מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: תרגיל מאתגר בחישוב אינטגרל

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל תרגיל מאתגר בחישוב אינטגרל

    שלום לכולם,

    רצ"ב תרגיל מאתגר בחדו"א שמצאתי בספרות וראיתי לנכון להעלות אותו כאן.

    יתכן ויהיו משתמשים שבכל זאת יצליחו לפתור.

    אשמח לקבל הצעות לפתרון

    אעלה את התשובה מאוחר

    צריך להוכיח:


    $\int_0^\infty \frac{x}{e^x-1} dx=\frac{\pi^2}{6}$

    בתרגיל הזה נראה ששימוש בשיטות האינטגרציה המוכרות של חישוב הפונקציה הקדומה הנתונה ולאחר מכן חישוב האינטגרל המסוים לא יוביל אותנו לתוצאה.
    צריך לנסות לחשוב על דרך אחרת יצירתית יותר

    בברכה,
    עמוס

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    האינטגרל קיים כי הפונקציה באינטגרנד רציפה בין 0 לאינסוף שם היא דועכת כמו $e^{-x}$. ניתן לפרק את הפונקציה לטור ולבצע אינטגרל של כל איבר:
    $$
    \int_0^{\infty}\frac{x}{e^x-1}dx=\int_0^\infty\frac {xe^{-x}}{1-e^{-x}}dx=\int_0^\infty \sum_{n=0}^\infty x e^{-(n+1)x}dx
    \\
    =
    \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty x e^{-(n+1)x}dx=-\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{-(n+1)x}[-(n+1)x+1]}{(n+1)^2}\bigg|_0^\infty =\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{\pi^2}{6 }
    \\
    $$
    הערה: כדי שניתן יהיה לבצע את האינטגרציה בכל איבר בטור יש להראות שסדרת הפונקציות המוגדרות ע"י הסכומים החלקיים מתכנסת במידה שווה לפונקציית האינגטרנד (לא הראיתי)
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 01-12-2019 בשעה 13:47
    אהבתי תרגיל מאתגר בחישוב אינטגרלam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שלום לכולם,

    ראשית יישר כוח על הפתרון המהיר והקולע

    הסבר קצת מפורט על מה שנרשם

    הפונקציה
    $\frac{x}{e^x-1}$

    כמו שצוין בתגובה הקודמת, הפונקציה יורדת בקרן 0 עד אינסוף ושואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף. בנוסף היא חיובית. לכן היא חסומה בתחום זה

    הפונקציה גם רציפה בתחום הזה

    יש לשים לה שהפונקציה אינה מוגדרת ב-0 , אבל אין כאן בעיה - קיים הגבול ב-0
    $lim \frac{x}{e^x-1}=lim \frac{(x)'}{(e^x-1)'}=lim \frac{1}{e^x}=1, x \to 0$
    יש לנו את התנאים לשימוש בכלל לופיטל

    נוכל להגדיר את הפונקציה כ-1 יש לנו ב-0 נקודת אי רציפות סליקה

    מספר נקודות אי הרציפות הוא סופי

    מכאן שהפונקציה הנ"ל אינטגרבילית בכל קטע סגור
    $[0,b], b>0$

    עכשיו נסתכל על האינטגרל
    $\int_0^\infty x \cdot e^{-x} dx $

    לא כל כל קשה להראות שהאינטגרל הזה גם מתכנס ל-1 בקרן 0 עד אינסוף
    הפונקציה גם חיובית, חסומה בקרן 0 עד אינסוף ורציפה בכל קטע סגור
    $[0,b], b>0$

    לפי כלל המנה
    $lim \frac{\frac{x}{e^x-1}}{x \cdot e^{-x}}=lim \frac{e^x}{e^x-1}=1, x\to\infty$

    שתי הפונקציות הנ"ל חיוביות ואינטגרביליות בכל קטע סגור 0 עד b והמנה שואפת לגבול סופי באינסוף, לכן האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים יחד. האינטגרל שבחרנו הוא מתכנס, לכן האינטגרל הנתון גם מתכנס

    כמו שרואים בתגובה בחישוב אנו מפרקים את הפונקציה
    $\frac{1}{1-e^{-x}}$

    לטור חזקות לפי נוסחת סכום טור גיאומטרי אינסופי. הפיתוח אפשרי רק אם
    $|e^{-x}|<1$
    וזה נכון לכל x הגדול מ-0. ב-0 לא נוכל לפתח כך, כי הערך הוא 1

    אנו צריכים אם כן לחשב בדרך הזאת את האינטגרל בקרן
    $[\epsilon,\infty) \epsilon \to0, \epsilon>0$
    ולהשאיף את אפסילון ל-0. אנו נקבל בדרך זאת את האינטגרל המבוקש, הרי הראינו קודם שהוא קיים
    ב-0 יש לנו נקודת אי רציפות סליקה שאינה משנה את ערך האינטגרל

    עכשיו כמו שרשום בתגובה ההצדקה למעבר של סכום אינסופי של אינטגרלים שווה לאינטגרל של הסכום האינסופי היא התכנסות טור הפונקציות במידה שווה

    טור הפונקציות$\sum_{n=0}^{\infty} x e^{-(n+1)x}$

    כפי שניתן לראות הטור הוא של פונקציות רציפות וחיוביות בכל קטע סגור
    $[\epsilon,b], b>0, \epsilon>0$
    והטור מתכנס לפונקציה רציפה
    $\frac{x \cdot e^{-x}}{1-e^{-x}}$

    לכן לפי משפט דיני ההתכנסות במידה שווה ולכן אפשר האינטגרל מאפסילון ועד b של הטור האינסופי של הפונקציות שווה לסכום הטור האינסופי של האינטגרלים מאפסילון ועד b
    ואז מה שנשאר לעשות כמו שרשום בתגובה הקודמת זה להשאיף לאינסוף את b בחישוב האינטגרל המסוים בקטע הסופי
    $[\epsilon, b]$


    ולאחר מכן את אפסילון ל-0

    כפי שרואים מקבלים את הטור
    $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2}$


    שאפשר להוכיח שהוא מתכנס ל-
    $ \frac{\pi ^ 2}{6}$

    בברכה
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 04-12-2019 בשעה 10:14
    אהבתי avi500 אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 9

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו