חשב את הגבול
$\lim_{x \to 0}\frac{(x+4)^\frac{3}{2}+e^{x}-9}{x} $
ללא שימוש בכלל לופיטל או בפיתוח ל- $x$ קטן.
(לא קשה במיוחד)
חשב את הגבול
$\lim_{x \to 0}\frac{(x+4)^\frac{3}{2}+e^{x}-9}{x} $
ללא שימוש בכלל לופיטל או בפיתוח ל- $x$ קטן.
(לא קשה במיוחד)
מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...
פתרון:
נכתוב
$f(x)=(x+4)^{3/2}+e^x$
נשים לב ש:
$
f(0)=4^{3/2}+e^0=9
$
לכן הגבול הוא פשוט הגדרה של:
$
f'(0)= \big[\frac{3}{2}(x+4)^{1/2}+e^x\big] _{x=0}=4
$
מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...
כאן משתמשים בהגדרת הנגזרת כדי לחשב גבול (בדרך כלל זה הפוך - מחשבים את הנגזרת על פי גבול)
ההגדרה של הנגזרת היא הפרש בין הערך של הפונקציה ב-x מסויים + גודל ששואף לאפס פחות הערך של הפונקציה באותו x מחולק בגודל ששואף לאפס. כאן ה- x המסויים הוא 0, לכן צריך לחשב את ערך הפונקציה שם לראות שהביטוי שניתן מתאים להגדרה. בביטוי שלנו כאן ה- x הוא לא המקום שבו מחשבים את הנגזרת אלא הגודל ששואף ל- 0 (מסומן בדרך כלל ב- h או $\Delta x$ בהגדרות ספרי הלימוד).
כלומר בשימוש ב- h במקום x הייתי יכול לכתוב את הביטוי כ-
$
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac {(0+h+4)^{3/2}+e^{0+h}-[(0 +4)^{3/2}+e^{0 }]}{h}
$
$
=\lim_{h\to 0}\frac {( h+4)^{3/2}+e^{ h}-9}{h}
$
הביטוי האחרון זהה לביטוי של הגבול המבוקש עם החלפת $x$ ב- $h$
נערך לאחרונה על ידי avi500, 14-02-2020 בשעה 16:10
מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...
כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )
סימניות