יש להוכיח כי המספר:
$cos20$
קוסינוס של 20 מעלות הוא מספר אי רציונלי
אשמח לקרוא הצעות לפתרון
ברכה,
עמוס
יש להוכיח כי המספר:
$cos20$
קוסינוס של 20 מעלות הוא מספר אי רציונלי
אשמח לקרוא הצעות לפתרון
ברכה,
עמוס
אחרי כמה איטרציות הגעתי להוכחה הבאה (יש לי כמה הוכחות/כיוונים להוכחות אבל את זאת הכי אהבתי):
$$\frac{1}{2}=\cos 60^\circ = \cos (3\cdot 20^\circ) = 4 \cos^3 (20^\circ)-3\cos(20^\circ)$$
(זהות טריגונומטרית לזווית משולשת)
נסמן $x=\cos 20^\circ$ ונקבל את הפולינום:
$$0=8x^3-6x-1$$ ממשפט השורש הרציונלי מתקיים שאם $x$ רציונלי אז הוא אחד מאלה: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}$. מבין אלה רק $\left(-\frac{1}{2}\right)$ פותר, אבל $x=\cos 20^\circ$ נמצא ברבע הראשון של מעגל היחיד ולכן חיובי, מכאן שגם אפשרות זו נפסלת. מכאן שלא ייתכן ש-$\cos 20^\circ$ רציונלי.
הערה קטנה:
$-1/2$ אינו פתרון של המשוואה (אין לה שורש רציונלי) , אבל זה לא משנה את התוצאה
![]()
am12348 אהב \ אהבו את התגובה
מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...
פתרון יפה מאד. אני גם פתרתי כך
בעיה זאת סומנה כקשה
יישר כוח
כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )
סימניות