מציאת סכום של טור אינסופי

[am12348]

שלום לכולם,

להלן שאלה הנחשבת לקשה שראיתי בנושא התכנסות טורים

צ"ל שהטור הבא:
$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5 !}+....+\frac{n}{(n+1)!}+....$

א. מתכנס

ב. למצוא את סכומו - לאיזה מספר הוא מתכנס

[am12348]

שבוע טוב,

רמז לחישוב הסכום. לאחר הוכחה שהטור מתכנס

אם נלך בדרך הסטנדרטית, נקבל:

$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...=\frac{ 1}{2 \cdot 1}+\frac{2}{3 \cdot 2 \cdot 1}+\frac{3}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}+....=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+ ...$

כמו שניתן לראות אין לנו חוקיות ספציפית
ננסה לחשוב מחוץ לקופסא וננסה לככתוב את אברי הטור בצורה קצת שונה שאולי תקדם אותנו למשהו

הצעה להציג את אברי הטור:





$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...=\frac{ 21}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+..+\frac{5-1}{5!}++\frac{6-1}{6!}+....$

תנסו להמשיך מפה

איך נראה הטור שאתם מקבלים?