הוכחה של סדרה רקורסיבית וחישוב גבול

[ori123a]

עלי להוכיח שהסדרה מתכנסת וגבולה 1

סדרה.PNG


הצלחתי למצוא שהגבול שווה ל1,
אבל לא הצלחתי להוכיח שהיא מתכנסת כי כשחישבתי את האיברים הראשונים בסדרה,
אלה באינדקסים הזוגיים היו גדולים מ1, והאיברים באינדקסים האי זוגיים היו קטנים מ1.
כאילו יש פה עליה וירידה, עליה וירידה ...
אודה לעזרה

[avi500]

אם מחשבים את האיברים על פי הנוסחה מקבלים שיש כאן שתי תתי סדרות משולבות. החל מהאיבר השלישי, במקומות האי-זוגיים יש לנו:
....0.51,0.88,097
ובמקומות הזוגיים החל מהאיבר הרביעי:
,...,1.21,1.05,1.01
אלו נראות סדרות מונוטניות, אחת עולה ואחת יורדת. זה מוליך למחשבה שעלינו להסתכל על כל אחת מהן לחוד, בצורה הבאה
$$
a_{n+2}=\sqrt{2-\sqrt{2-a_n}}
$$
ואמנם בצורה זו אנו רואים כי אם במקום כלשהו (לדוגמה, השלישי) האיבר הוא בין 0 ל- 1 אזי אם נתקדם בקפיצות של 2 (מקומות 5,7 וכו') כל איבר עוקב יהיה גם הוא בין 0 ל- 1
ואם האיבר במקום כלשהו (לדוגמה, הרביעי) בין 1 ל- $\sqrt2$ אזי אם נתקדם בקפיצות של 2 (מקומות 6,8 וכו') כל איבר עוקב יהיה גם הוא בין 1 ל- $\sqrt2$ . ניתן להראות זאת בחישוב נומרי פשוט של הביטוי ל- $ a_{n+2}$ למעלה עבור 2 החסמים בכל מקרה. ושימוש בתכונת פוקנציה רציפה (הפונקציה $\sqrt{2-\sqrt{2-x}}$) שאם היא מעתיקה שתי קצוות קטע לתוך קטע נתון אזי כל הקטע בין שתי הקצוות מועתק גם הוא לתוך הקטע.
מה שנשאר זה להראות מונוטוניות, את זה עושים על ידי אנליזה של הפונקציה $x-\sqrt{2-\sqrt{2-x}}$. בפונקציה זו ה-$x$ הוא בעצם $a_n$ והביטוי הכולל את השורש הוא $a_{n+2}$ והפונקציה מביעה את היחס ביניהם, אם היא חיובית הסדרה יורדת, ואם היא שלילית - הסדרה עולה). בשיטות מוכרות של חישוב נגזרת מוצאים שהפונקציה חיובית לכל $0<x<1$ ושלילית לכל $1<x<\sqrt2$. מכאן שבמקרה הראשון תת-הסדרה מונוטונית עולה ובמקרה השני תת-הסדרה מונוטנית יורדת. בגלל המצאות החסמים- העליון במקרה הראשון, והתחתון במקרה השני - נובע שכל אחת מתתי הסדרות מתכנסת. תיאורטית הם היו יכולות להתכנס לגבולות שונים אבל בפועל מקבלים רק גבול אחד, אותו מוצאים ע"י לקיחת הגבול בשני האגפים של המשוואה $a_{n+1}^2=2-a_n$ שהוא 1. זוהי אומנם משוואה ריבועית אך הפתרון השני שמתקבל הוא שלילי ואינו רלוונטי, לכן יש רק גבול אחד.