כלל לופיטל

[Chen_T]

אשמח לעזרה בתרגיל 4, אני יודעת שצריך לפתור את זה לפי כלל לופיטל ולעשות מכנה משותף כאשר יש אינסוף פחות אינסוף.
רק שאני לא מצליחה לחשוב על כיוון של מכנה /
אשמח לעזרה

[אריאל]

להלן :

$$ \lim_{x \to \infty} \sqrt{x+lnx}-\sqrt{x-lnx} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+lnx}-\sqrt{x-lnx})(\sqrt{x+lnx}+\sqrt{x-lnx} )}{\sqrt{x+lnx}+\sqrt{x-lnx} } =

\\
\lim_{x \to \infty} \frac{x+lnx-(x-lnx)}{\sqrt{x+lnx}+\sqrt{x-lnx} } = \lim_{x \to \infty} \frac{2lnx}{\sqrt{x+lnx}+\sqrt{x-lnx} }
$$

עכשיו אפשר לגזור

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2lnx}{\sqrt{x+lnx}+\sqrt{x-lnx} } = \lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{2}{x}}{ \frac{1+ \frac{1}{x}}{2\sqrt{x+lnx}}+\frac{1- \frac{1}{x}}{2\sqrt{x-lnx}} } = \lim_{x \to \infty} \frac{ 2 }{ \frac{x+ 1}{2\sqrt{x+lnx}}+\frac{x- 1}{2\sqrt{x-lnx}} } $$

נסתכל על הגבול :

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{\sqrt{x+lnx}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{ \frac{1+\frac{1}{x}}{2\sqrt{x+lnx}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x\sqrt{x+lnx}}{x+1} = \infty$$

באופן זהה אפשר גם לחלק השני במכנה, ונקבל :

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{ 2 }{ \frac{x+ 1}{2\sqrt{x+lnx}}+\frac{x- 1}{2\sqrt{x-lnx}} } = \lim_{x \to \infty} \frac{ 2 }{ \infty + \infty } = 0 $$