חישוב גבולות - מאתגר

[matan1212]

שאלה 3

חשבתי להשתמש במשפט היסודי של החדוא, האם ניתן להגיד ש-F(0)=0 ואז צריך להוכיח ש-F(2P)>0?

האם צריך לפתח לטור טיילור ומשם להוכיח ?

ניסיתי בכמה כיוונים ודי במבוי סתום, אשמח לעזרה של מישהו פה ... אפילו כיוון יעזור.

[avi500]

$$
I=\int_0^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}xdx\\=I_1+I_2
$$
עושים שינוי משתנה ב $I_2$ על ידי הגדרת: $y=x-\pi$
$$
I_2=\int_0^\pi\frac{\sin(y+\pi)}{y+\pi}dy=-\int_0^\pi\frac{\sin y}{y+\pi}dy=-\int_0^\pi\frac{\sin x}{x+\pi}dx
$$
מכאן:
$$
I=I_1+I_2=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx -\int_0^\pi\frac{\sin x}{x+\pi}dx=\int_0^\pi\sin x\bigg[\frac1x-\frac1{x+\pi}\bigg]dx>0
$$
כיוון ש $\sin x$ תמיד חיובי ב- $(0,\pi)$ וכך גם הגורם בסוגריים המרובעים כפי שקל לבדוק.

[matan1212]

$$
I=\int_0^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}xdx=I_1+I_2
$$
עושים שינוי משתנה ב $I_2$ על ידי הגדרת: $y=x-\pi$
$$
I_2=\int_0^\pi\frac{\sin(y+\pi)}{y+\pi}dy=-\int_0^\pi\frac{\sin y}{y+\pi}dy=-\int_0^\pi\frac{\sin x}{x+\pi}dx
$$
מכאן:
$$
I=I_1+I_2=\int_0^{ \pi}\frac{\sin x}xdx -\int_0^\pi\frac{\sin x}{x+\pi}dx=\int_0^\pi\sin x\bigg[\frac1x-\frac1{x+\pi}\bigg]dx>0
$$
כיוון ש $\sin x$ תמיד חיובי ב- $(0,\pi)$ וכך גם הגורם בסוגריים המרובעים כפי שקל לבדוק.

תודה רבה!