מציג תוצאות 1 עד 2 מתוך 2

אשכול: הוכחה של סדרה רקורסיבית וחישוב גבול

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל הוכחה של סדרה רקורסיבית וחישוב גבול

    עלי להוכיח שהסדרה מתכנסת וגבולה 1

    סדרה.PNG


    הצלחתי למצוא שהגבול שווה ל1,
    אבל לא הצלחתי להוכיח שהיא מתכנסת כי כשחישבתי את האיברים הראשונים בסדרה,
    אלה באינדקסים הזוגיים היו גדולים מ1, והאיברים באינדקסים האי זוגיים היו קטנים מ1.
    כאילו יש פה עליה וירידה, עליה וירידה ...
    אודה לעזרה

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אם מחשבים את האיברים על פי הנוסחה מקבלים שיש כאן שתי תתי סדרות משולבות. החל מהאיבר השלישי, במקומות האי-זוגיים יש לנו:
    ....0.51,0.88,097
    ובמקומות הזוגיים החל מהאיבר הרביעי:
    ,...,1.21,1.05,1.01
    אלו נראות סדרות מונוטניות, אחת עולה ואחת יורדת. זה מוליך למחשבה שעלינו להסתכל על כל אחת מהן לחוד, בצורה הבאה
    $$
    a_{n+2}=\sqrt{2-\sqrt{2-a_n}}
    $$
    ואמנם בצורה זו אנו רואים כי אם במקום כלשהו (לדוגמה, השלישי) האיבר הוא בין 0 ל- 1 אזי אם נתקדם בקפיצות של 2 (מקומות 5,7 וכו') כל איבר עוקב יהיה גם הוא בין 0 ל- 1
    ואם האיבר במקום כלשהו (לדוגמה, הרביעי) בין 1 ל- $\sqrt2$ אזי אם נתקדם בקפיצות של 2 (מקומות 6,8 וכו') כל איבר עוקב יהיה גם הוא בין 1 ל- $\sqrt2$ . ניתן להראות זאת בחישוב נומרי פשוט של הביטוי ל- $ a_{n+2}$ למעלה עבור 2 החסמים בכל מקרה. ושימוש בתכונת פוקנציה רציפה (הפונקציה $\sqrt{2-\sqrt{2-x}}$) שאם היא מעתיקה שתי קצוות קטע לתוך קטע נתון אזי כל הקטע בין שתי הקצוות מועתק גם הוא לתוך הקטע.
    מה שנשאר זה להראות מונוטוניות, את זה עושים על ידי אנליזה של הפונקציה $x-\sqrt{2-\sqrt{2-x}}$. בפונקציה זו ה-$x$ הוא בעצם $a_n$ והביטוי הכולל את השורש הוא $a_{n+2}$ והפונקציה מביעה את היחס ביניהם, אם היא חיובית הסדרה יורדת, ואם היא שלילית - הסדרה עולה). בשיטות מוכרות של חישוב נגזרת מוצאים שהפונקציה חיובית לכל $0<x<1$ ושלילית לכל $1<x<\sqrt2$. מכאן שבמקרה הראשון תת-הסדרה מונוטונית עולה ובמקרה השני תת-הסדרה מונוטנית יורדת. בגלל המצאות החסמים- העליון במקרה הראשון, והתחתון במקרה השני - נובע שכל אחת מתתי הסדרות מתכנסת. תיאורטית הם היו יכולות להתכנס לגבולות שונים אבל בפועל מקבלים רק גבול אחד, אותו מוצאים ע"י לקיחת הגבול בשני האגפים של המשוואה $a_{n+1}^2=2-a_n$ שהוא 1. זוהי אומנם משוואה ריבועית אך הפתרון השני שמתקבל הוא שלילי ואינו רלוונטי, לכן יש רק גבול אחד.
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 16-11-2019 בשעה 09:34
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 6

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו