מונוטוניות יורדת החל ממקום מסוים

[Amitkam1]

אשמח לעזרה
נתונה הסדרה הבאה:
1-^(5n^2-810n+63)
ושואלים מתי היא מתחיל להיות מונוטונית יורדת החל מאיזה מקום.

[Yes]

נסמן $a_n=\frac{1}{5n^2-810n+63}$. כדי שהיא תהיה מונוטונית יורדת, צריך להתקיים $a_n\geq a_{n+1}$. תדרוש את התנאי הזה ותראה עבור אילו ערכי $n$ זה מתקיים.

[avi500]

לדעתי מספיק להסתכל על הנגזרת של הפונקציה
$$
1/(5x^2-810x+63)
$$
הנגזרת פרופורציונית ל $10x-810$ וניתן להגיד במדוייק באיזו קטעים היא חיובית או שלילית - בערכי $n$ המצויים בתוך קטעים אלו הסדרה תעלה או תרד בצורה מונוטונית. יש לשים לב גם ל-2 הנקודות בהם הפונקציה שואפת לאינסוף (האפסים של המכנה, שניתן לחשב אותם).

[Yes]

כן, זה באמת פתרון יפה להפוך את הסדרה לפונקציה גזירה ואז להסיק מסקנות על הסדרה המקורית בעזרת חשבון דיפרנציאלי, אבל הנחתי שפותח הדיון עוד לא הגיע בשלב הזה של הלימודים לנגזרת, ומותר לו להשתמש רק בכלים שהוכיחו לו עד עכשיו. בכל אופן, הצעה טובה.

[avi500]

אתה כנראה צודק מאוד, בחלק מהפתרונות שלי כאן בסדרות השתמשתי בנגזרות וייתכן שזה לא תואם את רמת הידע.
בכל מקרה. כאן יש כיוון פשוט: האיבר הכללי עלה (יורד) כאשר המכנה יורד(עולה). במקרה זה ניתן להסתכל על הפרשי המכנים עבור מקומות עוקבים $n$ ו- $n+1$ ומקבלים:
$$
5(n+1)^2−810(n+1)+63-(5n^2−810n+63)=5(2n-161)
$$
והמכנים עולים (יורדים) כאשר ההפרש הוא חיובי (שלילי) ובתאם לכך האיבר הכללי שהוא ההופכי של המכנה יורד (עולה)