מונטוניות של סדרה

[Galver]

an=sin(3n-9)
האם הסדרה מונוטונית ?

[am12348]

שלום רב,

נבחן את ההפרש בין שני איברים סמוכים

נשתמש בנוסחא

$sin\alpha - sin \beta=2sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cdot cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

$a_{n+1}-a_n=sin(3(n+1)-9)-sin(3n-9)=2sin\frac{3(n+1)-9-(3n-9)}{2} \cdot cos \frac{3(n+1)-9+3n-9}{2}$
$sin(1.5) \cdot cos(3n-7.5)$

כדי לבדוק מונוטוניות צריך לבדוק אם ההפרש בין שני איברים סמוכים ממקום מסוים והלאה בסדרה או גדול שווה ל-0 ארו קטן/שווה ל-0
בהפרש שיצא הביטוי




$sin(1.5) $

הוא מספר קבוע. מי שקובע את ההפרש הוא הביטוי:
$cos(3n-7.5)$

הפונקציה קוסינוס היא מחזורית. לכן הסימן שלה יכול להיות חיובי או שלילי תלוי על איזה n מחשבים

לדוגמא:
קח n=10 הזווית עליה מחשבים את הקוסינוס הינה ברדיאנים
$cos(3\cdot 10-7.5)=cos22.5=-0.8733<0$

קח n=11 הזווית עליה מחשבים את הקוסינוס הינה ברדיאנים
$cos(3\cdot 11-7.5)=cos25.5=0.9333>0$







מכאן לדעתי הפונקציה אינה מונוטונית. ייתכנו מקומות סמוכים בהם היא יורדת - ההפרש בין איברים סמוכים שלילי
ומקומות סמוכים בסדרה שהיא עולה - ההפרש בין שני איברים סמוכים חיובי

בברכה
עמוס

[avi500]

ניתן להראות בצורה אולי פשוטה קצת יותר באופן הבא:
כל מה שצריך להראות שהיברים בסדרה מחליפים סימן מחיובי לשלילי כאשר $n$ גדל. ב-$n=3$ הארגומנט של הסינוס הוא $0$ והאיבר בסדרה הוא $0$. נסתכל על זה ערך זה כעל תחילת המחזור של הסינוס. עבור $n=4$ האיבר חיובי כי הארגומנט עכשיו 3 שהוא פחות מ- $\pi$ (שם הסינוס מליף סימן). כאשר $n=5$ הארגומנט הוא 6 שהוא מספר בין $\pi$ ל- $2\pi$ ולכן האיבר הוא שלילי . אם כך האיבר השישי קטן משני האיברים הקודמים ולכן הסדרה אינה מונוטונית.