בעיית אתגר שלישית - חדו"א - חישוב גבול של סדרה

[am12348]

יש לחשב את הגבול של הסדרה הבאה
$lim \ (\frac{n!}{n^m})^{\frac{1}{n}} \\ n \to \infty$

אשמח לראות הצעות לפתרון

בברכה,
עמוס

[avi500]

נתבונן ב:
$
\log \big [ \big (\frac{n!}{n^m} \big )^{1/n} \big ]=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k-\frac{m}{n}\log n
$
האיבר השני בצד ימין חסום כאשר $n$ גדל כי $\log n<n$. האיבר הראשון אינו חסום. כדי להראות זאת נניח שקיים חסם $a$ כך ש:
$
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k\le a
$
נקח $n$ כך ש $n>2e^{2a}$. אזי ברור ש:
$
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k\gt \frac{1}{n}\sum_{k=n/2+1}^n\log k>a
$
מכאן שלוגריתם הביטוי שואף ל- $\infty$ כאשר $n\to\infty$ ולכן גם הביטוי עצמו.

[am12348]

ברישום הסדרה חלה טעות. צריך להיות n במקום m.

הסדרה אם כן

$lim (\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}} \\ n\to \infty$

הגבול צריך להיות מספר סופי - אשמח לקרוא הצעות לפתרון



בברכה
עמוס

[avi500]

נצטרך קירוב של $\ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k$ ל- $n$-ים גדולים.
לצורך כך נתבונן בקירוב של האינטגרל $\int\ln x dx$ ע"י סכומים. קל לראות שאם מחלקים את השטח מתחת לגרף של $\ln x$ למלבנים ברוחב יחידה, אזי קיים:
$\ \int_1^n\ln xdx\lt \sum_{k=1}^n\ln k\lt\int_1^{n+1}\ln xdx
$
ובחישוב האינטגרלים מקבלים:
$
n\ln n-n+1\lt \sum_{k=1}^n\ln k\lt (n+1)\ln (n+1)-n
$
הלוגריתם של הביטוי הנתון הוא:
$
\ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^n \ln k-n\ln n)
$
ובשימוש אי השיוויון הקודם:
$
\frac{1}{n}(n\ln n-n+1-n\ln n)\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt \frac{1}{n}[(n+1)\ln (n+1)-n-n\ln n]
$
לכן
$
\frac{1}{n}(-n+1)\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt \frac{1}{n}[(n+1)\ln(1+\frac{1}{n})-n+\ln n]
$
או:
$
-1+\frac{1}{n}\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt(1+\frac{1}{n})\ln(1+\frac{1}{n})-1+\frac{1}{n}\ln n
$

ובגבול של $ n\to\infty$ ( תוך שימוש ב $(\ln n)/n\to 0$ ע"י כלל לופיטל) :

$
\lim_{n\to\infty}\ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=-1
$
ולכן
$
\lim_{n\to\infty} \big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=e^{-1}
$