
פורסם במקור על ידי
am12348
שלום רב,
הרעיון הכללי שלך נכון, אבל בסדר ההוכחה יש חוסר.
כמ כן לא צריך להתחיל בהוכחה לבעיה הנוכחית ב"יהי אפסילון גדול מ-0" כי אתה לא נדרש להוכיח גבול אלא
קיום מקום מסוים בסדרה שממנו והלאה מתקיים משהו
אציע כאן דרך להוכחה תעבור על זה ואם משהו אינו ברור תעלה תגובה לאשכול
נתון
$L>Kִ\to\frac{L-K}{2}>0$
וכן
$b_n \to K$
לכן קיים N1 טבעי כך שלכל
$n>N1$
מתקיים
$|b_n-K|<\frac{L-K}{2}$
או בצורה אחרת
$K-\frac{L-K}{2}<b_n<K+\frac{L-K}{2}$
נתון
$a_n \to L$
לכן קיים N2 טבעי כך שלכל
$n>N2$
מתקיים
$|a_n-L|<\frac{L-K}{2}$
או בצורה אחרת
$L-\frac{L-K}{2}<a_n<L+\frac{L-K}{2}$
כמו שנדרש בשאלה, אנו צריכים להצביע על מקום מסוים בסדרות הנ"ל שממנו והלאה מתקיים לכל n
$a_n>b_n$
נבחר אם כן
$N=max(N1,N2)$
אזי לכל
$n>N$
מתקיים
$a_n - b_n>L-\frac{L-K}{2}-(K+\frac{L-K}{2})=L-K-\frac{L-K}{2}-\frac{L-K}{2}=L-K-(\frac{L-K}{2}+\frac{L-K}{2})=L-K-(L-K)=0$
שים לב משווים את האיבר הכללי של הסדרה a למשהו קטן ממנו ומחסירים ממנו משהו שגדול מהאיבר הכללי של הסדרה b. ומכאן נובע האי שוויון
דהיינו החל מאותו N טבעי שהצבענו עליו מתקיים עבור כל
$n>N$
$a_n - b_n>0$
מש"ל
בברכה,
עמוס
סימניות