מציג תוצאות 1 עד 7 מתוך 7

אשכול: בעיית אתגר שלישית - חדו"א - חישוב גבול של סדרה

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל בעיית אתגר שלישית - חדו"א - חישוב גבול של סדרה

    יש לחשב את הגבול של הסדרה הבאה
    $lim \ (\frac{n!}{n^m})^{\frac{1}{n}} \\ n \to \infty$

    אשמח לראות הצעות לפתרון

    בברכה,
    עמוס

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נתבונן ב:
    $
    \log \big [ \big (\frac{n!}{n^m} \big )^{1/n} \big ]=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k-\frac{m}{n}\log n
    $
    האיבר השני בצד ימין חסום כאשר $n$ גדל כי $\log n<n$. האיבר הראשון אינו חסום. כדי להראות זאת נניח שקיים חסם $a$ כך ש:
    $
    \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k\le a
    $
    נקח $n$ כך ש $n>2e^{2a}$. אזי ברור ש:
    $
    \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log k\gt \frac{1}{n}\sum_{k=n/2+1}^n\log k>a
    $
    מכאן שלוגריתם הביטוי שואף ל- $\infty$ כאשר $n\to\infty$ ולכן גם הביטוי עצמו.
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 12-01-2020 בשעה 22:47
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל בעיית אתגר שלישית - חדו"א - גבול של סדרה - תיקון טעות

    ברישום הסדרה חלה טעות. צריך להיות n במקום m.

    הסדרה אם כן

    $lim (\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}} \\ n\to \infty$

    הגבול צריך להיות מספר סופי - אשמח לקרוא הצעות לפתרון



    בברכה
    עמוס

  4. #4
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נצטרך קירוב של $\ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k$ ל- $n$-ים גדולים.
    לצורך כך נתבונן בקירוב של האינטגרל $\int\ln x dx$ ע"י סכומים. קל לראות שאם מחלקים את השטח מתחת לגרף של $\ln x$ למלבנים ברוחב יחידה, אזי קיים:
    $\ \int_1^n\ln xdx\lt \sum_{k=1}^n\ln k\lt\int_1^{n+1}\ln xdx
    $
    ובחישוב האינטגרלים מקבלים:
    $
    n\ln n-n+1\lt \sum_{k=1}^n\ln k\lt (n+1)\ln (n+1)-n
    $
    הלוגריתם של הביטוי הנתון הוא:
    $
    \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^n \ln k-n\ln n)
    $
    ובשימוש אי השיוויון הקודם:
    $
    \frac{1}{n}(n\ln n-n+1-n\ln n)\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt \frac{1}{n}[(n+1)\ln (n+1)-n-n\ln n]
    $
    לכן
    $
    \frac{1}{n}(-n+1)\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt \frac{1}{n}[(n+1)\ln(1+\frac{1}{n})-n+\ln n]
    $
    או:
    $
    -1+\frac{1}{n}\lt \ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}\lt(1+\frac{1}{n})\ln(1+\frac{1}{n})-1+\frac{1}{n}\ln n
    $

    ובגבול של $ n\to\infty$ ( תוך שימוש ב $(\ln n)/n\to 0$ ע"י כלל לופיטל) :

    $
    \lim_{n\to\infty}\ln\big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=-1
    $
    ולכן
    $
    \lim_{n\to\infty} \big(\frac{n!}{n^n}\big)^{1/n}=e^{-1}
    $
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 17-01-2020 בשעה 01:08
    אהבתי בעיית אתגר שלישית - חדו&quot;א - חישוב גבול של סדרהam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  5. #5
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שבוע טוב,

    יפה מאד! מה שיצא לך זאת התשובה

    אפשר גם בדרך הזאת גם בלי שימוש בכלל לופיטל: הרעיון די דומה בגישה לרעיון שהוצג בתגובה הקודמת

    נציג את הגבול לחישוב בצורה הבאה:
    $(\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}}=e^{(ln((\frac{n!}{ n^n})^{\frac{1}{n}}))}$
    נחשב את הגבול אליו שואף מעריך החזקה ואז כמו בתגובה הקודמת נעלה בחזקתו את e ונקבל את הגבול המבוקש:

    $ln((\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}})=\frac{1}{n} \cdot ln((\frac{n!}{n^n})=$
    $\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot \frac{4}{n} \cdot ....\cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdot \frac{n}{n})=$

    לפי חוק הלוגריתם של מכפלה

    $\frac{1}{n} \cdot (ln(\frac{1}{n} ) + ln(\frac{2}{n} )+ ln(\frac{3}{n}) + ln(\frac{4}{n}) +...+ ln(\frac{n-1}{n})+ ln(\frac{n}{n}))=$

    $\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{1}{n} )+\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{2}{n} )+\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{3}{n} )+\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{4}{n} )+....$
    $\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{n-1}{n} )+\frac{1}{n} \cdot ln(\frac{n}{n} )$

    שימו לב מה יש למעלה: זה סכום רימאן עבור החלוקה של הקטע [0,1], כאשר אורך כל קטע קטן הוא 1 חלקי n וערכי ה-x הנבחרים בכל קטע קטן כזה הם:
    $x_i=\frac{1+i-1}{n}, 1\leq i \leq n$
    הפונקציה המופעלת על כל אחד מן הערכים היא lnx

    לכן אם האינטגרל:
    $\int_0^1 lnx dx$

    קיים, אז סכום רימאן הנ"ל שואף לגבול כש-n שואף לאינסוף וגבולו האינטגרל המסוים הנ"ל

    האינטגרל
    $\int_0^1 lnx dx$

    הוא אינטגרל לא אמיתי שכן lnx אינה חסומה בסביבת 0, אבל האינטגרל קיים

    נחשב את הפונקציה הקדומה ואז נחשב את האינטגרל המסוים
    $\int lnx dx = x \cdot lnx-\int x \cdot (lnx)'dx=x\cdot lnx-\int x \cdot \frac{1}{x} dx=x\cdot lnx-\int 1 dx=x\cdot lnx-x+C$

    $\int_0^1 lnx dx=lim \int_\epsilon^1 lnx dx, \epsilon \to 0=$

    $lim(1\cdot ln1-1-(\epsilon \cdot ln\epsilon-\epsilon))=0-1-lim\epsilon \cdot ln\epsilon+0, \epsilon \to 0$

    כידוע
    $lim \epsilon \cdot ln\epsilon = 0,\epsilon \to 0$

    לכן האינטגרל המסוים הוא 1-

    מכאן סדרת סכומי רימאן הנ"ל שואפת ל-1-
    מכאן

    $lim ln(\frac{n!}{n^n})^{\frac{1}{n}}=-1, n \to \infty$

    ולכן הסדרה המקורית שהיא e בחזקת ה-ln הזה שואפת ל-e בחזקת 1-, כמו שהרשם בתגובה הקודמת
    בברכה,
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 25-01-2020 בשעה 22:11
    אהבתי avi500 אהב \ אהבו את התגובה
     

  6. #6
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יפה מאוד!
    אם כי אציין כי לדעתי הוכחת הגבול
    $
    \\\\\lim_{\epsilon\to0}(-\epsilon\cdot\ln \epsilon)=0
    $
    שקולה לגמרי לשימוש בכלל לופיטל (למשל לוקחים $\epsilon=1/N$ כאשר $N\to\infty$)
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  7. #7
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני מסכים אתך. אפשר לחשב את הגבול גם כמו שכתבת

    אפשר גם לכתוב:
    $\epsilon \cdot ln\epsilon = \frac{ln\epsilon}{\frac{1}{\epsilon}}, \epsilon \to 0$

    ואז יש לנו גבול מהצורה:
    $\frac{\infty}{\infty}$

    ואותו גם נוח לחשב לפי כלל לופיטל

    העיקר פה זה חישוב גבול הסדרה. בחישוב הגבול הסתמכתי על העובדה שהאינטגרל:
    $\int_0^1 lnx dx=-1$







    קיים, שווה ל-1- ואותו ניתן לחשב תוך שימוש בכלל לופיטל כמו שציינת
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 25-01-2020 בשעה 23:11

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 10

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו