חישוב גבולות - מאתגר

[matan1212]

שאלה 3

חשבתי להשתמש במשפט היסודי של החדוא, האם ניתן להגיד ש-F(0)=0 ואז צריך להוכיח ש-F(2P)>0?

האם צריך לפתח לטור טיילור ומשם להוכיח ?

ניסיתי בכמה כיוונים ודי במבוי סתום, אשמח לעזרה של מישהו פה ... אפילו כיוון יעזור.

[avi500]

$$
I=\int_0^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}xdx\\=I_1+I_2
$$
עושים שינוי משתנה ב $I_2$ על ידי הגדרת: $y=x-\pi$
$$
I_2=\int_0^\pi\frac{\sin(y+\pi)}{y+\pi}dy=-\int_0^\pi\frac{\sin y}{y+\pi}dy=-\int_0^\pi\frac{\sin x}{x+\pi}dx
$$
מכאן:
$$
I=I_1+I_2=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx -\int_0^\pi\frac{\sin x}{x+\pi}dx=\int_0^\pi\sin x\bigg[\frac1x-\frac1{x+\pi}\bigg]dx>0
$$
כיוון ש $\sin x$ תמיד חיובי ב- $(0,\pi)$ וכך גם הגורם בסוגריים המרובעים כפי שקל לבדוק.

[matan1212]

$$
I=\int_0^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=I_1+I_2
$$
עושים שינוי משתנה ב $I_2$ על ידי הגדרת: $y=x-\pi$
$$
I_2=\int_0^\pi\frac{\sin(y+\pi)}{y+\pi}dy=-\int_0^\pi\frac{\sin y}{y+\pi}dy=-\int_0^\pi\frac{\sin x}{x+\pi}dx
$$
מכאן:
$$
I=I_1+I_2=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx -\int_0^\pi\frac{\sin x}{x+\pi}dx=\int_0^\pi\sin x\bigg[\frac1x-\frac1{x+\pi}\bigg]dx>0
$$
כיוון ש $\sin x$ תמיד חיובי ב- $(0,\pi)$ וכך גם הגורם בסוגריים המרובעים כפי שקל לבדוק.

תודה רבה!

[olegshalman]

שאלה קטנה למה ?

עושים שינוי משתנה ב

I2

על ידי הגדרת:

y=x−π

[avi500]

הסיבה שהאינטגרל חיובי הוא שהמונה של האינטגרנד ($\sin x$) מקבלת ערכים שווים בערך מוחלט בחצי המחזור הראשון והשני (אבל הפוכים בסימן) ואילו המכנה גדל לכן ההפרש בין ערכי האינטגרנד בחצי המחזור הראשון והשני הוא חיובי ולכן האינטגרל כולו חיובי. כדי להראות בצורה ברורה שהערכים של המונה שווים בערך מוחלט יש לבצע את שינוי המשתנה.