האם ההוכחה נכונה- הוכחת גבולות בסדרות

[shaya1701]

היי .. אני מעלה לפה שאלה עם פיתרון שכתבתי, בעקרון ההתלבטות שלי היא אם מה שעשיתי נכון ו"חוקי", כי בעקרון בדר"כ אני יודע שאסור להגדיר אפסילון ספציפי בהוכחות, אבל כאן זה נראה לי אפשרי, אך אני לא בטוח, אשמח לדעת אם זה אפשרי, ואם לא מה הדרך, בנוסף התקשיתי לנסות להוכיח בשלילה כי "החל ממקום מסויים" דורש ממני להראות שלכל מקום זה לא מתקיים...

[shaya1701]

שלום רב,

הרעיון הכללי שלך נכון, אבל בסדר ההוכחה יש חוסר.
כמ כן לא צריך להתחיל בהוכחה לבעיה הנוכחית ב"יהי אפסילון גדול מ-0" כי אתה לא נדרש להוכיח גבול אלא
קיום מקום מסוים בסדרה שממנו והלאה מתקיים משהו


אציע כאן דרך להוכחה תעבור על זה ואם משהו אינו ברור תעלה תגובה לאשכול


נתון
$L>Kִ\to\frac{L-K}{2}>0$

וכן
$b_n \to K$

לכן קיים N1 טבעי כך שלכל
$n>N1$
מתקיים



$|b_n-K|<\frac{L-K}{2}$

או בצורה אחרת
$K-\frac{L-K}{2}<b_n<K+\frac{L-K}{2}$

נתון
$a_n \to L$

לכן קיים N2 טבעי כך שלכל


$n>N2$

מתקיים


$|a_n-L|<\frac{L-K}{2}$

או בצורה אחרת
$L-\frac{L-K}{2}<a_n<L+\frac{L-K}{2}$

כמו שנדרש בשאלה, אנו צריכים להצביע על מקום מסוים בסדרות הנ"ל שממנו והלאה מתקיים לכל n
$a_n>b_n$

נבחר אם כן
$N=max(N1,N2)$
אזי לכל
$n>N$
מתקיים
$a_n - b_n>L-\frac{L-K}{2}-(K+\frac{L-K}{2})=L-K-\frac{L-K}{2}-\frac{L-K}{2}=L-K-(\frac{L-K}{2}+\frac{L-K}{2})=L-K-(L-K)=0$

שים לב משווים את האיבר הכללי של הסדרה a למשהו קטן ממנו ומחסירים ממנו משהו שגדול מהאיבר הכללי של הסדרה b. ומכאן נובע האי שוויון

דהיינו החל מאותו N טבעי שהצבענו עליו מתקיים עבור כל
$n>N$

$a_n - b_n>0$

מש"ל

בברכה,
עמוס

אוקיי, מדהים! אז בעיקרון הרעיון הכללי שלי לבחור את "האפסילון" ולקחת את המקסימום ומשם זה מתקיים הוא נכון רק שהניסוח שלי מסורבל ופשוט לא מסודר היטב בצורה לוגית...אהבתי ממש את השימוש בחיסור הסדרות על מנת להגיע לאפס (שזה מה שניסיתי רק עם המון סירבול)..
אני מצרף פה סידור של מה שרשמתי ואשמח לדעת אם ככה זה נכון מבחינתך. חוץ מזה תודה רבה!

[ThePrince]

מה שרשום לא נכון, יחד עם זאת הרעיון הכללי שלך נכון, פשוט הסדר הלוגי של הגרירות לא נכון, וזה כמעט ולא קריא.

[am12348]

שלום רב,

הרעיון הכללי שלך נכון, אבל בסדר ההוכחה יש חוסר.
כמ כן לא צריך להתחיל בהוכחה לבעיה הנוכחית ב"יהי אפסילון גדול מ-0" כי אתה לא נדרש להוכיח גבול אלא
קיום מקום מסוים בסדרה שממנו והלאה מתקיים משהו


אציע כאן דרך להוכחה תעבור על זה ואם משהו אינו ברור תעלה תגובה לאשכול


נתון
$L>Kִ\to\frac{L-K}{2}>0$

וכן
$b_n \to K$

לכן קיים N1 טבעי כך שלכל
$n>N1$
מתקיים



$|b_n-K|<\frac{L-K}{2}$

או בצורה אחרת
$K-\frac{L-K}{2}<b_n<K+\frac{L-K}{2}$

נתון
$a_n \to L$

לכן קיים N2 טבעי כך שלכל


$n>N2$

מתקיים


$|a_n-L|<\frac{L-K}{2}$

או בצורה אחרת
$L-\frac{L-K}{2}<a_n<L+\frac{L-K}{2}$

כמו שנדרש בשאלה, אנו צריכים להצביע על מקום מסוים בסדרות הנ"ל שממנו והלאה מתקיים לכל n
$a_n>b_n$

נבחר אם כן
$N=max(N1,N2)$
אזי לכל
$n>N$
מתקיים
$a_n - b_n>L-\frac{L-K}{2}-(K+\frac{L-K}{2})=L-K-\frac{L-K}{2}-\frac{L-K}{2}=L-K-(\frac{L-K}{2}+\frac{L-K}{2})=L-K-(L-K)=0$

שים לב משווים את האיבר הכללי של הסדרה a למשהו קטן ממנו ומחסירים ממנו משהו שגדול מהאיבר הכללי של הסדרה b. ומכאן נובע האי שוויון

דהיינו החל מאותו N טבעי שהצבענו עליו מתקיים עבור כל
$n>N$

$a_n - b_n>0$

מש"ל

בברכה,
עמוס

[shaya1701]

שלום רב,

הרעיון הכללי שלך נכון, אבל בסדר ההוכחה יש חוסר.
כמ כן לא צריך להתחיל בהוכחה לבעיה הנוכחית ב"יהי אפסילון גדול מ-0" כי אתה לא נדרש להוכיח גבול אלא
קיום מקום מסוים בסדרה שממנו והלאה מתקיים משהו


אציע כאן דרך להוכחה תעבור על זה ואם משהו אינו ברור תעלה תגובה לאשכול


נתון
$L>Kִ\to\frac{L-K}{2}>0$

וכן
$b_n \to K$

לכן קיים N1 טבעי כך שלכל
$n>N1$
מתקיים



$|b_n-K|<\frac{L-K}{2}$

או בצורה אחרת
$K-\frac{L-K}{2}<b_n<K+\frac{L-K}{2}$

נתון
$a_n \to L$

לכן קיים N2 טבעי כך שלכל


$n>N2$

מתקיים


$|a_n-L|<\frac{L-K}{2}$

או בצורה אחרת
$L-\frac{L-K}{2}<a_n<L+\frac{L-K}{2}$

כמו שנדרש בשאלה, אנו צריכים להצביע על מקום מסוים בסדרות הנ"ל שממנו והלאה מתקיים לכל n
$a_n>b_n$

נבחר אם כן
$N=max(N1,N2)$
אזי לכל
$n>N$
מתקיים
$a_n - b_n>L-\frac{L-K}{2}-(K+\frac{L-K}{2})=L-K-\frac{L-K}{2}-\frac{L-K}{2}=L-K-(\frac{L-K}{2}+\frac{L-K}{2})=L-K-(L-K)=0$

שים לב משווים את האיבר הכללי של הסדרה a למשהו קטן ממנו ומחסירים ממנו משהו שגדול מהאיבר הכללי של הסדרה b. ומכאן נובע האי שוויון

דהיינו החל מאותו N טבעי שהצבענו עליו מתקיים עבור כל
$n>N$

$a_n - b_n>0$

מש"ל

בברכה,
עמוס

אוקיי, מדהים! אז בעיקרון הרעיון הכללי שלי לבחור את "האפסילון" ולקחת את המקסימום ומשם זה מתקיים הוא נכון רק שהניסוח שלי מסורבל ופשוט לא מסודר היטב בצורה לוגית...אהבתי ממש את השימוש בחיסור הסדרות על מנת להגיע לאפס (שזה מה שניסיתי רק עם המון סירבול)..
אני מצרף פה סידור של מה שרשמתי ואשמח לדעת אם ככה זה נכון מבחינתך. חוץ מזה תודה רבה!

[shaya1701]

אשמח למענה..

[אריאל]

הי שי,

הפתרון שלך נכון ודי דומה לפתרון של עמוס רק שבמקום חיסור יש השוואה.

אגב יכלת גם לבחור חלקי 2 ולא חלקי 3. הביטויים באמצע האי שוויון היו יוצאים שווים אך עדיין $ b_n < \frac{K+L}{2} $