שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

10-11-2010, 18:02 #1

אריאל

מנהל כללי חבר Emath בכיר

פרטי משתמש

שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

הכנתי סיכום ובו מפורט שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון

השיטות המפורטות :

פתירת משוואה ליניארית מסדר ראשון
משוואה נפרדה
משוואה מדויקת
מציאת גורם אינטגרציה
משוואת ברנולי
שיטת אד-הוק
ראו קובץ מצורף.

קבצים מצורפים

pitaronMishDifSederRishon.pdf‏ (196.3 ק"ב , 536 צפיות) [email protected]: לפניות , www.eMath.co.ilכל הזכויות שמורות © שיטות פתרון למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון עם זאת ישנם שיטות , ובפרט מסדר ראשון- לא כל המשוואות הדיפרנציאליות ברות פתירה היום במסמך זה אציג את האפשרויות הדומיננטיות לפתירת משוואות , המאפשרות לנו לפתור את חלקן .דיפרנציאליות מסדר ראשון .זהו סיכום בלבד ולא יעזור למי שלא למד את החומר לפני כן משוואה ליניארית מסדר ראשון על ידי הכפלה בגורם אינטגרציה ': כאשר המשוואה היא מהצורה ( ) ( )y a x y b x אזי גורם האינטגרציה יהיה ( )a x e . : ונקבל , נכפיל את המשוואה בגורם זה ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) a x dx a x dx a x dx e y e a x y e b x : או במילים אחרות ( ) ( ) [ ]' ( ) a x dx a x dx e y e b x . :מכאן מה שנותר לעשות הוא לבצע אינטגרציה ולפתור את המשוואה ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ' ( ) ( ) a x dx a x dx a x dx a x dx e y dx e dx b x e y e dx b x משוואה נפרדה ': המשוואה הליניארית שהצגנו לעיל ניתנת להצגה גם בצורה ( ) ( )y b x a x y או ' ( , )y f x y. ': דהיינו y בלתי תלויה ב fאם ( )y f xניתן לבצע אינטגרציה , אזי. ): ופתרונה הכללי של המשוואה יהיה ) ( ) x y x f t dt C דוגמא 3: נפתור את המשוואה ' ( 1) 1y y x y , 1]: נבצע הפרדת משתנים 3] ' 1y x y : כלומר 1 4 dy y dx x : נמשיך עם ההפרדה ונבצע אינטגרציה 1 4 ydy dx x ומכאן נשאר רק .לפתור [email protected]: לפניות , www.eMath.co.ilכל הזכויות שמורות © משוואה מדויקת ): כאשר נתונה לנו משוואה מהצורה , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy ומתקיים : y xP Q והפונקציות P ו Q הן רציפות ובעלות נגזרות חלקיות רציפות בתחום המתאים אזי מדובר במשוואה מדויקת . )אזי קיימת פונקציה , במידה והמשוואה מדויקת , )x yל אשר " הנקראת פוטנציאל של המשוואה הנ ): מקיימת , ) , ( , )x yx y P x y Q . ): ופתרונה הכללי של המשוואה יהיה , )x y C . )כיצד נגיע ל , )x y ? נבצע אינטגרציה לP לפי x ולא נשכח ש P היא פונקציה גם של X וגם של Y. ): לכן נקבל כי , ) ( , ) ( )x y P x y dx C y . )כמו כן נתון לנו כי , )y x y Q אזי נגזור את ( , )x yלפי וואי ונשווה ל Q , וכך נמצא את( )C y. ): וכל שנותר יהיה לרשום את הפתרון הכללי , )x y C . .Cנוכל למצוא גם את , במידה ונתון לנו תנאי התחלה מציאת גורם אינטגרציה ): נסתכל על המשוואה , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy . yאם x P Q Q ) אזי קיים גורם אינטגרציה X תלוי אך ורק ב )x )': שניתן לחלצו מן המשוואה ) ( ) 0y x P Q x x Q . yאם x P Q P ) אז קיים גורם אינטגרציה Y תלוי אך ורק ב )y. )': שניתן לחלצו מן המשוואה ) ( ) 0y x P Q y y P [email protected]: לפניות , www.eMath.co.ilכל הזכויות שמורות © משוואת ברנולי ': משוואת ברנולי היא המשוואה מהצורה ( ) ( )y a x y b x y . .כאשר אלפא קבוע כלשהו 0,1אם . אזי המשוואה היא ליניארית ופירטנו כבר כיצד לפתור אותה : ונקבל y: נחלק את שני האגפים ב , בכל המקרים האחרים 1' ( ) ( )y y a x y b x 1: נשים לב כי מתקיים 1 ' ( )' 1 y y y . 1z :אם נציב , ולכן y : נקבל 1 ' ( ) ' ( ) 1 z a x z b x .וזאת בעצם משוואה ליניארית שאנחנו כבר יודעים לפתור הוק -שיטת אד ' :אם נצליח להגיע במשוואה דיפרנציאלית לצורה , לשיטת הד הוק יש גם שיטת הצבה ( ) y y f x אזי נציב y z x : ומכאן נסיק כי ' ' 1 ' y zx y z x z z x z : נציב זאת במשוואה ונקבל ' ( ) ' ( ) z x z f z z x f z z ': להמיר ) וזוהי משוואה נפרדה dz z dx )

נערך לאחרונה על ידי אריאל, 27-10-2011 בשעה 11:42

מנהל כללי - www.Emath.co.il
לפניות : [email protected]

הצטרפו לאתר מספר אחת לעזרה במתמטיקה - Emath

הגב עם ציטוט

14-11-2010, 08:15 #2

dan123a67

מנהל פורום מתמטיקה מתקדמת חבר Emath מתקדם

פרטי משתמש

בוקר טוב,

אריאל כל הכבוד על היוזמה !

יום טוב

הגב עם ציטוט

14-11-2010, 08:26 #3

asherm01

צוין לשבח חבר Emath בכיר

פרטי משתמש

יישר כח!
אתה ממש לא שוכח כלום. הכל מתוחזק כהלכה.

מתי כבר יגיע היום שנלך יד ביד ולא ראש בראש (?)!
תן חיוך ה: טובה.
אולי אני אפס ואת/ה האחד---> אבל ביחד אנחנו עשר
גרוש בלי גרוש, מחפש גרושה עם ירושה" (מתוך מודעה אמיתית בעיתון)
אני פוחד פחד מוות- מהמוות