מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: בעיית אתגר שלישית - חדו"א - חישוב גבול של סדרה

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל בעיית אתגר שלישית - חדו"א - חישוב גבול של סדרה

    יש לחשב את הגבול של הסדרה הבאה
    $lim \ (\frac{n!}{n^m})^{\frac{1}{n}} \\ n \to \infty$

    אשמח לראות הצעות לפתרון

    בברכה,
    עמוס

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נתבונן ב:
    $
    \log \big [ \big (\frac{n!}{n^m} \big )^{1/n} \big ]=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k-\frac{m}{n}\log n
    $
    האיבר השני בצד ימין חסום כאשר $n$ גדל כי $\log n<n$. האיבר הראשון אינו חסום. כדי להראות זאת נניח שקיים חסם $a$ כך ש:
    $
    \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k\le a
    $
    נקח $n$ כך ש $n>2e^{2a}$. אזי ברור ש:
    $
    \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k\gt \frac{1}{n}\sum_{k=n/2+1}^n\log k>a
    $
    מכאן שלוגריתם הביטוי שואף ל- $\infty$ כאשר $n\to\infty$ ולכן גם הביטוי עצמו.
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 12-01-2020 בשעה 22:47
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל בעיית אתגר שלישית - חדו"א - גבול של סדרה - תיקון טעות

    ברישום הסדרה חלה טעות. צריך להיות n במקום m.

    הסדרה אם כן

    $lim (\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}} \\ n\to \infty$

    הגבול צריך להיות מספר סופי - אשמח לקרוא הצעות לפתרון



    בברכה
    עמוס

  4. #4
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נצטרך קירוב של $\ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k$ ל- $n$-ים גדולים.
    לצורך כך נתבונן בקירוב של האינטגרל $\int\ln x dx$ ע"י סכומים. קל לראות שאם מחלקים את השטח מתחת לגרף של $\ln x$ למלבנים ברוחב יחידה, אזי קיים:
    $\ \int_1^n\ln xdx\lt \sum_{k=1}^n\ln k\lt\int_1^{n+1}\ln xdx
    $
    ובחישוב האינטגרלים מקבלים:
    $
    n\ln n-n+1\lt \sum_{k=1}^n\ln k\lt (n+1)\ln (n+1)-n
    $
    הלוגריתם של הביטוי הנתון הוא:
    $
    \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^n \ln k-n\ln n)
    $
    ובשימוש אי השיוויון הקודם:
    $
    \frac{1}{n}(n\ln n-n+1-n\ln n)\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt \frac{1}{n}[(n+1)\ln (n+1)-n-n\ln n]
    $
    לכן
    $
    \frac{1}{n}(-n+1)\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt \frac{1}{n}[(n+1)\ln(1+\frac{1}{n})-n+\ln n]
    $
    או:
    $
    -1+\frac{1}{n}\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt(1+\frac{1}{n})\ln(1+\frac{1}{n})-1+\frac{1}{n}\ln n
    $

    ובגבול של $ n\to\infty$ ( תוך שימוש ב $(\ln n)/n\to 0$ ע"י כלל לופיטל) :

    $
    \lim_{n\to\infty}\ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=-1
    $
    ולכן
    $
    \lim_{n\to\infty} \big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=e^{-1}
    $
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 17-01-2020 בשעה 01:08
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 9

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו