הוכחת גבול על פי הגדרה

[PaRaMeter]

שלום,

אודה לעזרתכם בהוכחת גבול על פי הגדרה של 2 התרגילים.
תודה!

גבול.png

[Helpme]

שלום,

אודה לעזרתכם בהוכחת גבול על פי הגדרה של 2 התרגילים.
תודה!

גבול.png

תתחיל מלקחת דלתא סביבה למשל קטנה מחצי

[PaRaMeter]

לפני הדלתא אני צריך לקחת ש- f(x)>M, ואז לבודד את ה- x. אבל מתקבלת פה משוואה ריבועית ואינני יכול לבודד את ה- x.
לא נתקלתי במקרים כאלו, בגלל זה אני לא יודע איך לגשת לפתרון עוד לפני הדלתא.

[Helpme]

לפני הדלתא אני צריך לקחת ש- f(x)>M, ואז לבודד את ה- x. אבל מתקבלת פה משוואה ריבועית ואינני יכול לבודד את ה- x.
לא נתקלתי במקרים כאלו, בגלל זה אני לא יודע איך לגשת לפתרון עוד לפני הדלתא.

תעלה ניסיון של מה שניסית לעשות

[ThePrince]

סעיף ב'

צריך להוכיח: לכל $M>0$ קיים $\delta>0$ כך שאם $0<\left|x-1\right|<\delta$ אז $f(x)>M$
מתקיים:
$$\frac{2\left(x-1\right)+3}{\left(x-1\right)^2}\ge\frac{2\delta+3}{\left(x-1\right)^2}>M$$
$$2\delta+3>M\left(x-1\right)^2<M\delta^2$$
לפיכך נדרוש טענה חזקה יותר $2\delta+3>M\delta^2$ נקבל משוואה ריבועית כתלות ב-$\delta$:
$$M\delta^2-2\delta-3<0$$
היות ו-$M>0$ הפרבולה "מחייכת" ולכן מספיק להראות:
$$\frac{1-\sqrt{3M+1}}{M}<\delta<\frac{1+\sqrt{3M+1}}{M}$$
נבחר לדוגמה $\delta=\frac{2}{M}$.

- - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

אם למישהו יש דרך אחרת אשמח לראות

- - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

לפני הדלתא אני צריך לקחת ש- f(x)>M, ואז לבודד את ה- x. אבל מתקבלת פה משוואה ריבועית ואינני יכול לבודד את ה- x.
לא נתקלתי במקרים כאלו, בגלל זה אני לא יודע איך לגשת לפתרון עוד לפני הדלתא.

למה אתה לא יכול לבודד את $x$?
מסכים עם Helpme, כדאי שתעלה את מה שניסית לעשות.

[PaRaMeter]

ThePrince - תודה רבה. לא עלה בדעתי משום מה להציב את דלתא במקום x-1 ואז לשחק עם גדול וקטן.

אני משום מה תמיד רגיל לבטח שהפונקציה גדולה מ- M ואז לבטא את x בעזרת M באי שיוויון.

[Helpme]

ThePrince - תודה רבה. לא עלה בדעתי משום מה להציב את דלתא במקום x-1 ואז לשחק עם גדול וקטן.

אני משום מה תמיד רגיל לבטח שהפונקציה גדולה מ- M ואז לבטא את x בעזרת M באי שיוויון.

מה ש-ThePrince עשה זאת דרך בעיניי מאוד מתוחכמת ולא טריוויאלית.
כדאי שתסגל לעצמך את החשיבה שהדלתא היא לרשותך, ולא אתה לרשותה.
ברגע שתבין שאתה האדון על הדלתא, נשארו לך רק קצת משחקים של אי שוויונים מתאימים כדי להגיע לרצוי.
דרך אגב, ThePrince שכח לציין אבל כדאי לדייק כי זה חשוב לך הבנתית, הערך המוחלט של X מינוס 1, לא רק שהוא קטן מדלתא, אלא הוא גם ממש גדול מ-0.
כי מדובר בגבול בנקודה, ולכן זאת סביבה מנוקבת של הנקודה.

[ThePrince]

צודק, אתקן.
אשמח שתעלה דרך אחרת

[PaRaMeter]

כן כן, ברור שהוא גדול ממש מ- 0.

תודה על ההסבר המפורט!

[Helpme]

צודק, אתקן.
אשמח שתעלה דרך אחרת

מצורף בזאת

[ThePrince]

מאיפה הגיע הרבע?

[Helpme]

מאיפה הגיע הרבע?

דרשנו בתור התחלה שיהיה קטן מחצי.
אחר כך הוא צריך לקיים שהוא קטן מההופכי של M.
אם ההופכי של M כפול חצי כבר מקיים שהוא קטן מחצי, דהיינו.
אם הוא לא מקיים שהוא קטן מחצי, נדרוש את זה, על ידי רבע למשל.
ומכל מקום אנחנו רואים שרבע אם כן קטן מההופכי של M, ובכך מתקיימת הדרישה של ההגדרה.

[ThePrince]

למה ההופכי של $M$ כפול חצי אמור להיות קטן מחצי, אני מסכים שההופכי של $M$ קטן מ-$\delta$ שקטנה מחצי.

וחוץ מיזה המעבר $\frac{2x}{\delta^2}<\frac{1}{\delta}$ לא נראה לי נכון

תשקול את הדוגמה הבאה:

$x=0.6$ ו-$\delta=\frac{4}{3}$ אתה מקבל פסוק שקר.

אבל אולי בגלל זה עשית את המקרה של הרבע שעוד לא הבנתי.

[Helpme]

למה ההופכי של $M$ כפול חצי אמור להיות קטן מחצי, אני מסכים שההופכי של $M$ קטן מ-$\delta$ שקטנה מחצי.

וחוץ מיזה המעבר $\frac{2x}{\delta^2}<\frac{1}{\delta}$ לא נראה לי נכון

תשקול את הדוגמה הבאה:

$x=0.6$ ו-$\delta=\frac{4}{3}$ אתה מקבל פסוק שקר.

אבל אולי בגלל זה עשית את המקרה של הרבע שעוד לא הבנתי.

ראשית שים לב שהמעבר שכתבת שעשיתי לא נכון, כתבת סימן אי שוויון הפוך ממה שאני כתבתי.
הדוגמה הנגדית שהבאת לא נוגעת בטענה שלי, כי בטענה שלי אני חי בסביבה שקטנה מחצי, בזמן שנתת סביבה שהיא אחת ושליש.
שים לב שהמעבר הזה נכון בדיוק משום שהסביבה לא גדולה יותר מחצי, דלתא בריבוע במקרה כזה קטנה יותר ולכן השבר השמאלי גדול יותר, ובמונה פתאום צץ 1 כי האיקס הכי קטן שיכול להיות, בהינתן סביבה מקסימלית של חצי, הוא חצי, וחצי כפול שתיים זה מה שנקרא 1.

לגבי המינימום: דלתא שווה למינימום בין השניים זה אומר במילים אחרות:
delta <= 1/2M
שזה בתורו קטן מההופכי של M.
כנדרש.