעובי הקורה בענייני לוג ו-לאן בקורס ככה שמבחינת פורמליות בגבולות כאן זה די זר לי.
    אשמח לראות איך היינה למשל יכול לפתור את זה.
    למשל אם אני מציב במקום h את הסדרה אחת חלקי שתיים בחזקת אן. אני רק לא רואה איך זה תורם לי.

    תודה רבה.


  8. #8
    הסמל האישי שלYes מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אתה לומד לתואר ראשון (לפי שם הקורס זה משהו בסגנון של הנדסת חשמל/מדעי המחשב/פיזיקה)... מצפים ממך לדעת מה זה לוגריתם ולדעת אפילו הרבה יותר כמו למשל שזו פונקציה רציפה וגזירה בתחום הגדרתה (אבל גם לא קשה להוכיח את זה), גם אם לא ממש התנסתם בה יותר מדי בקורס.
    לגבי היינה, תראה ניסיון שלך, איפה אתה נתקע וכו'. תזכור להשתמש בהגדרה המקורית שלך בשאלה לאקספוננט. שם טמון המפתח.

    לגבי הקטע של להראות שכל נקודה ב-$A$ היא מבודדת. אז ניקח נקודה כלשהי $\frac{1}{k} \in A$ כאשר $k\in \mathbb{N}$ (וכל הנקודות הן מהצורה הזו). איך נראה שהנקודה הזו מבודדת? ניקח למשל את הסביבה $I = \{ x \in \mathbb{R} : |x-\frac{1}{k}| < \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \}$. כלומר, הנקודות מסביב לנקודה שבחרנו שמרחקן מהנקודה הוא לכל היותר $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. איזה נקודות מ-$A$ שייכות ל-$I$? מהי $|I|$?

  9. #9
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Yes צפה בהודעה
    אתה לומד לתואר ראשון (לפי שם הקורס זה משהו בסגנון של הנדסת חשמל/מדעי המחשב/פיזיקה)... מצפים ממך לדעת מה זה לוגריתם ולדעת אפילו הרבה יותר כמו למשל שזו פונקציה רציפה וגזירה בתחום הגדרתה (אבל גם לא קשה להוכיח את זה), גם אם לא ממש התנסתם בה יותר מדי בקורס.
    לגבי היינה, תראה ניסיון שלך, איפה אתה נתקע וכו'. תזכור להשתמש בהגדרה המקורית שלך בשאלה לאקספוננט. שם טמון המפתח.

    לגבי הקטע של להראות שכל נקודה ב-$A$ היא מבודדת. אז ניקח נקודה כלשהי $\frac{1}{k} \in A$ כאשר $k\in \mathbb{N}$ (וכל הנקודות הן מהצורה הזו). איך נראה שהנקודה הזו מבודדת? ניקח למשל את הסביבה $I = \{ x \in \mathbb{R} : |x-\frac{1}{k}| < \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \}$. כלומר, הנקודות מסביב לנקודה שבחרנו שמרחקן מהנקודה הוא לכל היותר $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. איזה נקודות מ-$A$ שייכות ל-$I$? מהי $|I|$?
    חחח כן... מדעי המחשב.

    טוב אז אפשר לומר ש-e^h זה למעשה הגבול של אחת פלוס h, בחזקת ההופכי של h, כאשר h שואף לאפס.
    נציב במקומו של h את הסדרה המתכנסת לאפס: אחת חלקי 2 בחזקת n.
    פה אני עושה קפיצה, לא יודע אם חוקית, אני טוען עכשיו שהגבול של הביטוי הזה, כאשר n שואף לאינסוף, הוא קבוע אוילר.
    נגיד שאני מפעיל עכשיו את אי שוויון ברנולי: אני מקבל, קבוע אוילר גדול-שווה לאחת פלוס אחת חלקי ארבע בחזקת n.
    עכשיו, לא הכי ברור לי איך להמשיך, אולי לחסר אחת ולחלק באחת חלקי שתיים בחזקת n ולראות איך זה מקדם אותי, אבל לא נראה הכיוון.

    לגבי הפסקה השנייה, עושה רושם שאף x לא שייך ל-A. כי לקחת שני עוקבים בדידים בקבוצה A והסתכלת על כל מה שביניהם. אבל הקבוצה בדידה שם ואין מה ש"ביניהם"..


מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 9

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו