מציג תוצאות 1 עד 2 מתוך 2

אשכול: חסמים.

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל חסמים.

    היי אשמח לעזרה והסברים לגבי תרגילים ג ו-ד. ממש תודה!
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: jpg image.jpg‏ (1.92 מגה , 12 צפיות) נמצא המינימום, המקסימום, טופו מוט ואינפימום של A באם הם קיימים.hג. 7 נתונה הקבוצהIN ל •A = {xc R x =(-1)" +"n+1 • בדוק האם הקבוצה חסומה • מצא את המינימום, המקסימום, סופרמום ואינפימום של A באם הם קיימים.. ד. נתונה הקבוצה {A= {xe Rx=-+costn),n=Nn • בדוק האם הקבוצה חסומה • מצא את המינימום, המקסימום, סופרמום ואינפימום של A באם הם קיימים. ה. נתונה קבוצה: { 1>A= {xcQ |0
    נערך לאחרונה על ידי ירדן97, 17-03-2020 בשעה 11:05

  2. #2
    הסמל האישי שלYes מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני אראה לך את הפתרון ל-ג'. נסי לבד את ד' באופן דומה.

    ראשית, הסדרה $\left\lbrace (-1)^n\right\rbrace$ היא בוודאי חסומה. נשים לב ש-$a_n:=\frac{n}{n+1} $ עולה (די קל להוכיח), לכן היא חסומה מלרע. היא גם חסומה מלעיל על ידי $1$, כי לכל $n$ טבעי מתקיים $\frac{n}{n+1}<1$. לכן $a_n$ חסומה.
    לכן $(-1)^n+\frac{n}{n+1}$ היא סדרה חסומה (סכום של סדרות חסומות הוא חסום), ומכאן שהקבוצה הנתונה חסומה. מכאן שיש לה אינפימום וסופרימום מאקסיומת השלמות.

    $a_n$ עולה ולכן הערך הנמוך ביותר מתקבל עבור $n=1$, וגם הערך הנמוך ביותר של $(-1)^n$ מתקבל עבור $n=1$. ונקבל שמינימום מתקבל עבור $n=1$ והוא $-1+\frac{1}{1+1}$.

    נראה כעת שהסופרימום הוא $2$. מבחינה אינטואיטיבית, קל לראות ש-$a_n$ שואפת ל-$1$ (גם אם לא ממש הגדרתם מה זה), ו-$(-1)^n$ מתנדנדת בין $1$ ל-$(-1)$, ולכן הסופרימום יהיה $2$. נוכיח שזה סופרימום על פי הגדרה. ראינו קודם שמתקיים $\frac{n}{n+1}<1$ וכמובן ש-$(-1)^n\leq 1$. לכן $(-1)^n+\frac{n}{n+1}\leq 1+1=2$. מכאן ש-$2$ חסם מלעיל. נראה שהוא חסם הדוק. זאת כביכול הוכחה ארוכה, אבל הרעיון פשוט, אז לא להיבהל.

    יהי $\epsilon>0$. נסתכל על ערכי $n$ כך ש-$n=2k$ (הסברי לעצמך לבד למה זה בסדר להסתכל רק על חלק מהערכים ככה) עבורם $n>\frac{1-\epsilon}{2\epsilon}$:
    $$(-1)^n+\frac{n}{n+1}=(-1)^{2k}+\frac{2k}{2k+1}=1+\frac{2k}{2k+1} \underbrace{>}_{(*)} 1+\frac{2\cdot \frac{1-\epsilon}{2\epsilon}}{2\cdot \frac{1-\epsilon}2\epsilon+1} = \\1 +\frac{\frac{1-\epsilon}{\epsilon}}{\frac{1-\epsilon}{\epsilon}+1}=1+\frac{1-\epsilon}{1-\epsilon+\epsilon}=1+1-\epsilon=2-\epsilon$$
    כאשר $(*)$ נובע מזה ש-$a_n$ עולה.
    כלומר, בסוף-בסוף קיבלנו ש-$(-1)^n+\frac{n}{n+1} > 2 -\epsilon$ עבור ערכי $n$ כנ"ל, ולכן $2$ הוא סופרימום.

    נותר רק להראות שאין מקסימום. המועמד שלנו הוא $2$. $2$ יתקבל רק אם $\frac{n}{n+1}$ יהיה 1 עבור $n$ כלשהו, אבל כפי שראינו מתקיים $\frac{n}{n+1}<1$ ולכן מקסימום לא מתקבל.

    סך הכל קיבלנו מינימום שערכו $\frac{-1}{2}$ וסופרימום שערכו $2$.


    אם משהו לא ברור, את מוזמנת לשאול.
    נערך לאחרונה על ידי Yes, 18-03-2020 בשעה 14:29
    אהבתי avi500, אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 10

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו