יש לחשב את הגבול של הסדרה הבאה
$lim \ (\frac{n!}{n^m})^{\frac{1}{n}} \\ n \to \infty$
אשמח לראות הצעות לפתרון
בברכה,
עמוס
יש לחשב את הגבול של הסדרה הבאה
$lim \ (\frac{n!}{n^m})^{\frac{1}{n}} \\ n \to \infty$
אשמח לראות הצעות לפתרון
בברכה,
עמוס
נתבונן ב:
$
\log \big [ \big (\frac{n!}{n^m} \big )^{1/n} \big ]=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k-\frac{m}{n}\log n
$
האיבר השני בצד ימין חסום כאשר $n$ גדל כי $\log n<n$. האיבר הראשון אינו חסום. כדי להראות זאת נניח שקיים חסם $a$ כך ש:
$
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k\le a
$
נקח $n$ כך ש $n>2e^{2a}$. אזי ברור ש:
$
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k\gt \frac{1}{n}\sum_{k=n/2+1}^n\log k>a
$
מכאן שלוגריתם הביטוי שואף ל- $\infty$ כאשר $n\to\infty$ ולכן גם הביטוי עצמו.
נערך לאחרונה על ידי avi500, 12-01-2020 בשעה 22:47
מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...
ברישום הסדרה חלה טעות. צריך להיות n במקום m.
הסדרה אם כן
$lim (\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}} \\ n\to \infty$
הגבול צריך להיות מספר סופי - אשמח לקרוא הצעות לפתרון
בברכה
עמוס
נצטרך קירוב של $\ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k$ ל- $n$-ים גדולים.
לצורך כך נתבונן בקירוב של האינטגרל $\int\ln x dx$ ע"י סכומים. קל לראות שאם מחלקים את השטח מתחת לגרף של $\ln x$ למלבנים ברוחב יחידה, אזי קיים:
$\ \int_1^n\ln xdx\lt \sum_{k=1}^n\ln k\lt\int_1^{n+1}\ln xdx
$
ובחישוב האינטגרלים מקבלים:
$
n\ln n-n+1\lt \sum_{k=1}^n\ln k\lt (n+1)\ln (n+1)-n
$
הלוגריתם של הביטוי הנתון הוא:
$
\ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^n \ln k-n\ln n)
$
ובשימוש אי השיוויון הקודם:
$
\frac{1}{n}(n\ln n-n+1-n\ln n)\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt \frac{1}{n}[(n+1)\ln (n+1)-n-n\ln n]
$
לכן
$
\frac{1}{n}(-n+1)\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt \frac{1}{n}[(n+1)\ln(1+\frac{1}{n})-n+\ln n]
$
או:
$
-1+\frac{1}{n}\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt(1+\frac{1}{n})\ln(1+\frac{1}{n})-1+\frac{1}{n}\ln n
$
ובגבול של $ n\to\infty$ ( תוך שימוש ב $(\ln n)/n\to 0$ ע"י כלל לופיטל) :
$
\lim_{n\to\infty}\ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=-1
$
ולכן
$
\lim_{n\to\infty} \big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=e^{-1}
$
נערך לאחרונה על ידי avi500, 17-01-2020 בשעה 01:08
![]()
am12348 אהב \ אהבו את התגובה
מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...
שבוע טוב,
יפה מאד! מה שיצא לך זאת התשובה
אפשר גם בדרך הזאת גם בלי שימוש בכלל לופיטל: הרעיון די דומה בגישה לרעיון שהוצג בתגובה הקודמת
נציג את הגבול לחישוב בצורה הבאה:
$(\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}}=e^{(ln((\frac{n!}{ n^n})^{\frac{1}{n}}))}$
נחשב את הגבול אליו שואף מעריך החזקה ואז כמו בתגובה הקודמת נעלה בחזקתו את e ונקבל את הגבול המבוקש:
$ln((\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}})=\frac{1}{n} \cdot ln((\frac{n!}{n^n})=$
$\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot \frac{4}{n} \cdot ....\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdot \frac{n}{n})=$
לפי חוק הלוגריתם של מכפלה
$\frac{1}{n} \cdot (ln(\frac{1}{n} ) + ln(\frac{2}{n} )+ ln(\frac{3}{n}) + ln(\frac{4}{n}) +...+ ln(\frac{n-1}{n})+ ln(\frac{n}{n}))=$
$\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{1}{n} )+\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{2}{n} )+\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{3}{n} )+\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{4}{n} )+....$
$\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{n-1}{n} )+\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{n}{n} )$
שימו לב מה יש למעלה: זה סכום רימאן עבור החלוקה של הקטע [0,1], כאשר אורך כל קטע קטן הוא 1 חלקי n וערכי ה-x הנבחרים בכל קטע קטן כזה הם:
$x_i=\frac{1+i-1}{n}, 1\leq i \leq n$
הפונקציה המופעלת על כל אחד מן הערכים היא lnx
לכן אם האינטגרל:
$\int_0^1 lnx dx$
קיים, אז סכום רימאן הנ"ל שואף לגבול כש-n שואף לאינסוף וגבולו האינטגרל המסוים הנ"ל
האינטגרל
$\int_0^1 lnx dx$
הוא אינטגרל לא אמיתי שכן lnx אינה חסומה בסביבת 0, אבל האינטגרל קיים
נחשב את הפונקציה הקדומה ואז נחשב את האינטגרל המסוים
$\int lnx dx = x \cdot lnx-\int x \cdot (lnx)'dx=x\cdot lnx-\int x \cdot \frac{1}{x} dx=x\cdot lnx-\int 1 dx=x\cdot lnx-x+C$
$\int_0^1 lnx dx=lim \int_\epsilon^1 lnx dx, \epsilon \to 0=$
$lim(1\cdot ln1-1-(\epsilon \cdot ln\epsilon-\epsilon))=0-1-lim\epsilon \cdot ln\epsilon+0, \epsilon \to 0$
כידוע
$lim \epsilon \cdot ln\epsilon = 0,\epsilon \to 0$
לכן האינטגרל המסוים הוא 1-
מכאן סדרת סכומי רימאן הנ"ל שואפת ל-1-
מכאן
$lim ln(\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}}=-1, n \to \infty$
ולכן הסדרה המקורית שהיא e בחזקת ה-ln הזה שואפת ל-e בחזקת 1-, כמו שהרשם בתגובה הקודמת
בברכה,
עמוס
נערך לאחרונה על ידי am12348, 25-01-2020 בשעה 22:11
![]()
avi500 אהב \ אהבו את התגובה
יפה מאוד!
אם כי אציין כי לדעתי הוכחת הגבול
$
\\\\\lim_{\epsilon\to0}(-\epsilon\cdot\ln \epsilon)=0
$
שקולה לגמרי לשימוש בכלל לופיטל (למשל לוקחים $\epsilon=1/N$ כאשר $N\to\infty$)
מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...
אני מסכים אתך. אפשר לחשב את הגבול גם כמו שכתבת
אפשר גם לכתוב:
$\epsilon \cdot ln\epsilon = \frac{ln\epsilon}{\frac{1}{\epsilon}}, \epsilon \to 0$
ואז יש לנו גבול מהצורה:
$\frac{\infty}{\infty}$
ואותו גם נוח לחשב לפי כלל לופיטל
העיקר פה זה חישוב גבול הסדרה. בחישוב הגבול הסתמכתי על העובדה שהאינטגרל:
$\int_0^1 lnx dx=-1$
קיים, שווה ל-1- ואותו ניתן לחשב תוך שימוש בכלל לופיטל כמו שציינת
נערך לאחרונה על ידי am12348, 25-01-2020 בשעה 23:11
כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )
סימניות