מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: אינטגרל מורכב לחישוב

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל אינטגרל מורכב לחישוב

    יש לחשב את האינטגרל הבא

    $\int_0^\infty \frac{ln(\frac{1+x^{11}}{1+x^3})}{(1+x^2) \cdot lnx} dx$

    נראה קצת מורכב בלשון המעטה. לא נראה שיש הצבה שתפשט לנו את האינטגרל

    אבל אפשר "לשחק" עם ביטוי האינטגרנד לפי חוקי הלוגריתמים ולהשתמש בתכונה:
    $\int_0^\infty f(x) dx = \int_0^\infty \frac{f(\frac{1}{x})}{x^2} dx$



    (מדוע השוויון הזה נכון?)

    ומגיעים לביטוי פשוט יותר.

    ערך האינטגרל שיוצא מפתיע בפשטותו

    בברכה,
    עמוס

  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שבוע טוב,

    להלן התחלה של חישוב האינטגרל

    נשתמש בזהות:
    $\equiv \int 0^\infty f(x) dx=\int_0^\infty \frac{f(\frac{1}{x})} {x^2}dx$

    נקבל תוך שימוש בחוקי הלוגריתמים.
    $\int_0^\infty \frac{ln(\frac{1+x^{11}}{1+x^3})}{(1+x^2)lnx} dx=\int_0^\infty \frac{ln(1+x^{11})-ln(1+x^3)}{(1+x^2)lnx} dx$




    עכשיו נציב במקום x את 1 חלקי x נקבל
    $\int_0^\infty \frac{ln(1+\frac{1}{x^{11}})-ln(1+\frac{1}{x^3})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})ln(\frac{ 1}{x})} dx=$


    $\int_0^\infty \frac{ln(\frac{x^{11}+1}{x^{11}})-ln(\frac{x^3+1}{x^3})}{(x^2+1)ln(\frac{1}{x})} dx=$

    $\int_0^\infty \frac{ln(x^{11}+1)-ln(x^{11})-ln(x^3+1)+ln(x^3)}{(x^2+1)ln(\frac{1}{x})} dx=$

    $\int_0^\infty \frac{ln(x^{11}+1)-ln(x^3+1)-ln(x^{11})+ln(x^3)}{(x^2+1)ln(\frac{1}{x})} dx=$

    $\int_0^\infty \frac{ln(x^{11}+1)-ln(x^3+1)-ln(x^{11})+ln(x^3)}{(x^2+1) \cdot (-lnx)} dx=$

    $\int_0^\infty -\frac{ln(x^{11}+1)-ln(x^3+1)-ln(x^{11})+ln(x^3)}{(x^2+1) lnx} dx=$

    $\int_0^\infty \frac{-ln(x^{11}+1)+ln(x^3+1)+ln(x^{11})-ln(x^3)}{(x^2+1) lnx} dx=$

    מה מזכירה לכם הצורה הנוכחית של האינטגרל? איך ממשיכים מפה?
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 29-02-2020 בשעה 21:52

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל אינטגרל מורכב לחישוב - פתרון

    שבוע טוב,

    להלן הפתרון לאינטגרל המורכב

    התחלנו בשורה
    $\int_0^\infty \frac{ln(\frac{1+x^{11}}{1+x^3})}{(1+x^2)lnx} dx=\int_0^\infty \frac{ln(1+x^{11})-ln(1+x^3)}{(1+x^2)lnx} dx$

    לאחר חישובים באמצע הגענו לחישוב האינטגרל הבא. אותו אינטגרל רק ביטוי אחר

    $\int_0^\infty \frac{-ln(x^{11}+1)+ln(x^3+1)+ln(x^{11})-ln(x^3)}{(x^2+1) lnx} dx=$

    לכן נוכל לסמן את ערכי האינטגרלים ב-I

    $I=\int_0^\infty \frac{ln(1+x^{11})-ln(1+x^3)}{(1+x^2)lnx} dx$

    $I=\int_0^\infty \frac{-ln(x^{11}+1)+ln(x^3+1)+ln(x^{11})-ln(x^3)}{(x^2+1) lnx} dx$

    נוכל לחבר בין שתי השורות, נקבל:

    $Iּ+I=2I=\int_0^\infty \frac{ln(1+x^{11})-ln(1+x^3)}{(1+x^2)lnx} dxּ+\int_0^\infty \frac{-ln(x^{11}+1)+ln(x^3+1)+ln(x^{11})-ln(x^3)}{(x^2+1) lnx} dx$

    הביטוי
    $\frac{ln(1+x^{11})-ln(1+x^3)}{(1+x^2)lnx}$





    "מתקזז" עם אותו ביטוי באינטגרל השני ואנו נשארים עם
    $\int_0^\infty \frac{ln(x^{11})-ln(x^3)}{(x^2+1) lnx} dx$

    עכשיו לפי חוקי הלוגריתמים

    $2I=\int_0^\infty \frac{ln(x^{11})-ln(x^3)}{(x^2+1) lnx} dx=\int_0^\infty \frac{11ln(x)-3ln(x)}{(x^2+1) lnx} dx=\int_0^\infty \frac{8ln(x)}{(x^2+1) lnx} dx$

    ה-lnx מצטמצם ואנו נשארים עם האינטגרל
    $2I=\int_0^\infty \frac{8}{(x^2+1) } dx$

    הפונקציה הקדומה היא
    $8arctgx$
    וערך האינטגרל המסויים

    $2I=8(arctg \infty- arctg0)=8 \cdot \frac{\pi}{2}-8\cdot0=8 \cdot \frac{\pi}{2}=4\pi$

    קיבלנו

    $2I=4\pi \to I=2\pi$

    הערה: יש לנו כאן אינטגרל לא אמיתי שכן בקרן 0 עד אינסוף הפונקציה אינה מוגדרת ב-0. מה שהיה נכון יותר לעשות זה לחשב את האינטגרל המסויים

    $2I=\int_\epsilon^\infty \frac{8ln(x)}{(x^2+1) lnx} dx$
    ואז אפשר לצמצם ב-lnx, לחשב את האינטגרל בין אפסילון לאינסוף, להשאיף את אפסילון ל-0 ולקבל את אותה תוצאה

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 7

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו