שאלת אתגר בגבולות

[avi500]

חשב את הגבול
$\lim_{x \to 0}\frac{(x+4)^\frac{3}{2}+e^{x}-9}{x} $
ללא שימוש בכלל לופיטל או בפיתוח ל- $x$ קטן.
(לא קשה במיוחד)

[avi500]

פתרון:
נכתוב
$f(x)=(x+4)^{3/2}+e^x$
נשים לב ש:
$
f(0)=4^{3/2}+e^0=9
$
לכן הגבול הוא פשוט הגדרה של:
$
f'(0)= \big[\frac{3}{2}(x+4)^{1/2}+e^x\big] _{x=0}=4
$

[matan1212]

פתרון:
נכתוב
$f(x)=(x+4)^{3/2}+e^x$
נשים לב ש:
$
f(0)=4^{3/2}+e^0=9
$
לכן הגבול הוא פשוט הגדרה של:
$
f'(0)= \big[\frac{3}{2}(x+4)^{1/2}+e^x\big] _{x=0}=4
$

למה היית צריך לבדוק מה הערך שלו ב0?

[avi500]

כאן משתמשים בהגדרת הנגזרת כדי לחשב גבול (בדרך כלל זה הפוך - מחשבים את הנגזרת על פי גבול)
ההגדרה של הנגזרת היא הפרש בין הערך של הפונקציה ב-x מסויים + גודל ששואף לאפס פחות הערך של הפונקציה באותו x מחולק בגודל ששואף לאפס. כאן ה- x המסויים הוא 0, לכן צריך לחשב את ערך הפונקציה שם לראות שהביטוי שניתן מתאים להגדרה. בביטוי שלנו כאן ה- x הוא לא המקום שבו מחשבים את הנגזרת אלא הגודל ששואף ל- 0 (מסומן בדרך כלל ב- h או $\Delta x$ בהגדרות ספרי הלימוד).
כלומר בשימוש ב- h במקום x הייתי יכול לכתוב את הביטוי כ-
$
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac {(0+h+4)^{3/2}+e^{0+h}-[(0 +4)^{3/2}+e^{0 }]}{h}
$
$
=\lim_{h\to 0}\frac {( h+4)^{3/2}+e^{ h}-9}{h}
$
הביטוי האחרון זהה לביטוי של הגבול המבוקש עם החלפת $x$ ב- $h$