הוכחה שמספר הוא אי רציונלי

[am12348]

יש להוכיח כי המספר:
$cos20$

קוסינוס של 20 מעלות הוא מספר אי רציונלי

אשמח לקרוא הצעות לפתרון

ברכה,
עמוס

[Yes]

אחרי כמה איטרציות הגעתי להוכחה הבאה (יש לי כמה הוכחות/כיוונים להוכחות אבל את זאת הכי אהבתי):
$$\frac{1}{2}=\cos 60^\circ = \cos (3\cdot 20^\circ) = 4 \cos^3 (20^\circ)-3\cos(20^\circ)$$
(זהות טריגונומטרית לזווית משולשת)

נסמן $x=\cos 20^\circ$ ונקבל את הפולינום:
$$0=8x^3-6x-1$$ ממשפט השורש הרציונלי מתקיים שאם $x$ רציונלי אז הוא אחד מאלה: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}$. מבין אלה רק $\left(-\frac{1}{2}\right)$ פותר, אבל $x=\cos 20^\circ$ נמצא ברבע הראשון של מעגל היחיד ולכן חיובי, מכאן שגם אפשרות זו נפסלת. מכאן שלא ייתכן ש-$\cos 20^\circ$ רציונלי.

[avi500]

הערה קטנה:
$-1/2$ אינו פתרון של המשוואה (אין לה שורש רציונלי) , אבל זה לא משנה את התוצאה

[am12348]

פתרון יפה מאד. אני גם פתרתי כך

בעיה זאת סומנה כקשה

יישר כוח