מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: בעייה שהופיעה באחת מבחינות הכניסה במתמטיקה לאוניברסיטה יוקרתית בחו"ל

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל בעייה שהופיעה באחת מבחינות הכניסה במתמטיקה לאוניברסיטה יוקרתית בחו"ל

    שלום לכולם,

    נתון מעגל ובו חסומים שני משולשים ABC,BCD צלע משותפת BC(רצ"ב שרטוט)

    נתון:
    ִ$Sׂ(\Delta ABCׂ)=S, Sׂ(\Delta BCD)=Tִ$
    $S<Tִ$

    מה ערכו המינימלי של הביטוי?
    $\frac{16S^2+Tֶֶ^2}{20ST}ִ$
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים

  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    רמז לדרך אפשרית לפתרון הבעיה:

    נסו לשחק עם הביטוי:
    $\frac{16S^2+Tֶֶ^2}{20ST}ִ$

    כך שניתן לכתוב אותו עם הצבה מתאימה כביטוי עם משתנה אחד

    בברכה,
    עמוס

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל פתרון

    חג שמח,

    נכתוב את הביטוי בצורה הבאה:
    $\frac{16S^2+Tֶֶ^2}{20ST}ִ=\frac{16S^2}{20ST}ּ +\frac{Tֶ^2}{20ST}=\frac{16S}{T}ּ+\frac{T}{20S}$

    הצמצום ב-S וב-T אפשרי כי S ו-T מייצגים שטחים של משולשים שהם גדלים חיוביים

    נציב
    $u=\frac{S}{T}$

    הביטוי כפונקציה של u יהפוך ל-
    $f(u)=\frac{16u}{20}+\frac{1}{20u}$

    כדי למצוא ערך מקסימלי, נגזור את הפונקציה לפי u ונשווה ל-0
    $f'(u)=\frac{16}{20}-\frac{1}{20u^2}=0$

    נקבל
    $u=\pm\frac{1}{4}$

    לא נבדוק את הערך מינוס רבע, כי היחס S חלקי T הוא חיובי(שטחים של משולשים)

    נבדוק איפוא האם ברבע יש לפונקציה מינימום. נבצע גזירה נוספת

    $f"(u)=0-(\frac{1}{20u^2})'=- \cdot (-2) \cdot \frac{1}{20 \cdot u^3}=\frac{2}{20u^3}$

    נציב בנגזרת את הערך רבע נקבל:
    $\frac{2}{20(\frac{1}{4})^3}>0$

    לפונקציה יש איפוא מינימום ברבע - זה גם מתאים לנתון ש-S קטן מ-T

    הערך המינימלי הינו:





    $f(u)=\frac{16u}{20}+\frac{1}{20u} \to f(\frac{1}{4})=\frac{16 \cdot \frac{1}{4}}{20}+\frac{1}{20 \cdot \frac{1}{4} } = \frac{1}{5}ּ+\frac{1}{5}ּ=\frac{2}{5}ּ$


    ערך הביטוי המינימלי הוא שתי חמישיות

    מה שאנו רואים שהנתון הגאומטרי של משולשים חסומים במעגל נועד קצת "לבלבל". הנתונים החשובים לפתרון הבעיה הם ש-S ו-T חיוביים והיחס בין S ו-T קטן מ-1


    בכל מקרה נעזרנו מעט בנתון הגאומטרי כדי להסיק ש-S ו-T הם חיוביים


    בברכה,

    עמוס

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 4

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו