שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

10-11-2010, 18:02 #1

אריאל

מנהל כללי חבר Emath בכיר

פרטי משתמש

שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

הכנתי סיכום ובו מפורט שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

השיטות המפורטות :

פתירת משוואה ליניארית מסדר ראשון
משוואה נפרדה
משוואה מדויקת
מציאת גורם אינטגרציה
משוואת ברנולי
שיטת אד-הוק
ראו קובץ מצורף.

קבצים מצורפים

pitaronMishDifSederRishon.pdf‏ (196.3 ק"ב , 550 צפיות) [email protected]: לפניות , www.eMath.co.ilכל הזכויות שמורות © שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון עם זאת ישנם שיטות , ובפרט מסדר ראשון- לא כל המשוואות הדיפרנציאליות ברות פתירה היום במסמך זה אציג את האפשרויות הדומיננטיות לפתירת משוואות , המאפשרות לנו לפתור את חלקן .דיפרנציאליות מסדר ראשון .זהו סיכום בלבד ולא יעזור למי שלא למד את החומר לפני כן משוואה ליניארית מסדר ראשון על ידי הכפלה בגורם אינטגרציה ': כאשר המשוואה היא מהצורה ( ) ( )y a x y b x אזי גורם האינטגרציה יהיה ( )a x e . : ונקבל , נכפיל את המשוואה בגורם זה ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) a x dx a x dx a x dx e y e a x y e b x : או במילים אחרות ( ) ( ) [ ]' ( ) a x dx a x dx e y e b x . :מכאן מה שנותר לעשות הוא לבצע אינטגרציה ולפתור את המשוואה ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ' ( ) ( ) a x dx a x dx a x dx a x dx e y dx e dx b x e y e dx b x משוואה נפרדה ': המשוואה הליניארית שהצגנו לעיל ניתנת להצגה גם בצורה ( ) ( )y b x a x y או ' ( , )y f x y. ': דהיינו y בלתי תלויה ב fאם ( )y f xניתן לבצע אינטגרציה , אזי. ): ופתרונה הכללי של המשוואה יהיה ) ( ) x y x f t dt C דוגמא 3: נפתור את המשוואה ' ( 1) 1y y x y , 1]: נבצע הפרדת משתנים 3] ' 1y x y : כלומר 1 4 dy y dx x : נמשיך עם ההפרדה ונבצע אינטגרציה 1 4 ydy dx x ומכאן נשאר רק .לפתור [email protected]: לפניות , www.eMath.co.ilכל הזכויות שמורות © משוואה מדויקת ): כאשר נתונה לנו משוואה מהצורה , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy ומתקיים : y xP Q והפונקציות P ו Q הן רציפות ובעלות נגזרות חלקיות רציפות בתחום המתאים אזי מדובר במשוואה מדויקת . )אזי קיימת פונקציה , במידה והמשוואה מדויקת , )x yל אשר " הנקראת פוטנציאל של המשוואה הנ ): מקיימת , ) , ( , )x yx y P x y Q . ): ופתרונה הכללי של המשוואה יהיה , )x y C . )כיצד נגיע ל , )x y ? נבצע אינטגרציה לP לפי x ולא נשכח ש P היא פונקציה גם של X וגם של Y. ): לכן נקבל כי , ) ( , ) ( )x y P x y dx C y . )כמו כן נתון לנו כי , )y x y Q אזי נגזור את ( , )x yלפי וואי ונשווה ל Q , וכך נמצא את( )C y. ): וכל שנותר יהיה לרשום את הפתרון הכללי , )x y C . .Cנוכל למצוא גם את , במידה ונתון לנו תנאי התחלה מציאת גורם אינטגרציה ): נסתכל על המשוואה , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy . yאם x P Q Q ) אזי קיים גורם אינטגרציה X תלוי אך ורק ב )x )': שניתן לחלצו מן המשוואה ) ( ) 0y x P Q x x Q . yאם x P Q P ) אז קיים גורם אינטגרציה Y תלוי אך ורק ב )y. )': שניתן לחלצו מן המשוואה ) ( ) 0y x P Q y y P [email protected]: לפניות , www.eMath.co.ilכל הזכויות שמורות © משוואת ברנולי ': משוואת ברנולי היא המשוואה מהצורה ( ) ( )y a x y b x y . .כאשר אלפא קבוע כלשהו 0,1אם . אזי המשוואה היא ליניארית ופירטנו כבר כיצד לפתור אותה : ונקבל y: נחלק את שני האגפים ב , בכל המקרים האחרים 1' ( ) ( )y y a x y b x 1: נשים לב כי מתקיים 1 ' ( )' 1 y y y . 1z :אם נציב , ולכן y : נקבל 1 ' ( ) ' ( ) 1 z a x z b x .וזאת בעצם משוואה ליניארית שאנחנו כבר יודעים לפתור הוק -שיטת אד ' :אם נצליח להגיע במשוואה דיפרנציאלית לצורה , לשיטת הד הוק יש גם שיטת הצבה ( ) y y f x אזי נציב y z x : ומכאן נסיק כי ' ' 1 ' y zx y z x z z x z : נציב זאת במשוואה ונקבל ' ( ) ' ( ) z x z f z z x f z z ': להמיר ) וזוהי משוואה נפרדה dz z dx )

נערך לאחרונה על ידי אריאל, 27-10-2011 בשעה 11:42

khbur אהב \ אהבו את התגובה

הגב עם ציטוט

14-11-2010, 08:15 #2

dan123a67

מנהל פורום מתמטיקה מתקדמת חבר Emath מתקדם

פרטי משתמש

בוקר טוב,

אריאל כל הכבוד על היוזמה !

יום טוב

khbur אהב \ אהבו את התגובה

הגב עם ציטוט

14-11-2010, 08:26 #3

asherm01

צוין לשבח חבר Emath בכיר

פרטי משתמש

יישר כח!
אתה ממש לא שוכח כלום. הכל מתוחזק כהלכה.

khbur אהב \ אהבו את התגובה

מתי כבר יגיע היום שנלך יד ביד ולא ראש בראש (?)!
תן חיוך ה: טובה.
אולי אני אפס ואת/ה האחד---> אבל ביחד אנחנו עשר
גרוש בלי גרוש, מחפש גרושה עם ירושה" (מתוך מודעה אמיתית בעיתון)
אני פוחד פחד מוות- מהמוות