מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: בעיה שהופיעה באחת מבחינות בחדו"א באחת האוניברסיטאות בחו"ל

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל בעיה שהופיעה באחת מבחינות בחדו"א באחת האוניברסיטאות בחו"ל

    יש לחשב את האינטגרל הבא

    $\int_0^1 \frac{ln(x+1)}{x^2+1} dx$

    בברכה,
    עמוס

  2. #2
    הסמל האישי שלavi500 משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נציב $x=\tan y$ ונשתמש בנוסחה:
    $$
    1+\tan y=\tan (\pi/4)+\tan y =\frac {\sin (y+\pi/4)}{ \cos y\cos (\pi/4)}=\frac {\cos(y-\pi/4)}{ \cos y\cos (\pi/4)}
    $$
    מכאן
    $$
    \int_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx=\int_0^{\pi/4}\frac{\ln (1+\tan y)}{ 1+\tan^2y}d(\tan y)=\int_0^{\pi/4}\ln(1+\tan y)dy=\\=\int_0^{\pi/4}\ln\frac{\cos(y-\pi/4)}{\cos y\cos(\pi/4)}dy=\\=\int_0^{\pi/4}\ln (\cos(y-\pi/4))dy-\int_0^{\pi/4}\ln(\cos y)dy-\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4))dy=\\=-\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4))dy=-(\pi/4)\ln(\cos (\pi/4)) =\frac{\pi}{8}\ln 2
    $$
    אהבתי בעיה שהופיעה באחת מבחינות בחדו"א באחת האוניברסיטאות בחו"לam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תשובה מצוינת,

    רציתי רק להוסיף הבהרה

    עבור האינטגרל
    $ \int_0^\frac{ \pi }{4} ln(cos(y- \frac{ \pi }{4})) dy $
    נוכל לשנות את צורתו לפי הזהות
    $cos(-\alpha)=cos(\alpha)$
    ונקבל



    $ \int_0^\frac{ \pi }{4} ln(cos(y- \frac{ \pi }{4})) dy = \int_0^\frac{ \pi }{4} ln(cos( \frac{ \pi }{4}-y)) dy $
    אם נציב
    $z=\frac{\pi}{4}-y$

    נקבל
    $dz=d(\frac{\pi}{4}-y)=-dy$
    ואז תחום האינטגרציה יהפוך
    $[0,\frac{\pi}{4}]\to [\frac{\pi}{4},0]$

    והאינטגרל צריך לחשב


    $ \int_\frac{\pi}{4}^0 -ln(cos(z) dz $

    אבל ממשפט בחדו:א ידוע
    $\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx$

    ובמקרה שלנו נקבל:

    $ \int_\frac{\pi}{4}^0 -ln(cos(z)) dz = -\int_0^\frac{\pi}{4} -ln(cos(z)) dz =\int_0^\frac{\pi}{4} ln(cos(z)) dz $

    הפונקציה
    $ln(cos(z))$
    רציפה בקטע הסגור
    $[0,\frac{\pi}{4}]$

    לכן קיים האינטגרל המסוים(מספר ממשי כלשהו)
    $\int_0^\frac{\pi}{4} ln(cos(z)) dz $
    מצד שני כמו שרשום בתגובה הקודמת, יש לנו את האינטגרל

    $-\int_0^\frac{\pi}{4} ln(cos(y)) dy $

    שגם הוא קיים לא משנה מה משתנה האינטגרציה והוא שווה בערכו המוחלט לאינטגרל במשתנה z

    ושני האינטגרלים "מקזזים" זה את זה. שניהם שווים בערכם המוחלט למספר ממשי כלשהו ומנוגדים בסימנם

    ואז נשאר לחשב אינטגרל פשוט יחסית לחישוב

    בברכה
    אהבתי avi500 אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 10

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו