מד"ח

[Rachel555]

היי ,
אשמח לעזרה דחופה בשאלה הבאה :
1.jpg

[Yes]

נחפש פתרון מהצורה: $u(x,t) = X(x)T(t)$. נציב למד"ח:
$$XT''+2XT'=a^2 X''T$$
נחלק ב-$XT$ (אם זה 0 אז זה הפתרון הטרוויאלי, ואנחנו גם ככה לא מחפשים אותו):
$$\frac{T''}{T'}+\frac{2T'}{T}=\frac{a^2 X''}{X} = -\lambda$$
כאשר $\lambda$ קבוע כלשהו. זה אפשרי בגלל שאגף אחד תלוי רק ב-$x$ ואגף שני תלוי רק ב-$t$, ולכן שני האגפים חייבים להיות קבועים.
נמצא את תנאי השפה של $X(x)$:
$$u_x(0,t) = X'(0)T(t) = 0 \Rightarrow X'(0) = 0\\
u_x(0,\pi) = X'(\pi)T(t) = 0 \Rightarrow X'(\pi) = 0$$
נקבל את המד"ר:
$$\begin{cases} X''+\frac{\lambda}{a^2} X = 0\\ X'(0)=X'(\pi) = 0\end{cases}$$
וזו בעיית שטרום-ליוביל. ממשיכים לפתור כרגיל...

[Rachel555]

תוודה!